(通用版)中考数学一轮复习重点题型 优选训练题要题加练03反比例函数的综合题 (含答案)

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1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋b的图象经过点A(－2，0)，与反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象交于B(a，4)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．
2．如图，已知反比例函数y＝eq \f(m,x)(m≠0)的图象经过点(1，4)，一次函数y＝－x＋b的图象经过反比例函数图象上的点Q(－4，n)．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接OP，OQ，求△OPQ的面积．
3.如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC＝90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上(C在B的右侧)，BC＝2，AB＝2eq \r(3)，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．
(1)当OB＝2时，求点D的坐标；
(2)若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；
(3)如图2，将第(2)题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象与BA的延长线交于点P.问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
4．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2－9x＋18＝0的两根，请解答下列问题：
(1)求点D的坐标；
(2)若反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象经过点H，则k＝________；
(3)点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：(1)∵一次函数y＝x＋b的图象经过点A(－2，0)，
∴0＝－2＋b，解得b＝2，
∴一次函数的表达式为y＝x＋2.
∵一次函数y＝x＋2的图象与反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象交于B(a，4)，
∴4＝a＋2，解得a＝2，∴B(2，4)，
∴4＝eq \f(k,2)，解得k＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝eq \f(8,x)(x＞0)．
(2)∵点A(－2，0)，∴OA＝2.
设点M(m－2，m)，点N(eq \f(8,m)，m)，
当MN∥AO且MN＝AO时，四边形AONM是平行四边形，
|eq \f(8,m)－(m－2)|＝2且m>0，
解得m＝2eq \r(2)或m＝2eq \r(3)＋2，
∴点M的坐标为(2eq \r(2)－2，2eq \r(2))或(2eq \r(3)，2eq \r(3)＋2)．
2．解：(1)∵反比例函数y＝eq \f(m,x)(m≠0)的图象经过点(1，4)，
∴4＝eq \f(m,1)，解得m＝4，∴反比例函数的表达式为y＝eq \f(4,x).
∵一次函数y＝－x＋b的图象与反比例函数的图象相交于点Q(－4，n)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n＝\f(4,－4)，,n＝－（－4）＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n＝－1，,b＝－5，))
∴一次函数的表达式为y＝－x－5.
(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,x)，,y＝－x－5))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝－1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－4，))
∴点P(－1，－4)．
在一次函数y＝－x－5中，令y＝0得－x－5＝0，
解得x＝－5，故点A(－5，0)，
∴S△OPQ＝S△OPA－S△OAQ＝eq \f(1,2)×5×4－eq \f(1,2)×5×1＝7.5.
3．解：(1)如图，作DE⊥x轴于E.
∵∠ABC＝90°，∴tan∠ACB＝eq \f(AB,BC)＝eq \r(3)，
∴∠ACB＝60°.
根据对称性可知DC＝BC＝2，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠DCE＝60°，∴∠CDE＝90°－60°＝30°，
∴CE＝1，DE＝eq \r(3)，∴OE＝OB＋BC＋CE＝5，
∴点D坐标为(5，eq \r(3))．
(2)设OB＝a，则点A的坐标(a，2eq \r(3))．
由题意CE＝1，DE＝eq \r(3)得D(3＋a，eq \r(3))．
∵点A，D在同一反比例函数图象上，
∴2eq \r(3)a＝eq \r(3)(3＋a)，∴a＝3，∴OB＝3.
(3)存在．k的值为10eq \r(3)或12eq \r(3).
提示：①如图，当点A1在线段CD的延长线上，连接AA1，且PA1∥AD时，∠PA1D＝90°.
在Rt△ADA1中，∵∠DAA1＝30°，AD＝2eq \r(3)，
∴AA1＝eq \f(AD,cs 30°)＝4.
在Rt△APA1中，∵∠APA1＝60°，
∴PA＝eq \f(4\r(3),3)，∴PB＝eq \f(10\r(3),3).
设P(m，eq \f(10\r(3),3))，则D1(m＋7，eq \r(3))．
∵P，D1在同一反比例函数图象上，
∴eq \f(10\r(3),3)m＝eq \r(3)(m＋7)，解得m＝3，
∴P(3，eq \f(10\r(3),3))，∴k＝10eq \r(3).
②如图，当∠PDA1＝90°时，连接AA1，交线段PD于点K.
∵∠PAK＝∠KDA1＝90°，∠AKP＝∠DKA1，
∴△AKP∽△DKA1，
∴eq \f(AK,KD)＝eq \f(PK,KA1)，∴eq \f(PK,AK)＝eq \f(KA1,DK).
∵∠AKD＝∠PKA1，∴△KAD∽△KPA1，
∴∠KPA1＝∠KAD＝30°，∠ADK＝∠KA1P＝30°，
∴∠APD＝∠ADP＝30°，∴AP＝AD＝2eq \r(3)，AA1＝6.
设P(m，4eq \r(3))，则D1(m＋9，eq \r(3))．
∵P，D1在同一反比例函数图象上，
∴4eq \r(3)m＝eq \r(3)(m＋9)，解得m＝3，
∴P(3，4eq \r(3))，∴k＝12eq \r(3).
综上所述，k的值为10eq \r(3)或12eq \r(3).
4．解：(1)∵x2－9x＋18＝0，
∴(x－3)(x－6)＝0，∴x＝3或6.
∵CD＞DE，∴CD＝6，DE＝3.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE＝EC＝eq \r(62－32)＝3eq \r(3)，
∴∠DCA＝30°，∠EDC＝60°，
∴Rt△DEM中，∠DEM＝30°，
∴DM＝eq \f(1,2)DE＝eq \f(3,2).
∵OM⊥AB，∴S菱形ABCD＝eq \f(1,2)AC·BD＝CD·OM，
∴eq \f(1,2)×6eq \r(3)×6＝6OM，∴OM＝3eq \r(3)，
∴D(－eq \f(3,2)，3eq \r(3))．
(2)eq \f(9\r(3),2)
(3)存在．点P的坐标为(eq \f(9,2)，eq \r(3))或(－eq \f(15,2)，5eq \r(3))或(eq \f(21,2)，－eq \r(3))．
提示：①∵DC＝BC，∠DCB＝60°，∴△DCB是等边三角形．
∵H是BC的中点，∴DH⊥BC，
∴当Q与B重合时，如图，四边形CFQP是平行四边形．
∵FC＝FB，∴∠FCB＝∠FBC＝30°，
∴∠ABF＝∠ABC－∠CBF＝120°－30°＝90°，
∴AB⊥BF.
在Rt△ABF中，∠FAB＝30°，AB＝6，
∴FB＝2eq \r(3)＝CP，∴P(eq \f(9,2)，eq \r(3))．
②如图，连接QA.
∵四边形QPFC是平行四边形，∴CQ∥PH.
由①知PH⊥BC，∴CQ⊥BC.
在Rt△QBC中，BC＝6，∠QBC＝60°，
∴∠BQC＝30°，∴CQ＝6eq \r(3).
∵AE＝EC，QE⊥AC，∴QA＝QC＝6eq \r(3)，
∴∠QAC＝∠QCA＝60°，∠CAB＝30°，
∴∠QAB＝90°，∴Q(－eq \f(9,2)，6eq \r(3))．
由①知F(eq \f(3,2)，2eq \r(3))，
由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律，则P(－eq \f(9,2)－3，6eq \r(3)－eq \r(3))，即(－eq \f(15,2)，5eq \r(3))．
③如图，四边形CQFP是平行四边形，
同理知Q(－eq \f(9,2)，6eq \r(3))，F(eq \f(3,2)，2eq \r(3))，C(eq \f(9,2)，3eq \r(3))，
∴P(eq \f(21,2)，－eq \r(3))．
综上所述，点P的坐标为(eq \f(9,2)，eq \r(3))或(－eq \f(15,2)，5eq \r(3))或(eq \f(21,2)，－eq \r(3))．