专题8.12 三元一次方程组的解法（专项练习）-2021-2022学年七年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题8.12  三元一次方程组的解法（专项练习）

一、单选题

1．（2020·山东烟台市·七年级期末）已知方程组，那么代数式8x–y–z的值是(     )

A．6 B．7 C．8 D．9

2．（2020·全国七年级）三元一次方程组的解是（    ）

A． B． C． D．

3．（2019·黑龙江九年级学业考试）在“自主互助学习型课堂竞赛”中，为奖励表现突出的同学，初一（7）班利用班费元钱，购买钢笔、相册、笔记本三种奖品，其中钢笔至多买支，若钢笔每支元，相册每本元，笔记本每本元，在把钱都用尽的条件下，买法共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

4．（2020·广东培正学院七年级期中）下列方程组中，是三元一次方程组的是（　　）

A． B． C． D．

5．（2020·金乡县育才学校七年级月考）下表为服饰店卖出的服装种类与原价对照表．某日服饰店举办大拍卖，外套按原价打六折出售，衬衫和裤子按原价打八折出售，各种服装共卖200件，营业额是24000元，则外套卖出了（ ）

A．100件 B．80件 C．60件 D．40件

6．（2020·河南郑州市·郑州外国语中学七年级期中）解方程组得x等于(     )

A．18 B．11 C．10 D．9

7．（2020·孟津县双语实验学校七年级月考）下列四组数值中，方程组的解是(     )

A． B． C． D．

二、填空题

8．（2019·扬州市江都区实验初级中学七年级月考）甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需钱______元．

9．（2019·全国八年级课时练习）方程组的解为______．

10．（2020·清华附中上庄学校七年级期中）设，则3x-2y+z=____________．

11．（2020·天津市小站实验中学七年级月考）三元一次方程组的解是_____．

12．（2020·银川外国语实验学校九年级月考）若，且，则____________．

13．（2020·湖北咸宁市·七年级期末）课外活动中，80名学生自由组合分成12组，各组人数分别有5人、7人和8人三种情况，设5人一组的有x组，7人一组的有y组，8人一组的有z组，有下列结论：

①；②；③；④5人一组的最多有5组．

其中正确的有_____________．（把正确结论的序号都填上）

14．（2020·福建泉州市·七年级期末）某顾客到商场购买甲、乙、丙三种款式服装．若购买甲4件，乙7件，丙1件共需450元；若购买甲5件，乙9件，丙1件共需520元，则该顾客购买甲、乙、丙各一件共需_____元．

15．（2020·湖北武汉市·七年级期末）已知关于，，的方程组，则______．

16．（2020·河南周口市·七年级期末）有A、B、C三种商品，如果购5件A、2件B、3件C共需513元，购3件A、6件B、5件C共需375件，那么购A、B、C各一件共需_______元．

17．（2021·北京通州区·七年级期末）一笔奖金总额为元，分为一等奖、二等奖和三等奖，奖金金额均为整数，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的倍，若把这笔奖金发给个人，并且要求一等奖的人数不能超过二等奖人数，二等奖人数不能超过三等奖人数，那么三等奖的奖金金额是___________元．

三、解答题

18．（2020·全国八年级课时练习）已知x，y，a满足+＝+，求长度分别为x，y，a的三条线段组成的三角形的面积.

19．（2020·全国单元测试）如果令，，，求方程组的解．

20．（2020·全国课时练习）在中，当x的值分别取1、-1、-2时，的值分别为1、9、19，求a、b、c的值．

21．（2020·全国课时练习）某足球协会举办了一次足球联赛，记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.当比赛进行到12轮结束（每队均需比赛12场）时，甲队得分是19分，请你通过计算分析甲队胜几场、平几场、负几场？

22．（2020·浙江金华市·七年级期末）在解方程组时，甲同学因看错了的符号，从而求得解为乙同学因看漏了，从而求得解为 试求的值．

23．（2016·浙江杭州市·七年级期中）为了迎接峰会的到来，杭州市政府加快了城市轨道交通的建设，现打算从某地运进一批地铁建设物资共计吨，有甲、乙、丙三种车型可供选择，每车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）

（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种各几辆？

（2）为了节约运费，政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数15，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？

（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元？

参考答案

1．B

【分析】

根据“3x−y−2z＝1”，得到−y−z＝1＋z−3x，代入8x−y−z得：5x＋z＋1，

①＋②得：5x＋z＝6，代入5x＋z＋1，即可得到答案．

【详解】

解：∵3x−y−2z＝1，

∴−y−z＝1＋z−3x，

8x−y−z＝1＋z−3x＋8x＝5x＋z＋1，

，

①＋②得：

5x＋z＝6，

即8x−y−z＝6＋1＝7，

故选B．

【点拨】

本题考查了解三元一次方程组，正确掌握解三元一次方程组的方法是解题的关键．

2．C

【分析】

根据2x=3y=6z，设x=3k,y=2k,z=k，代入求值即可解题．

【详解】

解：∵2x=3y=6z，

∴设x=3k，y=2k，z=k，

∵x+2y+z=16，即3k+4k+k=16，

解得：k=2

∴，

故选：C．

【点拨】

本题考查了三元一次方程组的求解，中等难度,根据等量关系设未知数是解题关键．

3．D

【分析】

根据题意设未知数，列出方程，然后分类讨论即可．

【详解】

解：设购买钢笔x支，相册y本，笔记本z本，

根据题意得20x+10y+5z=100，

化简，得4x+2y+z=20，

∵钢笔最多买2支，

∴x可以取1、2，

当x=1时，4+2y+z=20，

即2y+z=16，y可以取的值有1、2、3、4、5、6、7，有7种；

当x=2时，8+2y+z=20，

即2y+z=12，y可以取的值有1、2、3、4、5，有5种；

∴一共有买法7+5=12(种)，

故选：D．

【点拨】

本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程，分类讨论是解题关键．

4．C

【分析】

利用三元一次方程组的定义判断即可．

【详解】

解： A选项：4个未知数，错误；

B选项：2个未知数，错误；

C选项，有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，正确；

D选项，方程的次数为2，错误；

故选：C．

【点拨】

本题考查三元一次方程组的定义，是基础题．清楚三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素是关键．

5．B

【分析】

设卖出外套x件，衬衫y件，裤子z件．根据题意可列三元一次方程组，即可解出x，即可选择．

【详解】

设卖出外套x件，衬衫y件，裤子z件．

根据题意可列方程组：

故卖出外套80件

故选B

【点拨】

根据题意列出三元一次方程组是解答本题的关键，注意把看作一个整体．

6．C

【分析】

利用加减消元法解方程组即可．

【详解】

，

①+②+③得：

3x+3y+3z=90．

∴x+y+z=30  ④

②-①得：

y+z-2x=0   ⑤

④-⑤得：

3x=30

∴x=10

故答案选：C．

【点拨】

本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解题的关键．

7．B

【解析】

分析：首先利用②－①和②+③得出关于a和b的二元一次方程组，从而求出a和b的值，然后将a和b代入任何一个式子得出c的值，从而得出方程组的解．

详解：，②－①可得：a－2b=－5 ④，  ②+③可得：5a－2b=－9 ⑤，

④－⑤可得：－4a=4，解得：a=－1，  将a=－1代入④可得：b=2，

将a=－1，b=2代入①可得：c=－1，∴方程组的解为：，故选B．

点拨：本题主要考查的是三元一次方程组的解法，属于基础题型．消元法的使用是解决这个问题的关键．

8．55

【解析】

【分析】

设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，根据“购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱”列出方程组，用含y的代数式分别表示出x、z，再将x、y、z三者相加即可得出结论.

【详解】

解：设一件甲商品x元，乙y元，丙z元．

根据题意得：

，

解的 ，

∴2x+2y+2z=150-3y+2y+y-40=110，

∴x+y+z=55，

故答案为：55.

【点拨】

本题考查了三元一次方程组的应用，解题时认真审题，弄清题意，再列方程解答，含y的代数式分别表示出x、z是解题的关键.

9．

【解析】

试题分析：由①可得：x=5-y，然后代入②，与③一起联立成关于y和z的二元一次方程组，然后利用消元法求出方程组的解．

试题解析：，由①可得：x=5-y④，将④代入②可得：2(5-y)+z=13，即-2y+z=3⑤，⑤-③可得：-3y=0，解得：y=0；将y=0代入①可得：x=5；将y=0代入③可得：z=3；所以，原方程组的解为：．

10．10．

【分析】

用方程①-②得， ③，把方程①③相加得，问题可解．

【详解】

解：，

①-②得，③，

①+③得，，

故答案为：10．

【点拨】

本题考查了解简单的三元一次方程组，将方程①-②变形得方程③，再将①③联立变形是解本此题的关键．

11．

【分析】

每个方程中的字母都出现两个，而且它们的系数也相同，我们把种方程组叫齐次方程组

将方程组三方程相加除以2求出x+y+z的值，分别与①②③相减即可．

【详解】

解：，

①+②+③得：2（x+y+z）＝70，即x+y+z＝35④，

把①、②、③分别代入④得：z＝25，x＝15，y＝﹣5，

则方程组的解为，

故答案为：．

【点拨】

本题考查三元一次方程组的解法，每个方程中的字母都出现两个，而且它们的系数也相同，我们把种方程组叫齐次方程组三式相加，化系数为1的方法，一般采取消元方法，而此法先增元，再消元来解．

12．

【分析】

设比值为，然后用表示出、、，再代入等式求出值，然后相比即可．

【详解】

解：设，

则，，，

所以，，

解得，

所以，，，

所以．

【点拨】

本题考查了比例的性质，利用“设法”表示出、、可以使计算更加简便．

13．①②③④

【分析】

根据80名学生自由组合分成12组，即可得出关于，，的三元一次方程组，结论①正确；利用，化简后可得出，结论②正确；利用，化简后可得出，结论③正确；由结论②③结合，，均为正整数，可得出为2的倍数，分别代入，和即可得出5人一组的最多有5组，结论④正确．

【详解】

解：依题意，得：，

结论①正确；

，即，

，

结论②正确；

，即，

，

结论③正确；

，，且，，均为正整数，

为2的倍数，

当时，，；当时，，；当时，，，

人一组的最多有5组，

结论④正确．

故答案为：①②③④．

【点拨】

本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．

14．240

【分析】

等量关系为：甲4件的总价+乙7件的总价+丙1件的总价=450，甲5件的总价+乙9件的总价+丙1件的总价=520，把相关数值代入，都整理为等式左边为x+y+z的等式，设法消去等号右边含未知数的项，可得甲、乙、丙各1件共需的费用．

【详解】

设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，

依题意得，，

由①×4﹣②×3得，x+y+z＝240，

即现在购买甲、乙、丙各1件，共需240元．

故答案为：240．

【点拨】

本题考查了三元一次方程组的应用.解的本题的关键根据总价得到2个等量关系、把2个等式整理为只含（x+y+z）的等式．

15．8

【分析】

方程组两方程相减求出的值，进而求出的值，即可求出所求．

【详解】

解：，

②①得：，即，

把代入①得：，

则原式．

故答案为：8．

【点拨】

此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

16．111

【分析】

根据题意设购进A商品 x件，B商品y件，C商品z件，从而列出方程组进行求解即可得解．

【详解】

设购进A商品 x件，B商品y件，C商品z件，

则，可得，

解得，

故答案为：111．

【点拨】

本题主要考查了三元一次方程组实际问题的求解，准确通过题目等量关系进行列式求解是解决本题的关键．

17．

【分析】

获一等奖人，获二等奖人，获三等奖，由之间的关系结合均为整数，即可得出的值，设三等奖的奖金金额为x元，则二等奖的奖金金额为2x元，一等奖的奖金金额为4x元，根据奖金的总额为1092元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论（取其为整数的值）．

【详解】

解：获一等奖人，获二等奖人，获三等奖，根据题意

且均为整数，

∴，，．

设三等奖的奖金金额为x元，则二等奖的奖金金额为2x元，一等奖的奖金金额为4x元，

依题意，得：4x+2x+4x=1092，4x+2×2x+3x=1092，2×4x+2×2x+2x=1092，

解得：x=109.2（不合题意，舍去），x=99（不合题意，舍去） ，x=78．

故答案为： 78．

【点拨】

本题考查了三元一次方程整数解和一元一次方程的应用，掌握三元一次方程的整数解的求法，和一元一次方程解应用题的方法与步骤，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

18．6

【分析】

直接利用二次根式的性质得出x+y=8，进而得出：，进而得到答案.

【详解】

解：根据二次根式的意义，得，

解得：；

∴，

由非负数性质，得，

解得：，

∵，

∴组成直角三角形，

∴面积为：.

【点拨】

此题主要考查了二次根式的应用，以及勾股定理的逆定理，正确应用二次根式的性质求出x、y、a的值是解题关键．

19．

【分析】

此题用换元法，将分式方程化为整式方程组来解答即可；

【详解】

由题意得，解得，

∴．

【点拨】

本题主要考查了解三元一次方程组，准确计算是解题的关键．

20．，，

【分析】

把x的值分别代入代数式得到关于a、b、c的三元一次方程组，然后利用加减消元法求解即可．

【详解】

解：根据题意得，

①-②得：b= -4 ，

③-①得：a-b=6 ，

a-(-4)=6，解得a=2，

把a=2，b= -4 ，代入①得，2-4+c=1，
解得c=3，
所以方程组的解是 ．

【点拨】

本题考查三元一次方程组的解法，解题关键是根据题目未知数的系数的特点消元，“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”．

21．有三种可能性，即或或

【解析】

试题分析：设甲队胜x场、平y场、负z场，则有这是一个不定方程，若把x当成已知数，可以得到由题意x≥0、平y≥0、负z≥0，即解得3≤x≤6，于是x取4、5、6，由此可以得到三组解.有三种可能性，即或或

考点：三元一次方程组

点评：本题难度中等，主要考查学生对三元一次方程组知识点解决实际问题的掌握．

22．a的值为3，b的值为2，c的值为2．

【分析】

把方程组的两组解分别代入原方程组，把所得到的等式联立组成三元一次方程组，求出a、b、c的数值，问题得以解决．

【详解】

由题意得方程组，解得．

答：a的值为3，b的值为2，c的值为2．

【点拨】

此题主要考查二元一次方程组的解的问题，和解三元一次方程组．

23．（1）；需甲车型8辆，乙车型10辆；

（2）有两种运送方案：

①甲种车型2辆，乙车型有10辆，丙车型有3辆；

②甲种车型4辆，乙车型有5辆，丙车型有6辆；

（3）甲车型2辆，乙车型有10辆，丙车型有3辆运费最少，最少运费是15200元．

【分析】

（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据运费16400元，总吨数是360吨，列出方程组，再进行求解即可；
（2）设甲车型有x辆，乙车型有y辆，则丙车型有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为正整数，求出x，y的值，从而得出答案．
（3）根据两种方案得出运费解答即可．

【详解】

解：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据题意得

解得：

答：需甲车型8辆，乙车型10辆；

（2）设甲车型有x辆，乙车型有y辆，则丙车型有z辆，根据题意得

由①×5-②÷3得，

因为z、y是正整数，且不大于15，得z=3,6,9,12,15

由于x是正整数，且不大于15，解得或者

∴有两种运送方案：

①甲种车型2辆，乙车型有10辆，丙车型有3辆；

②甲种车型4辆，乙车型有5辆，丙车型有6辆；

（3）两种方案的运费分别是：

①800×2+1000×10+1200×3=15200；

②800×4+1000×5+1200×6=15400

答：甲车型2辆，乙车型有10辆，丙车型有3辆运费最少，最少运费是15200元．

【点拨】

本题考查了三元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握．