专题1.2实数精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2021-2022学年七年级数学下学期期末考试高分直通车【人教版】

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2021-2022学年七年级下学期期末考试高分直通车（人教版）专题1.2实数（知识梳理+典例剖析+变式训练）【目标导航】【知识梳理】平方根：（1）定义：如果一个数的        等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根        ，零的平方根是        ，负数        ．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为，负的平方根表示为（3）平方根的性质：正数a有        平方根，它们互为        ；0的平方根是    ；负数        ．
2.算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个        的平方等于a，即        ，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根         ．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①           是非负数；②           本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．3.非负数的性质：利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．4.立方根（1）定义：如果一个数的        等于a，那么这个数叫做a的              ．这就是说，如果       ，那么x叫做a的立方根．记作：（2）正数的立方根是       ，0的立方根是       ，负数的立方根是       ．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．5．无理数（1）定义：              叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．（2）会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π/2是无理数，因为π是无理数．6.实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．       都大于    ，       都小于   ，       大于一切      ，两个负实数绝对值大的反而小．
（2）利用      也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，      的总比      的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．7.实数的运算在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从      到      ，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【典例剖析】【考点1】平方根的定义【例1】（2020秋•赫山区期末）7的平方根是（　　）A．± B． C． D．14【变式1-1】（2021春•崇川区月考）下列各数中，没有平方根的是（　　）A．﹣22 B．（﹣2）2 C．﹣（﹣2） D．|﹣2|【变式1-2】（2020秋•惠山区校级月考）下列语句正确的是（　　）A．10的平方根是100 B．100的平方根是10 C．﹣2是﹣4的平方根 D．的平方根是±【变式1-3】（2020春•思明区校级期末）若实数a﹣2有平方根，那么a可以取的值为（　　）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点2】利用平方根解方程【例2】（2020春•越秀区校级期中）已知2（x﹣2）2＝8，求x的值．【变式2-1】（2019秋•莲湖区期中）求式子2（x﹣1）2﹣18＝0中x的值．【变式2-2】（2020秋•甘州区校级期中）求满足下列各式的未知数x．（1）（x﹣1）2﹣49＝0；（2）8＝0．【变式2-3】（2021春•安阳县月考）若2a﹣1与﹣a+2都是正数x的平方根，求a的值和这个正数的值．【考点3】平方根的性质【例3】（2020春•高新区校级期中）已知2x﹣y的平方根为±3，﹣4是3x+y的一个平方根，求x﹣y的平方根．【变式3-1】（2020春•西湖区校级期中）一个正数x的两个不同的平方根是3a﹣4和1﹣6a，求a及x的值．【变式3-2】（2020春•灵山县期末）已知3m﹣1和m﹣7是数p的平方根，求p的值．【变式3-3】（2021春•新丰县月考）已知一个正数的两个不同的平方根是3x﹣2和4﹣x，求这个正数．【考点4】算术平方根【例4】（2021•长沙模拟）计算的结果等于（　　）A．±2 B．2 C．﹣2 D．4【变式4-1】（2020秋•滦州市期末）的值等于（　　）A．± B． C． D．【变式4-2】（2020秋•内江期末）下列说法正确的是（　　）A．4的平方根是2 B．的平方根是±4 C．﹣36的算术平方根是6 D．25的平方根是±5【考点5】非负数的性质【例5】（2019春•嘉祥县期末）下列说法正确的是（　　）A．﹣81平方根是﹣9 B．的平方根是±9 C．平方根等于它本身的数是1和0 D．一定是正数【变式5-1】（2021春•朝阳区校级月考）关于代数式的说法正确的是（　　）A．x＝0时最大 B．x＝0时最小 C．x＝﹣4时最大 D．x＝﹣4时最小【变式5-2】（2020春•武川县期中）若，则xy的值为（　　）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【变式5-3】（2020春•阳西县期末）若a、b为实数，且满足，则b﹣a的值为（　　）A．1 B．0 C．﹣1 D．以上都不对【考点6】立方根【例6】（2020秋•沭阳县期末）下列计算正确的是（　　）A． B． C． D．【变式6-1】（2020秋•无锡期末）给出下列四个说法：①一个数的平方等于1，那么这个数就是1；②4是8的算术平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④8的立方根是±2．其中，正确的是（　　）A．①② B．①②③ C．②③ D．③【变式6-2】（2020秋•章丘区期末）下列说法中不正确的是（　　）A．10的平方根是 B．﹣8是64的一个平方根 C．27的立方根是3 D．的平方根是【变式6-3】（2020秋•重庆期末）（）2的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为（　　）A．3 B．7 C．3或7 D．1或7【考点7】无理数【例7】（2021•凉山州模拟）下列各数中，属于无理数的是（　　）A．1.414 B． C． D．【变式7-1】（2021春•茂南区校级月考）在0，，，这四个数中，无理数是（　　）A．0 B． C． D．【变式7-2】（2020秋•吉水县期末）实数，0，﹣π，，中无理数的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【变式7-3】（2021春•锦江区校级月考）在﹣1.414，，π，3.，2，3.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），3.1415926这些数中，无理数的个数为（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【考点8】实数的性质【例8】（2018秋•鸡东县期末）下列说法正确的是（　　）A．若a，则a＞0 B．若a与b互为相反数，则与也互为相反数 C．若（）2，则a＝b D．若a＞b＞0，则b【变式8-1】（2020春•丛台区校级月考）下列等式一定成立的是（　　）A． B．|1|1 C．±3 D．6【变式8-2】（2020春•丛台区校级月考）下列说法正确的是（　　）A．一个数的平方根有两个，它们互为相反数 B．一个数的立方根比这个数平方根小 C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D．与互为相反数【变式8-3】（2020秋•薛城区期末）下列各组数中互为相反数的是（　　）A．﹣2与 B．﹣2与 C．2与（）2 D．||与【考点9】实数的大小比较【例9】（2021•河南模拟）下列各数中，最小的是（　　）A．0 B． C． D．1【变式9-1】（2020•江干区二模）下列四个数：3，﹣0.5，，中，绝对值最大的数是（　　）A．3 B．﹣0.5 C． D．【变式9-2】（2020•东平县二模）在实数，，，中最大的无理数是（　　）A． B． C． D．【变式9-3】（2020秋•沂南县期中）下列各组有理数的大小比较中，正确的是（　　）A．﹣（﹣1）＜﹣（+2） B．﹣|﹣3|＞﹣（﹣2） C．﹣π＜﹣3.14 D．﹣（﹣0.3）＜﹣||【考点10】实数的估算【例10】（2021•河西区模拟）估计的值在（　　）A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．2到3之间或﹣3到﹣2之间【变式10-1】（2020秋•福田区期末）设n为正整数，且nn+1，则n的值为（　　）A．7 B．8 C．9 D．10【变式10-2】（2020秋•南岗区期末）若的整数部分为x，小数部分为y，则x﹣y的值是（　　）A．1 B． C．33 D．3【考点11】实数的运算【例11】（2020秋•芝罘区期末）（1）计算：（）2；（2）若（x﹣1）2﹣81＝0，求x的值．【变式11-1】（2020秋•江都区期末）计算：（1）；（2）|1|+（﹣2）2．【变式11-2】（2020秋•内江期末）计算（1）；（2）．【考点12】实数的应用问题【例12】（2018秋•浦东新区期末）某网店在2018年的“双十一”活动中对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：（1）如果一次性购物在400元以内，按标价给予九折优惠；（2）如果一次性购物超过400元的，可以先享受“天猫”每满400元减50元的优惠政策（不设上限）进行减扣，然后再给予八折优惠．A、程叔叔在该网店购买了一台标价750元的吸尘器，他应付多少元？B、王老师先在该网店为女儿购买了一台台灯，付款198元．后来想到家里的榨汁机坏了，又上这家网店花了816元买了一台榨汁机，如果王老师一次性购买，只需要付款多少元？【变式12-1】（2020春•延平区期中）阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：（1）若的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b的值．（2）已知：10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．【变式12-2】（2020秋•安溪县期中）已知a、b为实数，且a、b均不为0，现定义有序实数对（a，b）的“真诚值”为：，如数对（3，2）的“真诚值”为：d（3，2）＝3×22﹣3＝9，数对（﹣5，﹣2）的“真诚值”为：d（﹣5，﹣2）＝（﹣2）×（﹣5）2﹣（﹣2）＝﹣48．（1）根据上述的定义填空：d（﹣3，4）＝　   　，d（3，﹣2）＝　   　；（2）数对（a，2）的“真诚值”的绝对值为：|d（a，2）|，若|d（a，2）|＝8，求a的值．