有理数的乘除（提高）知识讲解学案

有理数的乘除（提高）

【学习目标】

1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；

2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；

3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；

4. 培养观察、分析、归纳及运算能力.

【要点梳理】

要点一、有理数的乘法

1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

（2）任何数同0相乘，都得0．

要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．

   （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．

2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；

（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．

 要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．

 (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．

 (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．

3. 有理数的乘法运算律：

（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．

（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．

（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．

要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．

（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．

（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．

要点二、有理数的除法

1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．

  要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；

    (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；

    (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；

    (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．

2. 有理数除法法则：

法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.

   法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.

 要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．

    （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．

    （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．

要点三、有理数的乘除混合运算

由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．

要点四、有理数的加减乘除混合运算

有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．

【典型例题】

类型一、有理数的乘法运算 

1．计算：(1)；

    (2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；

    (3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．

【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．

 (1)；

    (2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；

    (3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．

【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号.

2.（2015秋•碑林区期中）简便计算：

（1）（﹣48）×0.125+48×

（2）（）×（﹣36）

【思路点拨】（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案；（2）运用乘法分配律进行计算即．

【答案与解析】解：（1）（﹣48）×0.125+48×

=48×（﹣+﹣）

=48×0

=0；

（2）（）×（﹣36）

=﹣20+27﹣2

=5．

【总结升华】此题考查了有理数的乘法，用到的知识点是乘法的分配律，解题的关键是运用乘法分配律进行计算．

举一反三：

【变式】用简便方法计算：

    (1)；

    (2)．

【答案】

（1）原式

．

(2)

＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2

＝-3.14×(35.2+46.6+18.2)

＝-3.14×100

＝-314．

类型二、有理数的除法运算

3．计算：  

【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．

【答案与解析】

解：

【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果．

举一反三：

【高清课堂：有理数乘除381226 有理数除法例1（3）】

【变式】计算：

【答案】原式

类型三、有理数的乘除混合运算

4.计算：

【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.

【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，再应按从左到右的顺序进行．

举一反三：

【变式】计算：

【答案】

类型四、有理数的加减乘除混合运算

5. 计算：

【答案与解析】

方法1：

方法2：

所以

【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决，如果按a÷(b+c) ＝a÷b+a÷c进行分配就错了．

举一反三：

【变式】观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）

1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，

那么计算：=　　．

【答案】

解：==．

类型五、含绝对值的化简

6.已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出的值吗?

【思路点拨】先分别确定a、b、c的取值，再代入求值．

【答案与解析】

解：分四种情况：

 (1)当a、b、c三个数都为正数时，；

(2)当a、b、c三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a为负数，b、c为正数，

；

(3)当a、b、c三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a为正数，b、c为负数，

；

(4)当a、b、c三个数都为负数时，

综上，的值为：

【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论.

举一反三：

【高清课堂：有理数乘除  381226     有理数除法例2】

【变式】计算的取值.

【答案】(1)当a＞0、b＞0时，；

    (2)当a＜0、b＜0时，；

    (3)当a＞0，b＜0时，；

    (4)当a＜0，b＞0时，．

综上，的值为：