专题6.7实数与数轴问题（重难点培优）-2021-2022学年七年级数学下册同步培优题典【人教版】

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姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•安居区期中）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A．|b+c|＝b+cB．|a﹣b|＝b﹣aC．|a+c|＝a﹣cD．|a﹣c|＝a﹣c
【分析】先根据各点在数轴上的位置判断各数的符号，再对各选项进行判断即可．
【解析】由图可知，a＜b＜0＜c，|a|＜|b|＜|c|，
∴b+c＜0，a﹣b＞0，a+c＜0，a﹣c＞0，
∴|b+c|＝﹣b﹣c，故A选项错误；
|a﹣b|＝a﹣b，故B选项错误；
|a+c|＝﹣a﹣c，故C选项错误；
|a﹣c|＝a﹣c，故D选项正确；
故选：D．
2．（2020秋•济南期中）点A在数轴上表示的数为-15，点B在数轴上表示的数为7，则A、B之间表示整数的点有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【分析】估算-15和7的大小，即可得出答案．
【解析】因为9＜15＜16，
所以3＜15＜4，
所以﹣4＜-15＜-3，
又因为2＜7＜3，
所以A、B之间的整数有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
故选：B．
3．（2019秋•克东县期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a﹣c|﹣|a+b|的值等于（ ）
A．c+bB．b﹣cC．c﹣2a+bD．c﹣2a﹣b
【分析】根据数轴得到b＜a＜0＜c，根据有理数的加法法则，减法法则得到a﹣c＜0，a+b＜0，根据绝对值的性质化简计算．
【解析】由数轴可知，b＜a＜0＜c，
∴a﹣c＜0，a+b＜0，
则|a﹣c|﹣|a+b|＝﹣a+c+a+b＝c+b，
故选：A．
4．（2020秋•大东区期中）下列说法：①实数与数轴上的点一一对应；②﹣a2没有平方根；③任何实数的立方根有且只有一个；④平方根与立方根相同的数是0和1；⑤4的算术平方根是2．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】本题考查实数与数轴的点的关系及实数的有关性质，依次分析可得答案．
【解析】依次分析可得：
①实数与数轴上的点一一对应，符合实数与数轴上的点的关系，故正确；
②a＝0时，﹣a2＝0，平方根为0，故错误；
③任何实数的立方根有且只有一个，故正确；
④平方根与立方根相同的数是0，而1的平方根是±1，而立方根是1，故错误，
⑤4的算术平方根是2，故错误，
∴①③正确，
故选：B．
5．（2020秋•芝罘区期中）实数a，b在数轴上的位置如图，下列结论错误的是（ ）
A．a+b＞0B．ab＜0C．b＞﹣aD．a+3＞b
【分析】根据实数a，b在数轴上的位置得出a、b的取值范围，进而对每个选项进行判断即可．
【解析】实数a，b在数轴上的位置可知，﹣2＜a＜﹣1，b＞2，
∴a+b＞0，ab＜0，b＞﹣a，
因此选项A、B、C均不符合题意，
∵﹣2＜a＜﹣1，
∴1＜a+3＜2，而b＞2，
因此a+3＜b，
所以选项D符合题意，
故选：D．
6．（2020秋•合肥期中）实数m，n在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．m＞nB．﹣m＜nC．m＞﹣nD．﹣m＞n
【分析】根据实数m，n在数轴上对应的点的位置可得m、n的取值范围，进而判断各个选项的正误．
【解析】由实数m，n在数轴上对应的点的位置可知，
﹣2＜m＜﹣1，0＜n＜1，
∴m＜n，因此选项A不符合题意；
﹣m＞n，因此选项B不符合题意，选项D符合题意；
m＜﹣n，因此选项C不符合题意；
故选：D．
7．（2020秋•梁园区月考）若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为﹣2和﹣1，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2020对应的字是（ ）
A．振B．兴C．中D．华
【分析】根据规律可知，数轴上的数字与字的对应关系，“中”字是数字除以4余2的，“华”是除以4余3的，“振”是能被4整除的，“兴”是除以4余1的，由此可得连续翻滚后数轴上数2020对应的字．
【解析】由题意可知：“中”字是数字除以4余2的，“华”是除以4余3的，“振”是能被4整除的，“兴”是除以4余1的，
因为2020÷4＝505，
所以数字对应的是“振”，
故选：A．
8．（2020春•丛台区校级期末）如图，已知C，B两点对应的数字分别为3和11，且点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A．-11B．3-11C．11-3D．6-11
【分析】设点A表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．
【解析】设点A表示的数是x，
∵数轴上表示3、11的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，
∴11+x2=3，
解得x＝6-11．
故选：D．
9．（2020秋•南安市期中）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则|a-3|+|b+3|的值为（ ）
A．a+bB．a﹣bC．﹣a+bD．﹣a﹣b
【分析】根据数轴上点的位置确定出a与b的正负，原式利用绝对值的代数意义化简即可求出值．
【解析】由数轴得，b＜-3，0＜a＜3，
∴b+3＜0，a-3＜0，
∴|a-3|+|b+3|
＝﹣（a-3）﹣（b+3）
＝﹣a+3-b-3）
＝﹣a﹣b．
故选：D．
10．（2020•香洲区校级一模）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A．|a﹣b|＜1B．|a|＜|b|
C．|a+1|+|1﹣b|＝a﹣bD．ab＜0
【分析】根据数轴上点的位置确定出a与b的取值范围，进而分别分析得出答案．
【解析】由数轴可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
A、∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴﹣1＜﹣b＜0，
∴﹣3＜a﹣b＜1，
∴1＜|a﹣b|＜3，故此选项错误；
B、∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴1＜|a|＜2，0＜|b|＜1，
∴|a|＞|b|，故此选项错误；
C、∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a+1＜0，1﹣b＞0，
∴|a+1|+|1﹣b|＝﹣（a+1）+（1﹣b）＝﹣a﹣1+1﹣b＝﹣a﹣b，故此选项错误；
D、∵﹣2＜a＜﹣1＜0，0＜b＜1，
∴ab＜0，故此选项正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•盐池县期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|+a的结果为 b ．
【分析】根据实数a、b在数轴上的位置判断出其取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，进而可得出结论．
【解析】由数轴可得：a＜0＜b，
则a﹣b＜0，
|a﹣b|+a＝b﹣a+a＝b．
故答案为：b．
12．（2020秋•丹东期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简：|b﹣a|﹣|a|的结果为 b ．
【分析】依据实数a，b在数轴上的位置，即可得到b﹣a＞0，进而利用绝对值的性质进行化简计算．
【解析】由题可得，a＜0＜b，
∴b﹣a＞0，
∴|b﹣a|﹣|a|＝b﹣a﹣（﹣a）＝b﹣a+a＝b，
故答案为：b．
13．（2020秋•青田县期末）如图，在数轴上，点A到点C的距离与点B到点A的距离相等，A，B两点所对就的实数分别是-3和1，则点C对应的实数是 2+3 ．
【分析】根据题意求出AB的长，得到AC的长以及OC的长，确定点C对应的实数．
【解析】∵A，B两点所对应的实数分别是-3和1，
∴AB＝1+3，
又∵CB＝AB，
∴OC＝OA+AC＝2+3，
∴点C对应的实数是2+3，
故答案为：2+3．
14．（2020秋•余杭区期中）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣1表示的点与5表示的点重合，则5表示的点与数 4-5 表示的点重合．
【分析】根据对称的知识，若﹣1表示的点与5表示的点重合，则对称中心是2，从而找到5的对称点．
【解析】若﹣1表示的点与5表示的点重合，则对称中心是2，
所以5表示的点与数4-5表示的点重合；
故答案为4-5．
15．（2020秋•太仓市期中）两个实数a，b在数轴上表示的位置如图所示，则|a﹣b|的化简结果为 b﹣a ．
【分析】根据实数a，b在数轴上的位置判断a、b的符号，再判断a﹣b的符号，最后再化简得出答案．
【解析】根据实数a，b在数轴上的位置可知，a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
∴a﹣b＜0，
∴|a﹣b|＝﹣（a﹣b）＝b﹣a，
故答案为：b﹣a．
16．（2020秋•杏花岭区校级期中）如图，边长为1的正方形ABCD，沿着数轴顺时针连续滚动．起点A和﹣2重合，则滚动2026次后，点C在数轴上对应的数是 2024 ．
【分析】滚动2次点C第一次落在数轴上，再滚动（2026﹣2）次，得出点C第506次落在数轴上，进而求出相应的数即可．
【解析】将起点A和﹣2重合的正方形，沿着数轴顺时针滚动2次，点C第1次落在数轴上的原点．以后每4次，点C会落在数轴上的某一点，这样滚动2026次，点C第（2026﹣2）÷4＝506次落在数轴上，因此点C所表示的数为2024，
故答案为：2024．
17．（2020秋•杨浦区校级期中）在数轴上和3的距离是3的点是 3+3或3-3 ．
【分析】根据此点可能在3的左边，也有可能在3的右边，据此可得答案．
【解析】在数轴上和3的距离是3的点是3+3或3-3，
故答案为：3+3或3-3．
18．（2020春•丛台区校级期中）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是2和5．若点A关于B点的对称点为C，则C表示的实数为 25-2 ．
【分析】设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．
【解析】设点C所对应的实数是x．
则有x-5=5-2，解得x＝25-2．
故答案为：25-2．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•北仑区期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）
（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与 2 表示的点重合；
（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数 ﹣3 表示的点重合；
②3表示的点与数 2-3 表示的点重合；
③若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是 ﹣3.5 、点B表示的数是 5.5
（3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值．
【分析】（1）求出表示两个数的点的中点所对应的数，利用方程可以求出在此条件下，任意一个数所对应的数；
（2）求出﹣1表示的点与3表示的点重合时中点表示的数，在利用方程或方程组求出在此条件下，任意一个数所对应的数；
（3）分两种情况进行解答，向左移动4个单位，向右移动4个单位，列方程求解即可．
【解析】（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，折叠点对应的数为-1+12=0，设﹣2表示的点所对应点表示的数为x，于是有-2+x2=0，解得x＝2，
故答案为2；
（2）折叠纸面，使表示的点﹣1与3重合，折叠点对应的数为-1+32=1，
①设5表示的点所对应点表示的数为y，于是有5+y2=1，解得y＝﹣3，
②设3表示的点所对应点表示的数为z，于是有z+32=1，解得z＝2-3，
③设点A所表示的数为a，点B表示的数为b，由题意得：
a+b2=1且b﹣a＝9，解得：a＝﹣3.5，b＝5.5，
故答案为：﹣3，2-3，﹣3.5，5.5；
（3）①A往左移4个单位：（a﹣4）+a＝0．解得：a＝2．
②A往右移4个单位：（a+4）+a＝0，解得：a＝﹣2．
答：a的值为2或﹣2．
20．（2020春•西乡塘区校级月考）如图，将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来．请在每个字母后面的空格填写对应的实数：-12，π，0，2，2，-3．
点A表示的数是 -3 ；点B表示的数是 -12 ；点O表示的数是 0 ；点C表示的数是 2 ；点D表示的数是 2 ；点E表示的数是 π ．
【分析】根据数轴上的点与实数一一对应，可得答案．
【解析】点A表示的数是-3；点B表示的数是-12；点O表示的数是0；点C表示的数是2；点D表示的数是2；点E表示的数是π．
故答案为：-3，-12，0，2，2，π．
21．（2020春•定州市校级期末）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示-2，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值．
（2）求|m﹣1|+m+6的值．
【分析】（1）根据正负数的意义计算；
（2）根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算．
【解析】（1）由题意A点和B点的距离为2，A点表示的数为-2，因此点B所表示的数m＝2-2．
（2）把m的值代入得：|m﹣1|+m+6
＝|2-2-1|+2-2+6，
＝|1-2|+8-2，
=2-1+8-2，
＝7．
22．（2020•河北模拟）对于题目：实数a，b，c的大小如图中数轴所示，化简：|a﹣c|﹣|a﹣b|+|c﹣b|+2c．
张皓程的解法如图所示：
（1）张皓程从第 ① 步开始出错．
（2）请你写出正确的解答过程．
【分析】由图可得：c＜0＜a＜b，且|b|＞|a|＞|c|，则可以化简所求式子．
【解析】（1）因为c＜0＜a＜b，且|b|＞|a|＞|c|，
所以a﹣c＞0，a﹣b＜0，c﹣b＜0，
所以|a﹣c|﹣|a﹣b|+|c﹣b|+2c＝（a﹣c）+（a﹣b）﹣（c﹣b）+2c
所以是第①步出错，原因是去绝对值符号时，负数没有变号；
故答案为：①；
（2）因为c＜0＜a＜b，且|b|＞|a|＞|c|，
所以a﹣c＞0，a﹣b＜0，c﹣b＜0，
|a﹣c|﹣|a﹣b|+|c﹣b|+2c
＝（a﹣c）+（a﹣b）﹣（c﹣b）+2c
＝a﹣c+a﹣b﹣c+b+2c
＝2a．
23．（2019秋•曲阳县期末）如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为﹣1，正方形ABCD的面积为16．
（1）数轴上点B表示的数为 ﹣5 ；
（2）将正方形ABCD沿数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'C'D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分的面积记为S．当S＝4时，画出图形，并求出数轴上点A'表示的数；
【分析】（1）根据正方形的面积求出边长，即可得出点B所表示的数；
（2）分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，进而求出点A移动的距离，得出点A′所表示的数．
【解析】（1）∵正方形ABCD的面积为16．
∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，
∴点B所表示的数为：﹣1﹣4＝﹣5，
故答案为：﹣5；
（2）当S＝4时，
①若正方形ABCD向右平移，如图1，
重叠部分中AB′＝1，AA′＝3．
则点A′表示﹣1+3＝2；
②若正方形ABCD向左平移，如图2，
重叠部分中A′B＝1，AA′＝3，
则点A′表示的数为﹣1﹣3＝﹣4．
故点A′所表示的数为﹣4或2．
24．（2019秋•光明区期末）如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，OC边长为3
（1）数轴上点A表示的数为 4 ．
（2）将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′，移动后的长方形O′A′B'C′与原长方形OABC重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S
①设点A的移动距离AA′＝x．当S＝4时，x＝ 83 ．
②当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，求数轴上点A′表示的数为多少．
【分析】（1）根据正方形的面积求出边长，即可得出点B所表示的数；
（2）①求出重合部分的边长，即可求出平移的距离，
②分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，进而求出点A移动的距离，得出点A′所表示的数．
【解析】（1）OA＝BC＝12÷3＝4，
故答案为：4；
（2）当S＝4时，
①若正方形OABC平移后得图2，
重叠部分中AO′＝4÷3=43，AA′＝4-43=83．
故答案为：83；
②当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，点A向右或向左移动4÷2＝2，
因此点A′表示的数为4+2＝6或4﹣2＝2，
故点A′所表示的数6或2．