专题6.8实数的应用（重难点培优）-2021-2022学年七年级数学下册同步培优题典【人教版】

2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】

专题6.8实数的应用（重难点培优）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一．解答题（共20小题）

1．（2020春•无棣县期末）一个底面为40cm×30cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？

【分析】根据倒出的水的体积等于铁桶的体积，列出方程求解即可．

【解析】设铁桶的底面边长为xcm，则

x2×10＝40×30，×20，

x2＝40×30×2，

x，

x．

答：铁桶的底面边长是cm．

2．（2020春•蔡甸区校级月考）某同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，（如图所示）沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为6：5，请你用所学过的知识来说明能否用这块纸片裁出符合要求的纸片．

【分析】先设长方形纸片的长为6x （x＞0）cm，则宽为5x cm，根据长方形的面积公式有6x⋅5x＝300，解得x（负数舍去），易求长方形纸片的长是6，再去比较6与正方形的边长大小即可．

【解析】设长方形纸片的长为6x （x＞0）cm，则宽为5x cm，依题意得

6x⋅5x＝300，

30x2＝300，

x2＝10，

∵x＞0，

∴x，

∴长方形纸片的长为6cm，

由正方形纸片的面积为400 cm2，可知其边长为20cm，

∵618.974，即长方形纸片的长小于20cm，

∴长方形纸片的长小于正方形纸片的边长．

答：能用这块纸片裁出符合要求的纸片．

3．（2020春•沙河口区期末）一个长方形的长宽之比为2：1，面积为64cm2．

（1）求长方形的长与宽；

（2）将这个长方形的长减少acm，宽增加bcm后，就成为一个正方形，并且它与原来的长方形的面积相等，请判断a、b的大小，并说明理由．

【分析】（1）根据长方形长宽之比可求解；

（2）长方形变为正方形时面积相等可求解．

【解析】（1）设长方形的长为2xcm，宽为xcm，

由题意得2x•x＝64，

解得x，

∴2x（cm），

∴长方形的长为cm，宽为cm；

（2）由题意得，

解得，（舍去），

∴a＞b．

4．（2020春•崆峒区期末）如图用两个面积为5cm2的小正方形按如图所示的方式拼成一个大正方形．

（1）求大正方形的边长；

（2）想在这个大正方形的四周粘上彩纸，请问12cm长的彩纸够吗？请说明理由．

【分析】（1）求出大正方形的面积，利用算术平方根性质求出边长即可；

（2）不够，由彩纸确定出分到每条边的长，比较即可．

【解析】（1）因为大正方形的面积为10cm2，

所以大正方形的边长为cm；

（2）不够，理由如下：

因为分到每条边的彩纸长为12÷4＝3cm，且3cmcm，

所以12cm长的彩纸不够．

5．（2020春•福州期末）已知足球场的形状是一个长方形，而国际标准球场的长度a和宽度b（单位：米）的取值范围分别是100≤a≤110，64≤b≤75．若某球场的宽与长的比是1：1.5，面积为7350平方米，请判断该球场是否符合国际标准球场的长宽标准，并说明理由．

【分析】根据宽与长的比是1：1.5，面积为7350平方米，列方程求出长和宽，比较得出答案．

【解析】设宽为b米，则长为1.5b米，由题意得，

1.5b×b＝7350，

∴b＝70，或b＝﹣70（舍去），

即宽为70米，长为1.5×70＝105米，

∵100≤105≤110，64≤70≤75，

∴符合国际标准球场的长宽标准．

6．（2020春•顺义区期末）公园里有一个边长为8米的正方形花坛，如图所示，现在想扩大花坛的面积．要使花坛的面积增加80平方米后仍然是正方形，求边长应该延长多少米？

【分析】设边长应该延长x米，根据题意得到改造后花坛的边长长为（x+8）米，则其面积为（64+80）平方米，然后根据正方形的面积为（x+8）2＝（64+80）平方米可得到答案．

【解析】设边长应该延长x米，根据题意，得

（x+8）2＝64+80，

（x+8）2＝144，

∴x+812（负值舍去），

∴x＝4，

答：边长应该延长4米．

7．（2020春•红旗区校级期中）有一个长、宽之比为5：2的长方形过道，其面积为20m2．

（1）求这个长方形过道的长和宽；

（2）用40块大小相同的正方形地板砖刚好把这个过道铺满，求这种地板砖的边长（结果保留根号）．

【分析】（1）根据长、宽的比设出长为5xm，宽为2xm，根据面积列出关于x的方程，利用平方根的概念求解可得；

（2）其边长为正方形地砖面积的算术平方根，据此求解可得．

【解析】（1）设长方形的长为5x（m），则宽为2x（m），

根据题意，得：5x•2x＝20，

即x2＝2，

∴x或x（舍去）；

答：长方形的长为5m，宽为2m；

（2）这种地板砖的边长为（m）．

8．（2020春•石泉县期末）小明想用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向，裁出一块面积为360平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为4：3，他不知道能否裁得出来，聪明的你帮他想想，他能裁得出来吗？（通过计算说明）

【分析】设面积为360平方厘米的长方形的长宽分为4x厘米，3x厘米，则4x•3x＝360，x2＝30，解得x，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米，由于5，所以用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向裁不出一块面积为360平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为4：3．

【解析】设长方形纸片的长为4x （x＞0）厘米，则宽为3x厘米，依题意得

4x•3x＝360，即x2＝30，

∵x＞0，

∴x，

∴长方形纸片的长为4 厘米，

∵5，即长方形纸片的长大于20厘米，

由正方形纸片的面积为400平方厘米，可知其边长为20厘米，

∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长．

答：不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．

9．（2020春•赣州期末）如图，用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形．

（1）则大正方形的边长是　20cm　；

（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：4．且面积为360cm2？

【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；

（2）先求出长方形的边长，再判断即可．

【解析】（1）大正方形的边长是20（cm）；

故答案为：20cm；

（2）设长方形纸片的长为5xcm，宽为4xcm，

则5x•4x＝360，

解得：x3，

则5x＝1520，

所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360cm2．

10．（2020春•鄂州期中）某工厂要新建一个800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2．

（1）求这个长方形场地的长和宽为多少米？

（2）某个正方形场地的周围有一圈金属栅栏围墙，如果把原来面积为900平方米的正方形场地的栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？

（提示：4480）

【分析】（1）根据长宽的比例设长为5x米，宽为2x米，由长方形的面积得5x•2x＝800，利用算术平方根的定义求出x的值，从而得出答案；

（2）先根据正方形的面积求出正方形的边长，继而得出其周长，即栅栏的长度，再求出长方形的周长，比较大小即可得出答案．

【解析】（1）设长方形场地的长为5x米，宽为2x米，

根据题意知，5x•2x＝800，

解得x＝4或x＝﹣4（舍去），

∴这个长方形场地的长为20米，宽为8米；

（2）栅栏围墙不够用，

因为正方形场地的面积为900平方米，

所以正方形场地的边长为30米，

则正方形的周长，即栅栏的长度为120米，

长方形场地的周长为2×（208）＝56（米），

∵56120，

∴栅栏围墙不够用．

11．（2020秋•遵化市期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4．

（1）求该长方形的长宽各为多少？

（2）农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？

【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为7：4设长为7x米，宽为4x米，以面积为700平方米作等量关系列方程．用求算术平方根方法解得x的值．

（2）设大正方形的边长为4xm，则小正方形的边长为3xm，根据面积之和为600m2，列出方程求出x，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解．

【解析】（1）设该长方形花坛长为7x米，宽为4x米，

依题意得：7x×4x＝700，

x2＝25，

∴x＝5（﹣5不合题意舍去）

∴7x＝35，4x＝20，

答：该长方形的长35米，宽20米；

（2）设大正方形的边长为4xm，则小正方形的边长为3xm，依题意有

（4x）2+（3x）2＝600，

25x2＝600，

x2＝24，

x，

4x，

，

∵35，，

∴能改造出这样的两块不相连的正方形试验田；

，（35+20）×2＝110，

∵，

∴原来的铁栅栏围墙不够用．

12．（2020春•威县期末）小辰想用一块面积为100cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为90cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：3．小辰能否用这张正方形纸片裁出符合要求的纸片？若能请写出具体栽法；若不能，请说明理由．

【分析】根据长方形面积为90，和长宽比例为5：3即可求得长方形的长，即可解题．

【解析】设长方形长为5x，则长方形的宽为3x，根据题意得

5x•3x＝90，

15x2＝90，

x2＝6，

∵x＞0，

∴，

∴长方形长为5cm，

∴面积为100的正方形的边长为10cm，

∵2，

∴10，

答：无法裁出符合要求的纸片．

13．（2020春•巩义市期末）有一块正方形工料，面积为16平方米．

（1）求正方形工料的边长．

（2）李师傅准备用它截剪出一块面积为12平方米的长方形工件，且要求长宽之比为3：2，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由．（参考数据：1.414，1.732）．

【分析】（1）求出的值即可；

（2）设长方形的长宽分别为3x米、2x米，得出方程3x•2x＝12，求出x，求出长方形的长和宽和4比较即可．

【解析】（1）∵正方形的面积是16平方米，

∴正方形工料的边长是4米；

（2）设长方形的长宽分别为3x米、2x米，

则3x•2x＝12，

x2＝2，

x，

3x＝34，2x＝2，

∴长方形长是3米和宽是2米，

即李师傅不能办到．

14．（2020春•潮安区期中）有一个边长为9cm的正方形和一个长为24cm、宽为6cm的长方形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少厘米？

【分析】利用已知得出新正方形的面积，进而求出其边长．

【解析】设正方形的边长为x 厘米．

依题意得：x2＝9×9+24×6，即x2＝225，

∴x＝15．

答：正方形的边长为15厘米．

15．（2020春•大悟县期中）如图是一块正方形纸片．

（1）如图1，若正方形纸片的面积为1dm2，则此正方形的对角线AC的长为　　dm．

（2）若一圆的面积与这个正方形的面积都是2πcm2，设圆的周长为C圆，正方形的周长为C正，则C圆　＜　C正（填“＝”或“＜”或“＞”号）

（3）如图2，若正方形的面积为16cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由？

【分析】（1）由正方形面积，易求得正方形边长，再有勾股定理求对角线长；（2）由圆面积公式，和正方形面积可求周长，比较两数大小可以采用比商法

（3）采用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可；

【解析】（1）解：由已知AB2＝1，则AB＝1，

由勾股定理，AC；

或根据AC2＝1，可得AC，

故答案为：

（2）由圆面积公式，

可得圆半径为，周长为，

正方形周长为4．

；

故答案为：＜

（3）不能；

由已知设长方形长和宽为3xcm和2xcm

∴长方形面积为：2x•3x＝12

∴解得x

∴长方形长边为34

∴他不能裁出．

16．（2019秋•金凤区校级期末）某地气象资料表明：某地雷雨持续的时间t（h）可以用下面的公式来估计：，其中d（km）是雷雨区域的直径．

（1）雷雨区域的直径为8km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？

（2）如果一场雷雨持续了2h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？

【分析】（1）根据，其中d＝8（km）是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案；

（2）根据，其中t＝2h是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案．

【解析】（1）根据，其中d＝8（km），

∴t2，

∵t＞0，

∴t（h），

答：这场雷雨大约能持续h；

（2）根据，其中t＝2h，

∴d2＝3600，

∵d＞0，

∴d＝60（km），

答：这场雷雨区域的直径大约是60km．

17．（2019秋•邢台期末）如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8cm3．

（1）这个魔方的棱长为　2cm　．

（2）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的周长．

【分析】（1）立方体的体积等于棱长的3次方，开立方即可得出棱长；

（2）根据阴影部分是一个正方形，先根据勾股定理求出阴影部分的边长，再求出周长．

【解析】（1）2（cm）．

故这个魔方的棱长是2cm．

故答案为：2cm．

（2）∵魔方的棱长为2cm，

∴小立方体的棱长为1cm，

∴阴影部分是正方形，其边长为：（cm），

∴出阴影部分的周长4cm．

18．（2019春•番禺区校级月考）小丽想用一块面积为324cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为240的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，不知能否裁出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？

【分析】根据长方形的面积为240，长与宽的比为3：2，可求出长、宽，再根据正方形的面积求出边长，最后比较长方形的长与正方形的边长的大小关系，得出答案．

【解析】∵正方体的面积为324cm2，

∴正方形的边长为18cm，

又∵长方形的面积为240，长与宽的比为3：2，

∴长方形的长为6cm，宽为4cm，

∵34，

∴618，

∴不能裁出来，

故不同意小明的说法，这块纸片裁不出符合要求的纸片．

19．（2019春•温岭市期末）如图，用两个边长为cm的小正方形剪拼成一个大的正方形，

（1）则大正方形的边长是　4　cm；

（2）若沿此大正方形的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为12cm2，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．

【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；

（2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可．

【解析】（1）大正方形的边长是4（cm）；

故答案为：4；

（2）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，

则2x•3x＝12，

解得：x，

3x＝34，

所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2，且面积为12cm2．

20．（2019春•江岸区校级期中）如图是一块正方形纸片．

（1）如图1，若正方形纸片的面积为2dm2，则此正方形的边长BC的长为　　dm，对角线AC的长为　2　dm．

（2）如图2，若正方形的面积为16cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由．

（3）若一圆的面积与这个正方形的面积都是2πcm2，设圆的周长为C圆，正方形的周长为C正，试比较C圆与C正的大小．

【分析】（1）按照正方形的面积与边长的关系、正方形的面积与对角线的关系可得答案．

（2）设裁出的长方形的长为3a（cm），宽为2a（cm），由题意得关于a的方程，解得a的值，从而可得长方形的长和宽，将其与正方形的边长比较，可得答案．

（3）分别根据圆的面积和正方形的面积得出其半径或边长，再分别求得其周长，根据实数大小比较的方法，可得答案．

【解析】（1）∵正方形纸片的面积为2dm2，而正方形的面积等于边长的平方，

∴BCdm，

∵正方形的面积也等于对角线×对角线÷2，AC＝BD，

∴AC•BDAC2＝2，

∴AC2＝4，

∴AC＝2．

故答案为：，2．

（2）不能裁出长和宽之比为3：2的长方形，理由如下：

设裁出的长方形的长为3a（cm），宽为2a（cm），由题意得：

3a×2a＝12，

解得a或a（不合题意，舍去），

∴长为3cm，宽为2cm，

∵正方形的面积为16cm2，

∴正方形的边长为4cm，

∵34，

∴不能裁出长和宽之比为3：2的长方形．

（3）∵圆的面积与正方形的面积都是2πcm2，

∴圆的半径为（cm），正方形的边长为（cm），

∴C圆＝2π（cm），C正＝4（cm），

∵32π＝8π×4＞8π×π，

∴，

∴C圆＜C正．