专题6.10第6章实数单元测试（培优卷）-2021-2022学年七年级数学下册同步培优题典【人教版】

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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】
专题6.10第6章实数单元测试（培优卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•砚山县一模）下列各数：π2，0，9，0.23⋅，cos60°，227，0.303003…，1-2中有理数个数为（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据有理数和无理数的定义求解即可．
【解析】9=3是有理数，cos60°=12是有理数，
π2，0.303003…，1-2是无理数，
0，9，0.23⋅，cos60°，227，是有理数，
故选：C．
2．（2018秋•新华区期中）学完《实数》一章后，小李，小张，小杜，小王做出如下判断，其中正确的判断是（　　）
小李：9的平方根是±3；
小张：无限小数是无理数；
小杜：带根号的数是无理数；
小王：实数和数轴上的点一一对应
A．小李 B．小张 C．小杜 D．小王
【分析】利用实数的性质，算术平方根及平方根定义判断即可．
【解析】小李：9=3，3的平方根是±3，不符合题意；
小张：无限小数不一定是无理数，不符合题意；
小杜：带根号的数不一定是无理数，不符合题意；
小王：实数和数轴上的点一一对应，符合题意．
故选：D．
3．（2020•安徽模拟）设a为正整数，且a＜37＜a+1，则a的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据题意得出37接近的有理数，即可得出答案．
【解析】∵36＜37＜49，
∴6＜37＜7，
∵a为正整数，且a＜37＜a+1，
∴a＝6．
故选：B．
4．（2020春•东西湖区期中）如图，数轴上点A表示的数可能是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．π
【分析】设A点表示的数为x，则1＜x＜2，再根据每个选项中的范围进行判断．
【解析】如图，设A点表示的数为x，则1＜x＜2，
∵1＜2＜1.5，1.5＜3＜2，2＜5＜3，3＜π＜4，
∴符合x取值范围的数为2．
故选：A．
5．（2020秋•大东区期末）估计63的值应在（　　）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
【分析】直接利用平方数可知49＜63＜64，从而估算无理数63的大小．
【解析】∵49＜63＜64，
∴7＜63＜8，
故选：A．
6．（2020秋•苏州期中）下列说法中，正确的个数有（　　）
①实数4的平方根是±2；
②平方根等于它本身的数是0；
③无理数都是无限小数；
④因为π2是分数，所以π2是有理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据平方根和算术平方根的定义进行判断；
②根据平方根的定义进行判断；
③④根据无理数的定义进行判断．
【解析】①实数4的平方根是±2，原来的说法错误；
②平方根等于它本身的数是0，原来的说法正确；
③无理数是无限不循环小数，所以无理数都是无限小数，原来的说法正确；
④π2是无理数，原来的说法错误；
故选：B．
7．（2020春•崇川区校级期中）下列说法：①﹣a2没有算术平方根；②若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0或1；③有理数和数轴上的点一一对应；④负数没有立方根，其中正确的是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】分别按照算术平方根、平方根、实数与数轴的对应关系及立方根的性质来解答即可．
【解析】①当a＝0时，﹣a2＝0，有算术平方根0，故①错误；
②平方根等于它本身的数只有0，1的平方根是±1，故②错误；
③实数和数轴上的点一一对应，故③错误；
④负数也有立方根，故④错误．
综上，正确的是0个．
故选：A．
8．（2020春•海安市期末）观察下表中的数据信息：
a
15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15.8
15.9
16
a2
225
228.01
231.04
234.09
237.16
240.25
243.36
246.49
249.64
252.81
256
根据表中的信息判断，下列“判断”中错误的是（　　）
A．2.2801=1.51
B．23409-23104=1
C．只有3个正整数a满足15.4＜a＜15.5
D．2.51-1.58＜0
【分析】根据表格中的信息可知a2和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可．
【解析】A．根据表格中的信息知：2.2801=1.51，故本选项不合题意；
B．根据表格中的信息知：23409-23104=153﹣152＝1，故本选项不合题意；
C．根据表格中的信息知：15.42＝237.16＜a＜15.52＝240.36，
∴正整数a＝238或239或240，
∴只有3个正整数a满足15.4＜a＜15.5，故本选项不合题意；
D．根据表格中的信息知：2.51-1.58≈1.59﹣1.58＝0.01＞0，故本选项符合题意．
故选：D．
9．（2019秋•西峡县期中）若a＝2-5，则代数式2a2﹣8a﹣1的值等（　　）
A．1 B．﹣1 C．45+4 D．5-2
【分析】将所求代数式利用配方法转化为2（a﹣2）2﹣9的形式，代入求值即可．
【解析】∵a＝2-5，
∴2a2﹣8a﹣1
＝2（a﹣2）2﹣9
＝2（2-5-2）2﹣9
＝2×5﹣9
＝1．
故选：A．
10．（2020秋•南关区校级期中）若规定，f（x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n整数）例如：f（0.7）＝1，f（2.3）＝2，f（5）＝5，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（9）的值（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
【分析】根据f（x）表示的意义，分别求出f（1），f（2），f（3），…f（9）的值，再计算结果即可．
【解析】f（x）表示的意义可得，f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝2，
f（5）＝2，f（6）＝2，f（7）＝3，f（8）＝3，f（9）＝3，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（9）＝1+1+2+2+2+2+3+3+3＝19，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋•溧水区期末）在﹣4，0，π，1.010010001，-227，1.3⋅这6个数中，无理数有　1　个．
【分析】根据无理数的三种形式求解．
【解析】在﹣4，0，π，1.010010001，-227，1.3⋅这6个数中，无理数有π共1个．
故答案为：1
12．（2020春•卫滨区校级月考）无理数5的小数部分是　5-2　．
【分析】先求出5的范围，即可得出无理数5的小数部分．
【解析】∵2＜5＜3，
∴无理数5的小数部分是：5-2；
故答案为：5-2．
13．（2019秋•昌图县期末）已知，m+2的算术平方根是2，2m+n的立方根是3，则m+n＝　25　．
【分析】由已知可得m+2＝4，4+n＝27，求得m＝2，n＝23即可求解．
【解析】∵m+2的算术平方根是2，
∴m+2＝4，
∴m＝2，
∵2m+n的立方根是3，
∴4+n＝27，
∴n＝23，
∴m+n＝25，
故答案为25．
14．（2020春•博兴县期中）若一个正数的平方根为2a+1和﹣a﹣3，则a＝　2　，这个正数是　25　．
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出方程求出a，再求出这个数的一个平方根，然后平方即可．
【解析】∵一个正数的平方根是2a+1和﹣a﹣3，
∴2a+1﹣a﹣3＝0，
解得：a＝2，
即这个正数是（2×2+1）2＝25，
故答案为：2；25．
15．（2019秋•永州期末）对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x△y=3ax+2by+1，若1△（﹣1）＝6，则（﹣2）△2的值是　-32　．
【分析】直接利用已知得出3a﹣2b＝5，进而将原式变形求出答案．
【解析】∵x△y=3ax+2by+1，
∴1△（﹣1）＝6=3a1+2b-1+1，
则3a﹣2b＝5，
∴（﹣2）△2=3a-2+2b2+1=-12（3a﹣2b）+1=-52+1=-32．
故答案为：-32．
16．（2020秋•锡山区期中）若两个连续整数x、y满足x＜5+2＜y，则x+y的值是　9　．
【分析】先利用“夹逼法”求5的整数部分，再利用不等式的性质可得5+2在哪两个整数之间，进而求解．
【解析】∵4＜5＜9，
∴2＜5＜3，
∴4＜5+2＜5，
∵两个连续整数x、y满足x＜5+2＜y，
∴x＝4，y＝5，
∴x+y＝4+5＝9．
故答案为：9．
17．（2020秋•鼓楼区期中）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，e是13的整数部分，f是5的小数部分，求代数式a+b-3cd+e﹣f＝　4-5　．
【分析】根据互为相反数、互为倒数、无理数的整数部分、小数部分的意义求解即可．
【解析】∵实数a、b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵c、d互为倒数，
∴cd＝1，
∵3＜13＜4，
∴13的整数部分为3，e＝3，
∵2＜5＜3，
∴5的小数部分为5-2，即f=5-2，
∴a+b-3cd+e﹣f=0-31+3﹣（5-2）＝0﹣1+3-5+2＝4-5，
故答案为：4-5．
18．（2020春•江岸区校级期中）对于实数a，我们规定：符号[a]表示不大于a的最大整数，例如：[4]＝2，[5]＝2．
（1）若[x]＝1，写出满足题意的x的整数值　1，2，3　．
（2）[-2×3]+[-3×4]+⋯+[-100×101]=　﹣5148　．
【分析】（1）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；
（2）根据定义化简计算即可．
【解析】（1））∵12＝1，22＝4，且[x]＝1，
∴x＝1，2，3，
故答案为：1，2，3；

（2）[-2×3]+[-3×4]+⋯+[-100×101]
＝（﹣3）+（﹣4）+…+（﹣101）
＝﹣5148．
故答案为：﹣5148
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•南京期末）求下列各式中的x．
（1）3（x﹣1）2﹣75＝0；
（2）（x+2）3＝﹣125．
【分析】（1）根据题意，可得：（x﹣1）2＝25，据此求出x的值是多少即可．
（2）根据立方根的含义和求法，据此求出x的值是多少即可．
【解析】（1）∵3（x﹣1）2﹣75＝0，
∴（x﹣1）2＝25，
∴x﹣1＝5，或x﹣1＝﹣5，
解得：x＝6或x＝﹣4．

（2）∵（x+2）3＝﹣125，
∴x+2＝﹣5，
解得：x＝﹣7．
20．（2020秋•滨湖区期中）求下列各式中x的值：
（1）x2﹣25＝0；
（2）3（x+2）3+24＝0．
【分析】（1）根据平方根的定义解答即可；
（2）根据立方根的定义先求出x+2＝﹣2，再求出x的值即可．
【解析】（1）∵x2＝25，
∴x＝±5；

（2）∵（x+2）3＝﹣8，
∴x+2＝﹣2，
∴x＝﹣4．
21．（2020秋•余杭区期中）（1）求出下列各数：
①9算术平方根；
②﹣27的立方根；
③2的平方根．
（2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上，并将每个数按从小到大的顺序排列（用“＜”连接）．

【分析】（1）根据算术平方根、立方根、平方根的定义，求出各数即可；
（2）先把各数表示在数轴上，再根据数轴上实数比较大小的方法，用不等号连接起来即可．
【解析】（1）∵9=3，3-27=-3，
∴9的算术平方根是3，﹣27的立方根是﹣3，2的平方根是±2；
（2）如图：

∴-3＜-2＜2＜3．
22．（2020秋•秀屿区期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，
（1）用“＞”或“＜”填空：
2a﹣b　＜　0，a+b　＜　0，4c﹣a　＞　0；
（2）化简：|2a﹣b|+3|a+b|﹣|4c﹣a|．

【分析】（1）根据数轴得出a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|，再根据有理数的加减法则逐个求出即可；
（2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
【解析】（1）从数轴可知：a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|，
所以2a﹣b＜0，a+b＜0，4c﹣a＞0，
故答案为：＜，＜，＞；

（2）由（1）知：2a﹣b＜0，a+b＜0，4c﹣a＞0
所以|2a﹣b|+3|a+b|﹣|4c﹣a|
＝﹣（2a﹣b）﹣3（a+b）﹣（4c﹣a）
＝﹣2a+b﹣3a﹣3b﹣4c+a
＝﹣4a﹣2b﹣4c．
23．（2020秋•滦南县期末）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是11的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值；
（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【解析】（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2；
∵3＜11＜4，c是11的整数部分，∴c＝3；

（2）3a﹣b+c＝15﹣2+3＝16，16的平方根是±4．
24．（2019秋•仪征市期末）给出定义如下：若一对实数（a，b）满足a﹣b＝ab+4，则称它们为一对“相关数”，如：7-38=7×38+4，故(7，38)是一对“相关数”．
（1）数对（1，1），（﹣2，﹣6），（0，﹣4）中是“相关数”的是　（0，﹣4）　；
（2）若数对（x，﹣3）是“相关数”，求x的值；
（3）是否存在有理数m，n，使数对（m，n）和（n，m）都是“相关数”，若存在，求出一对m，n的值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据“相关数”的意义，分别计算验证即可；
（2）根据“相关数”的意义，列方程求解即可；
（3）利用反证法，先承认（m，n）和（n，m）都是“相关数”，任何得出矛盾的结论，得出结论．
【解析】（1）∵1﹣1≠1×1+4，因此一对实数（1，1）不是“相关数”，
∵﹣2﹣（﹣6）≠（﹣2）×（﹣6）+4，因此一对实数（﹣2，﹣6）不是“相关数”，
∵0﹣（﹣4）＝0×（﹣4）+4，因此一对实数（0，﹣4）是“相关数”，
故答案为：（0，﹣4）；
（2）由“相关数”的意义得，x﹣（﹣3）＝﹣3x+4
解得，x=14
答：x=14；
（3）不存在．
若（m，n）是“相关数”，则，m﹣n＝mn+4，
若（n，m）是“相关数”，则，n﹣m＝nm+4，
若（m，n）和（n，m）都是“相关数”，则有m＝n，而m＝n时，m﹣n＝0≠mn+4，因此不存在．
25．（2020秋•遵化市期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4．
（1）求该长方形的长宽各为多少？
（2）农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？

【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为7：4设长为7x米，宽为4x米，以面积为700平方米作等量关系列方程．用求算术平方根方法解得x的值．
（2）设大正方形的边长为4xm，则小正方形的边长为3xm，根据面积之和为600m2，列出方程求出x，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解．
【解析】（1）设该长方形花坛长为7x米，宽为4x米，
依题意得：7x×4x＝700，
x2＝25，
∴x＝5（﹣5不合题意舍去）
∴7x＝35，4x＝20，
答：该长方形的长35米，宽20米；

（2）设大正方形的边长为4xm，则小正方形的边长为3xm，依题意有
（4x）2+（3x）2＝600，
25x2＝600，
x2＝24，
x=26，
4x=86，
3x=66，
∵86+66=146＜35，86＜20，
∴能改造出这样的两块不相连的正方形试验田；
146×4=566，（35+20）×2＝110，
∵566＞110，
∴原来的铁栅栏围墙不够用．
26．（2020秋•顺城区期末）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形ABCD的长AD是4个单位长度，长方形EFGH的长EH是8个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为12．

（1）填空：点H在数轴上表示的数是　13　，点A在数轴上表示的数是　﹣11　．
（2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN=14EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，求当x多少秒时，OM＝ON．
（3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形ABCD运动的时间．
【分析】（1）根据已知条件得出H在5右边8个单位处，A在5左边16个单位处，由此得出结果即可；
（2）根据已知条件列出含有绝对值的方程，再解绝对值方程便可；
（3）本题求解时应根据当D点恰好与E点右边距E点3个单位的点重合时和A点恰好与H点左边距H点3个单位的点重合时其两个长方形重叠部分的面积为6，求出此时长方形ABCD运动的时间便可．
【解析】（1）∵长方形EFGH的长EH是8个单位长度，且点E在数轴上表示
∴点H在数轴上表示的数是5+8＝13
∵E、D两点之间的距离为12
点D表示的数为5﹣12＝﹣7
∵长方形ABCD的长AD是4个单位长
∴点A在数轴上表示的数是﹣7﹣4＝﹣11
故答案为：13，﹣11；

（2）由题意知，线段AD的中点为M，则M表示的数为﹣9，线段EH上一点N且EN=14EH，则N表示的数为7；
由M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，则经过x秒后，M点表示的数为4x﹣9，N点表示的数为7﹣3x，
∵OM＝ON，
∴|4x﹣9|＝|7﹣3x|，
∴4x﹣9＝7﹣3x，或4x﹣9＝3x﹣7，
∴x=167，或x＝2，
∴x=167秒或x＝2秒时，OM＝ON；

（3）∵在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是2个单位长度，两个长方形重叠部分的面积为6，
∴重叠部分的的长方形的长为3，
∴①当点D运动到E点右边3个单位时，两个长方形重叠部分的面积为6，
此时长方形ABCD运动的时间为：（DE+3）÷2＝（12+3）÷2=152（秒），
②当点A运动到H点右边3个单位时，两个长方形重叠部分的面积为6，
此时长方形ABCD运动的时间为：（AD+DE+EH﹣3）÷2＝（4+12+8﹣3）÷2=212（秒），
综上，长方形ABCD运动的时间为152秒或212秒．