专题8.15第8章二元一次方程组单元测试（培优卷）-2021-2022学年七年级数学下册同步培优题典【人教版】

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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】
专题8.15第8章二元一次方程组单元测试（培优卷）（七下人教）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•海淀区校级期末）已知方程3x﹣4y＝5，用含x的式子表示y正确的是（　　）
A．x=5+4y3 B．y=5-3x4 C．x=5-4y3 D．y=3x-54
【分析】将x移到方程右边，两边再同时除﹣4即可．
【解析】方程3x﹣4y＝5，
移项得：﹣4y＝﹣3x+5，
解得：y=3x-54．
故选：D．
2．（2020春•新乐市期末）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．3x﹣2y＝4z B．4x=y-24 C．1x+4y＝6 D．6xy+9＝0
【分析】根据二元一次方程满足的条件：为整式方程；只含有2个未知数；未知数的项的最高次数是1，逐一判断即可．
【解析】A、该方程中含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义，此选项不符合题意．
B、该方程符合二元一次方程的定义，此选项符合题意；
C、该方程不是整式方程，此选项不符合题意；
D、该方程中含有未知数的项的最高次数是2，不符合二元一次方程的定义，此选项不符合题意．
故选：B．
3．（2020秋•章丘区期末）已知x=-1y=1是二元一次方程组3x+2y=mnx-y=1的解，则m﹣n的值是（　　）
A．1 B．﹣2 C．3 D．﹣4
【分析】将x和y的值代入方程组即可求出m和n的值，进而可得m﹣n的值．
【解析】因为x=-1y=1是二元一次方程组3x+2y=mnx-y=1的解，
所以m＝﹣3+2＝﹣1，
﹣n﹣1＝1，n＝﹣2，
所以m﹣n＝﹣1+2＝1．
则m﹣n的值为1．
故选：A．
4．（2020•拱墅区校级模拟）已知方程组x-12y=2x-2y=n中的x，y互为相反数，则n的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．4
【分析】由x，y互为相反数，得到x+y＝0，与方程组第一个方程联立求出x与y的值，代入第二个方程求出n的值即可．
【解析】由题意得：x+y＝0，即y＝﹣x，
代入x-12y＝2得：x+12x＝2，
解得：x=43，即y=-43，
代入得：n＝x﹣2y=43+83=4，
故选：D．
5．（2020秋•惠来县期末）若关于x，y的二元一次方程组x+2y=5k+1x-y=2k-5的解满足x+y＝7，则k的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】把k看做已知数表示出方程组的解，代入x+y＝7求出k的值即可．
【解析】x+2y=5k+1①x-y=2k-5②，
①﹣②得：3y＝3k+6，即y＝k+2，
把y＝k+2代入②得：x＝3k﹣3，
代入x+y＝7得：3k﹣3+k+2＝7，
解得：k＝2，
故选：B．
6．（2020秋•即墨区期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（　　）
A．5x+y=3x+5y=2 B．x+3y=55x+y=2
C．5x+y=3x=2+5y D．5x+y=2x=3+5y
【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，
根据题意得：5x+y=3x+5y=2，
故选：A．
7．（2020春•嘉祥县期末）关于x，y的方程组x+3y=4-ax-5y=3a下列说法中正确的个数（　　）
①x=5y=-1是方程组的解；
②不论a取什么实数，x+y的值始终不变；
③当a＝﹣2时，x与y相等．
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】①将x＝5，y＝﹣1代入检验即可做出判断；
②将x和y分别用a表示出来，然后求出x+y＝3来判断；
③将a＝﹣2代入方程组，然后两式相加得出2x﹣2y＝0，即x＝y，即可判断．
【解析】①将x＝5，y＝﹣1代入方程组得：5-3=4-a①5+5=3a②，
由①得a＝2，由②得a=103，故①不正确．
②解方程x+3y=4-a①x-5y=3a②，
①﹣②得：8y＝4﹣4a，
解得：y=1-a2，
将y的值代入①得：x=a+52，
所以x+y＝3，
故无论a取何值，x+y的值始终不变，故②正确．
③将a＝﹣2代入方程组得：x+3y=6x-5y=-6，
两式相加得，2x﹣2y＝0，
所以x＝y，
故③正确．
则正确的选项有②③．
故选：B．
8．（2020春•文水县期末）把一根长为13m的绳子截成1m和2m两种规格的小段，要求每种规格的绳子至少有一根，且无余料，则有（　　）种不同的截法．
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【分析】设截成1m的绳子x段，2m的绳子y段，根据绳子的总长度为13m，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出结论．
【解析】设截成1m的绳子x段，2m的绳子y段，
依题意，得：x+2y＝13，
∴x＝13﹣2y，
又∵x，y均为正整数，
∴x=11y=1或x=9y=2或x=7y=3或x=5y=4或x=3y=5或x=1y=6，
∴共有6种不同截法．
故选：C．
9．（2020春•玉溪期末）如图，《九章算术》现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本．《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《九章算术》卷七“盈不足”有如下记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（　　）

A．8x-y=3y-7x=4 B．y-8x=3y-7x=4
C．8x-y=37x-y=4 D．y-8x=37x-y=4
【分析】设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意得到相等关系：①8×人数﹣物品价值＝3，②物品价值﹣7×人数＝4，据此可列方程组．
【解析】设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意，
可列方程组：8x-y=3y-7x=4，
故选：A．
10．（2020•嘉兴）用加减消元法解二元一次方程组x+3y=4，①2x-y=1ㅤ②时，下列方法中无法消元的是（　　）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
【分析】方程组利用加减消元法变形即可．
【解析】A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；
B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；
C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；
D、①﹣②×3无法消元，符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•玉溪期末）若x，y满足方程组x+4y=4，2x-2y=13，则3x+2y的值为　17　．
【分析】将两式相加即可求解．
【解析】两式相加得3x+2y＝17，
故答案为17．
12．（2020春•浦北县期末）若关于x，y的二元一次方程组2x+y=3x+y=k+1的解是互为相反数，则kxy的值是　9　．
【分析】先解方程组，再根据x，y互为相反数列方程，可求解k值，进而求解x，y值，再代入计算即可求解．
【解析】解方程组2x+y=3x+y=k+1得x=2-ky=2k-1，
∵关于x，y的二元一次方程组2x+y=3x+y=k+1的解是互为相反数，
∴x+y＝0，
即2﹣k+2k﹣1＝0，
解得k＝﹣1，
∴x＝3，y＝﹣3，
∴kxy＝（﹣1）×3×（﹣3）＝9，
故答案为9．
13．（2020春•雨花区校级月考）对于任意有理数a、b、c、d，我们规定abcd=ad﹣bc，已知x，y同时满足xy-14=5，5-y3x=1，则x＝　2　，y＝　﹣3　．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解即可得到x与y的值．
【解析】根据题中的新定义得：4x+y=5①5x+3y=1②，
①×3﹣②得：7x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣3，
则方程组的解为x=2y=-3．
故答案为：2，﹣3．
14．（2020春•陆川县期末）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组　x-53=yx5=y-1　．
【分析】根据“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解析】依题意，得：x-53=yx5=y-1，
故答案为：x-53=yx5=y-1．
15．（2019秋•雁塔区校级期末）定义一种新运算“※”，规定x※y＝ax+by2，其中a、b为常数，且﹣1※1＝0，2※1＝3，则1※3＝　10　．
【分析】由新运算“※”的规定，求出a、b的值，代入计算即可．
【解析】∵x※y＝ax+by2，
∴﹣1※1＝﹣a+b＝0，2※1＝2a+b＝3，
∴-a+b=0①2a+b=3②，
②﹣①得：3a＝3，
∴a＝1，
将a＝1代入①得：b＝1，
∴1※3＝1×1+1×32＝10，
故答案为：10．
16．（2020秋•青山区期末）2020年春节前夕“新型冠状病毒”爆发，某乡镇急需值班帐篷．某企业急灾区之所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷2000顶，其中甲种帐篷每顶可安置6人，乙种帐篷每顶可安置4人，该企业捐助的帐篷共可安置9000人，设该企业捐助甲种帐篷x顶、乙种帐篷y顶，可列出的方程组为　x+y=20006x+4y=9000　．
【分析】此题中的等量关系有：①甲种帐篷的顶数+乙种帐篷的顶数＝2000顶；②甲种帐篷安置的总人数+乙种帐篷安置的总人数＝9000人．
【解析】根据甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，得方程x+y＝2000；
根据共安置9000人，得方程6x+4y＝9000．
列方程组为x+y=20006x+4y=9000．
故答案为：x+y=20006x+4y=9000．
17．（2019春•瑞安市期末）如图，用如图①中的a张长方形和b张正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒，若295＜a+b＜305，用完这些纸板做竖式纸盒比横式纸盒多30个，则a＝　225　，b＝　75　．

【分析】设出横式纸盒的个数，表示竖式纸盒的个数，同时也能表示出a，b，再由295＜a+b＜305，列出不等式组，解出个数的取值范围，取整数解，进而计算出a，b的值．
【解析】设横式纸盒x个，则竖式纸盒为（x+30）个，a＝4（x+30）+3x，b＝（x+30）+2x，
∵295＜a+b＜305，
∴295＜4（x+30）+3x+（x+30）+2x＜305，
解得：14.5＜x＜15.5，
∵x为整数，
∴x＝15
当x＝15时，a＝225，b＝75，
故答案为：225，75．
18．（2020春•崇川区校级月考）若关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=3y=2，则方程组5a1x+2b1y-6c1=05a2x+2b2y-6c2=0的解为　x=185y=6　．
【分析】方程组5a1x+2b1y-6c1=05a2x+2b2y-6c2=0变形为56a1x+13by=c156a2x+13b2y=c2，根据题意得到56x=313y=2，从而求得方程组5a1x+2b1y-6c1=05a2x+2b2y-6c2=0的解为x=185y=6．
【解析】方程组5a1x+2b1y-6c1=05a2x+2b2y-6c2=0变形得56a1x+13by=c156a2x+13b2y=c2，
∵关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=3y=2，
∴56x=313y=2，解得x=185y=6，
故答案为x=185y=6．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•兰州期末）解方程组
（1）2x-5y=-3-4x+y=-3；
（2）4(x-y-1)=3(1-y)-2x2+y3=2；
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解析】（1）2x-5y=-3①-4x+y=-3②，
①×2+②得：﹣9y＝﹣9，
解得：y＝1，
把y＝1代入②得：x＝1，
则方程组的解为x=1y=1；
（2）方程组整理得：4x-y=5①3x+2y=12②，
①×2+②得：11x＝22，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝3，
则方程组的解为x=2y=3．
20．（2019春•朝阳区期中）在关于x，y的二元一次方程y＝kx+b中，当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时y＝3．
（1）求k，b的值；
（2）当x＝2019时，求y的值．
【分析】（1）把x与y的两对值代入方程计算即可求出k与b的值；
（2）由（1）求出k与b的值，进而确定出方程，把x的值代入计算即可求出y的值．
【解析】（1）把x＝1，y＝5；x＝﹣1，y＝3代入得：k+b=5-k+b=3，
解得：k=1b=4；
（2）由（1）得：方程为y＝x+4，
当x＝2019时，y＝2019+4＝2023．
21．（2019•枣庄）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b＝2a+b，例如3⊗4＝2×3+4＝10．
（1）求4⊗（﹣3）的值；
（2）若x⊗（﹣y）＝2，（2y）⊗x＝﹣1，求x+y的值．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出所求．
【解析】（1）根据题中的新定义得：原式＝2×4+（﹣3）＝8﹣3＝5；
（2）根据题中的新定义化简得：2x-y=2①x+4y=-1②，
①+②得：3x+3y＝1，
则x+y=13．
22．（2020春•新余期末）解关于x，y的方程组ax+5y=15①4x-by=-2②时，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=-3y=-1，乙因为看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=4，计算a+b的平方根．
【分析】把x=-3y=-1代入方程②得出12+b＝﹣2，求出b，把x=5y=4代入方程①得出5a+5×4＝15，求出a，再求出a+b值，最后根据平方根的定义求出即可．
【解析】把x=-3y=-1代入方程②中，得﹣12+b＝﹣2，
解这个方程，得b＝10，
把x=5y=4代入方程①中，得5a+5×4＝15，
解这个方程，得a＝﹣1，
所以a+b＝10﹣1＝9，
则a+b的平方根为±9=±3．
23．（2020春•舒兰市期末）小红：昨天老师带着我们班同学去科技馆玩，我们一共去了60人（包括老师），买门票共花了1240元．玩得可开心了！
小明：真羡慕你们，不过听说门票还是挺贵的．
小红：是的，老师票每张30元，学生票每张20元．那你能猜出我们去了几位老师，几位学生吗？
小明：去了……
根据以上的对话，你能用二元一次方程组的知识帮助小明回答小红的提问吗？
【分析】设去了x名学生，y名老师，根据师生共去了60人且买门票共花了1240元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解析】设去了x名学生，y名老师，
依题意得：x+y=6020x+30y=1240，
解得：x=56y=4．
答：共去了4位老师，56位学生．
24．（2020秋•西湖区校级月考）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车和B型车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）如果租用A型车a辆，B型车b辆，请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据租用的两种车一次可运货31吨，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案；
（3）根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数，分别求出三种租车方案所需总租金，比较后即可得出结论．
【解析】（1）1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，
依题意，得：2x+y=10x+2y=11，
解得：x=3y=4．
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．
（2）依题意，得：3a+4b＝31，
∴a=31-4b3．
又∵a，b均为正整数，
∴a=1b=7或a=5b=4或a=9b=1，
∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用A型车1辆，B型车7辆；方案2：租用A型车5辆，B型车4辆；方案3：租用A型车9辆，B型车1辆．
（3）租车方案1所需费用100×1+120×7＝940（元）；
租车方案2所需费用100×5+120×4＝980（元）；
租车方案3所需费用100×9+120×1＝1020（元）．
∵940＜980＜1020，
∴方案1：租用A型车1辆，B型车7辆最省钱，最少租车费为940元．
25．（2020春•醴陵市期末）为建设资源节约型社会，醴陵市自2012年以来就对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180度及（含180度）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180度以上到450度时（含450度时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450度时的部分，执行市场调节价格．经统计，我市小军同学家今年2月份用电200度，电费为119元，3月份用电210度时，电费为125.4元．
（1）请根据小军家的用电量和电费情况，求出第一档的电价和第二档的电价分别是多少元/度．
（2）已知小军同学家今年4、5月份的家庭用电量分别为160度和230度，请问小军家4、5月份的电费分别为多少元？
【分析】（1）设第一档的电价为x元/度，第二档的电价为y元/度，根据“小军同学家今年2月份用电200度，电费为119元，3月份用电210度时，电费为125.4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用小军家4月份的电费＝第一档电价×4月份的用电量和小军家5月份的电费＝第一档电价×180+第二档电价×（5月份的用电量﹣180），即可求出结论．
【解析】（1）设第一档的电价为x元/度，第二档的电价为y元/度，
依题意，得：180x+(200-180)y=119180x+(210-180)y=125.4，
解得：x=0.59y=0.64．
答：第一档电价为0.59元/度，第二档的电价为0.64元/度．
（2）0.59×160＝94.4（元），
0.59×180+0.64×（230﹣180）＝138.2（元）．
答：小军家4月份的电费为94.4元，5月份的电费为138.2元．
26．（2020•扬州）阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组2x+y=7，x+2y=8，则x﹣y＝　﹣1　，x+y＝　5　；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝　﹣11　．
【分析】（1）利用①﹣②可得出x﹣y的值，利用13（①+②）可得出x+y的值；
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，由2×①﹣②可得m+n+p的值，再乘5即可求出结论；
（3）根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3×①﹣2×②可得出a+b+c的值，即1*1的值．
【解析】（1）2x+y=7①x+2y=8②．
由①﹣②可得：x﹣y＝﹣1，
由13（①+②）可得：x+y＝5．
故答案为：﹣1；5．
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
依题意，得：20m+3n+2p=32①39m+5n+3p=58②，
由2×①﹣②可得m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝5×6＝30．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
（3）依题意，得：3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，
由3×①﹣2×②可得：a+b+c＝﹣11，
即1*1＝﹣11．
故答案为：﹣11．