专题9.6一元一次不等式（组）的整数解问题（重难点培优）-2021-2022学年七年级数学下册同步培优题典【人教版】

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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】
专题9.6一元一次不等式（组）的整数解问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019•覃塘区三模）不等式12x+1＜3的正整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到整数解．
【解析】不等式12x+1＜3的解集为x＜4；
正整数解为1，2，3，共3个．
故选：C．
2．（2019春•霍邱县期末）使代数式4x-32的值不大于3x+5的值的x的最大整数值是（　　）
A．4 B．6 C．7 D．8
【分析】首先根据题意列出不等式，再根据不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最大整数值即可．
【解析】根据题意列不等式得4x-32≤3x+5
解得x≤132
所以x的最大整数值是6．
故选：B．
3．（2020春•莒县期末）已知不等式2x﹣a≤0的正整数解恰好是1，2，3，4，5，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞10 B．10≤a≤12 C．10＜a≤12 D．10≤a＜12
【分析】先求出不等式的解集，再根据正整数解恰好是1，2，3，4，5，逆推a的取值范围．
【解析】解不等式2x﹣a≤0得：x≤12a．
根据题意得：5≤12a＜6，
解得：10≤a＜12．
故选：D．
4．（2019•广元一模）不等式﹣4x﹣k≤0的负整数解是﹣1，﹣2，那么k的取值范围是（　　）
A．8≤k＜12 B．8＜k≤12 C．2≤k＜3 D．2＜k≤3
【分析】解不等式得出x≥-k4，根据不等式的负整数解是﹣1，﹣2，知﹣3＜-k4≤-2，解之可得．
【解析】∵﹣4x﹣k≤0，
∴x≥-k4，
∵不等式的负整数解是﹣1，﹣2，
∴﹣3＜-k4≤-2，
解得：8≤k＜12，
故选：A．
5．（2020秋•青田县期末）若关于x的不等式3x+1＜m的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】先解不等式得到x＜13（m﹣1），再根据正整数解是1，2，3得到3＜13（m﹣1）≤4时，然后从不等式的解集中找出适合条件的最大整数即可．
【解析】解不等式3x+1＜m，得x＜13（m﹣1）．
∵关于x的不等式3x+1＜m的正整数解是1，2，3，
∴3＜13（m﹣1）≤4，
∴10＜m≤13，
∴整数m的最大值是13．
故选：D．
6．（2020春•嘉祥县期末）若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是下列的（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案．
【解析】由题意，得x≤2或x＜3，
故选：C．
7．（2020秋•余杭区期末）若关于x的不等式组x-2＜03x+4＞a-x恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．1
【分析】求出不等式组的解集，由不等式组恰好只有2个整数解，确定出a的范围，即可求得满足条件的整数．
【解析】解不等式组得：a-44＜x＜2，
由关于x的不等式组x-2＜03x+4＞a-x恰好只有2个整数解，得到﹣1≤a-44＜0，即0≤a＜4，
满足条件的整数a的值为0、1、2、3，
整数a的值之和是0+1+2+3＝6，
故选：C．
8．（2020•南山区三模）关于x的不等式组2x-13＜2-1+x＞a恰好只有4个整数解，则a的取值范围为（　　）
A．﹣2≤a＜﹣1 B．﹣2＜a≤﹣1 C．﹣3≤a＜﹣2 D．﹣3＜a≤﹣2
【分析】表示出不等式组的解集，由解集恰好只有4个整数解，确定出a的范围即可．
【解析】不等式组整理得：x＜72x＞a+1，
解得：a+1＜x＜72，
由解集中恰好只有4个整数解，得到整数解为0，1，2，3，
∴﹣1≤a+1＜0，
解得：﹣2≤a＜﹣1，
故选：A．
9．（2020•新泰市一模）若关于x的不等式组1+5x＞3(x-1)x2≤8-3x2+2a恰有两个整数解，求实数a的取值范围是（　　）
A．﹣4＜a＜﹣3 B．﹣4≤a＜﹣3 C．﹣4＜a≤﹣3 D．﹣4≤a≤﹣3
【分析】先解不等式组求得﹣2＜x≤4+a，根据不等式组恰有两个整数解知 不等式组的整数解为﹣1、0，据此得0≤4+a＜1，解之即可．
【解析】解不等式1+5x＞3（x﹣1），得：x＞﹣2，
解不等式x2≤8-3x2+2a，得：x≤4+a，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤4+a，
∵不等式组恰有两个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣1、0，
则0≤4+a＜1，
解得﹣4≤a＜﹣3，
故选：B．
10．（2020春•张家港市期末）若关于x的不等式组x-m＜03-2x≤1所有整数解的和是6，则m的取值范围是（　　）
A．2＜m≤3 B．2≤m＜3 C．3＜m≤4 D．3≤m＜4
【分析】表示出不等式组的解集，由所有整数解和是6，确定出m的范围即可．
【解析】不等式组整理得：x＜mx≥1，
解得：1≤x＜m，
由所有整数解和是6，得到整数解为1，2，3，
则m的范围为3＜m≤4．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋•娄星区期末）不等式1﹣4x≥x﹣8的非负整数解为　1、0　．
【分析】先解不等式求出其解集，再找到此范围内的非负整数即可得．
【解析】∵1﹣4x≥x﹣8，
∴﹣4x﹣x≥﹣8﹣1，
﹣5x≥﹣9，
x≤95，
则该不等式的非负整数解为1和0，
故答案为：1、0．
12．（2020春•西城区校级期中）不等式3x+12≥0的非正整数解为　﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0　．
【分析】根据一元一次不等式的解法即可求出答案．
【解析】∵3x+12≥0，
∴3x≥﹣12，
∴x≥﹣4，
∴x的非正整数解为﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0，
故答案为：﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0．
13．（2020秋•余杭区期末）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x+2y≤8，它的正整数解有　12　个．
【分析】先把y作为常数，解不等式得x≤8﹣2y，根据x，y是正整数，得8﹣2y＞0，求出y的正整数值，再分情况进行讨论即可．
【解析】x+2y≤8，
x≤8﹣2y，
∵x，y是正整数，
∴8﹣2y＞0，
解得0＜y＜4，即y只能取1，2，3，
当y＝1时，0＜x≤6，
正整数解为：x=1y=1，x=2y=1，x=3y=1，x=4y=1，x=5y=1，x=6y=1，
当y＝2时，0＜x≤4，
正整数解为：x=1y=2，x=2y=2，x=3y=2，x=4y=2，
当y＝3时，0＜x≤2，
正整数解为：x=1y=3，x=2y=3；
综上，它的正整数解有12个．
故答案为：12．
14．（2020春•吴江区期末）已知不等式组x＞1x＜a有三个整数解，则a的取值范围是　4＜a≤5　．
【分析】根据题意，可以写出该不等式组的解集，再根据不等式整数解的个数，即可得到a的取值范围．
【解析】∵不等式组x＞1x＜a有三个整数解，
∴1＜x＜a，
∴4＜a≤5，
故答案为：4＜a≤5．
15．（2020秋•锦江区校级期末）关于x的不等式组8+2x＞0x-a≤-2有2个整数解，则a的取值范围为　0≤a＜1　．
【分析】分别解两个不等式，得到两个解集：x＞﹣4和x≤a﹣2，根据不等式组有2个整数解，得到关于a的取值范围，即可得到答案．
【解析】解不等式8+2x＞0，得：x＞﹣4，
解不等式x﹣a≤﹣2，得：x≤a﹣2，
∵不等式组有两个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣3、﹣2，
∴﹣2≤a﹣2＜﹣1，
解得0≤a＜1，
故答案为：0≤a＜1．
16．（2020春•姑苏区期末）若关于x的不等式组x-a＜05-2x＜1的整数解只有1个，则a的取值范围是　3＜a≤4　．
【分析】首先解不等式组，利用a表示出不等式组的解集，然后根据不等式组只有1个整数解即可求得a的范围．
【解析】x-a＜0①5-2x＜1②，
解不等式①得：x＜a，
解②得：x＞2．
则不等式组的解集是2＜x＜a．
∵不等式组只有1个整数解，
∴整数解是3．
则3＜a≤4．
故答案为：3＜a≤4．
17．（2020春•鼓楼区期末）若关于x的不等式组x＞4x≤a有3个整数解，则a的取值范围是　7≤a＜8　．
【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出即可．
【解析】解不等式组x＞4x≤a得：4＜x≤a，
∵关于x的不等式组x＞4x≤a有3个整数解，
∴7≤a＜8．
故答案为：7≤a＜8．
18．（2020春•江阴市期末）已知关于x的不等式组2x+1＞x+a，x-1≤2x+a+23（a为整数）的所有整数解的和S满足21.6≤S＜33.6，则所有这样的a的和为　5　．
【分析】先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解析】2x+1＞x+a①x-1≤2x+a+23②，
∵解不等式①得：x＞a﹣1，
解不等式②得：x≤a+5，
∴不等式组的解集为a﹣1＜x≤a+5，
∴不等式组的整数解a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，
∵所有整数解的和S满足21.6≤S＜33.6，
∴21.6≤6a+15＜33.6，
∴1.1≤a＜3.1，
∴a的值为2，3，
∴2+3＝5，
故答案为5．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•海陵区校级期中）解不等式（组）
（1）解不等式x+x+13≤1-x-146，并把解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组8-x＞3x5x+13≥x-1，并写出它的所有整数解．
【分析】（1）利用不等式的基本性质，先将不等式去分母，再去括号，移项、合并同类项，最后系数化为1即可．
（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解．
【解析】（1）去分母，得：6x+2（x+1）≤6﹣（x﹣14），
去括号，得：6x+2x+2≤6﹣x+14，
移项，得：6x+2x+x≤6+14﹣2，
合并同类项，得：9x≤18，
系数化为1，得：x≤2，
将解集表示在数轴上如下：
；

（2）8-x＞3x①5x+13≥x-1②，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
∴不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0、1．
20．（2018春•天心区校级期中）已知方程组x+y=-7-mx-y=1+3m的解为x=ay=b满足a为非正数，b为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|2m﹣6|+|2m+4|；ì
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．
【分析】（1）首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，就可以得出m的范围；
（2）根据（1）化简即可求解；
（3）根据不等式的性质得到2m+1＜0，再根据整数的性质求得m的值．
【解析】（1）解原方程组x+y=-7-mx-y=1+3m得：x=m-3y=-2m-4，
∵x≤0，y＜0，
∴m-3≤0-2m-4＜0，
解得﹣2＜m≤3．
故m的取值范围是﹣2＜m≤3；

（2）|2m﹣6|+|2m+4|＝6﹣2m+2m+4＝10；

（3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1，
∵x＞1，
∴2m+1＜0，
∴m＜-12，
∴﹣2＜m＜-12，
∵m为整数，
∴m＝﹣1．
21．（2018春•雨花区校级月考）已知：关于x、y的方程组3x+y=3a+9x-y=5a+7的解为非负数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|2a+4|﹣|a﹣1|；
（3）在a的取值范围内，a为何整数时，使得2ax+3x＜2a+3解集为x＞1．
【分析】（1）先解方程组，根据解为非负数，得出a的取值范围；
（2）根据a的取值范围化简|2a+4|﹣|a﹣1|即可；
（3）根据2ax+3x＜2a+3解集为x＞1，得出a的值即可．
【解析】（1）由3x+y=3a+9x-y=5a+7得，x=2a+4y=-3a-3，
∵方程组3x+y=3a+9x-y=5a+7的解为非负数，
∴2a+4≥0-3a-3≥0，得﹣2≤a≤﹣1；
（2）∵﹣2≤a≤﹣1，
∴|2a+4|﹣|a﹣1|
＝2a+4﹣（1﹣a）
＝2a+4﹣1+a
＝3a+3；
（3）∵2ax+3x＜2a+3解集为x＞1，
∴2a+3＜0，
∵﹣2≤a≤﹣1，
∴若a为整数，则a＝﹣2，
即在a的取值范围内，a＝﹣2时，使得2ax+3x＜2a+3解集为x＞1．
22．（2020春•开福区校级期中）（1）已知x＝a+2，若x＜8，求a的取值范围；
（2）已知不等式x﹣a≤2的解集中，任何x的值均在x＜8的范围内，求a的取值范围；
（3）已知不等式组x-a≤2x-a＞-1的解集中，任何x的值均在2≤x＜8的范围内，求a的整数解．
【分析】（1）根据题意得到a+2＜8，解得即可；
（2）根据题意得到a+2＜8，解得即可；
（3）表示出不等式组中两不等式的解集，根据任一个x的值均在2≤x＜8的范围中，求出a的范围即可．
【解析】（1）∵x＝a+2，
∴若x＜8，则a+2＜8，
解得a＜6；
（2）由x﹣a≤2可知，x≤a+2，
∵不等式x﹣a≤2的解集中，任何x的值均在x＜8的范围内，
∴a+2＜8，
解得a＜6；
（3）不等式变形得：x≤a+2x＞a-1，
由任一个x的值均在2≤x＜8的范围中，
得到a+2＜8a-1≥2，
解得：3≤a＜6，
∴a的整数解为3，4，5．
23．（2020春•西岗区期末）对x，y定义一种新的运算A，规定：A（x，y）=ax+by(当x≥y时)ay+bx(当x＜y时)（其中ab≠0）．
（1）若已知a＝1，b＝2，则A（3，4）＝　10　．
（2）已知A（1，1）＝0，A（0，2）＝2．求a，b的值；
（3）在（2）问的基础上，若关于正数p的不等式组A(3p，2p-1)＞4A(-1-3p，-2p)≤m恰好有2个整数解，求m的取值范围．
【分析】（1）根据新定义就是即可；
（2）根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
（3）由（2）化简得A（x，y）的关系式，先判断括号内数的大小，再转化成不等式求解即可．
【解析】（1）根据题中的新定义得：1×4+2×3＝10，
故答案为10；
（2）根据题中的新定义得：a+b=02a=2，
解得：a=1b=-1；
（3）由（2）化简得：A（x，y）=x-y(x≥y)y-x(x＜y)，
∴在关于正数p的不等式组A(3p，2p-1)A(-1-3p，-2p)≤m中，3p﹣（2p﹣1）＝p+1＞0，﹣1﹣3p﹣（﹣2p）＝﹣1﹣p＜0，
∴A（3p，2p﹣1）＝3p﹣2p+1＝p+1＞4，
A（﹣1﹣3p，﹣2p）＝﹣2p+1+3p＝p+1≤m，
∴p＞3，p≤m﹣1
∵恰好有2个整数解，
∴2个整数解为4，5．
∴5≤m﹣1＜6，
∴6≤m＜7．
24．（2018春•岳麓区校级期中）材料阅读：
已知m，n为整数，关于x的不等式x＞m的最小整数解为x＝m+1，关于y的不等式y＜n的最大整数解为y＝n﹣1．根据材料回答以下问题：
已知a，b是整数，关于x的不等式x＞a﹣2b的最小整数解为x＝8，关于y的不等式y＜2a﹣3b﹣19的最大整数解为y＝﹣8．
（1）求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，若|x﹣a|＝a﹣x，求符合题意的最大整数x；
（3）在（1）的条件下，求关于x，y的方程xy+x+ab2=0的非负整数解．
【分析】（1）根据已知得出a﹣2b＝7，2a﹣3b﹣19＝﹣7，组成方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据绝对值和（1）中的a 的值得出3﹣x≥0，求出即可；
（3）解方程得到x=3y+1，于是求得符合题意的非负整数解即可．
【解析】（1）∵ab是整数，
∴a﹣2b、2a﹣3b﹣19也是整数，
∵关于x的不等式x＞a﹣2b的最小整数解为8，关于y的不等式y＜2a﹣3b﹣19的最大整数解为﹣8，
∴a﹣2b＝7，2a﹣3b﹣19＝﹣7，
解得：a＝3，b＝﹣2．

（2）∵|x﹣a|＝a﹣x，
∴a﹣x≥0，
∵a＝3，
∴3﹣x≥0，
∴x≤3，
符合题意的最大整数x是3；

（3）∵xy+x+ab2=0，a＝3，b＝﹣2．
∴xy+x﹣3＝0，
∴x=3y+1，
∴关于x，y的方程xy+x+ab2=0的非负整数解为x=3y=0，x=1y=2．