专题9.12第9章不等式与不等式组单元测试-2021-2022学年七年级数学下册同步培优题典【人教版】

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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】
专题9.12第9章不等式与不等式组单元测试（培优卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019春•临川区校级期中）在下列式子中：①﹣2＜0；②a＝3；③x+2＞x+1；④2a+3；⑤x≠﹣2；⑥4x+5＞0，是不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可．
【解析】不等式有：﹣2＜0，x+2＞x+1，x≠﹣2，4x+5＞0，共4个，
故选：C．
2．（2020春•舞钢市期中）已知a＜b，则下列不等式不成立的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1 B．a2＜b2 C．a﹣b＜0 D．1-a3＜1-b3
【分析】利用不等式的性质对各选项进行判断．
【解析】∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1，12a＜12b，a﹣b＜0，1-a3＞1-b3．
故选：D．
3．（2020•公主岭市一模）关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则不等式组解集为（　　）

A．﹣2≤x≤1 B．﹣2≤x＜1 C．﹣2＜x≤1 D．﹣2＜x＜1
【分析】根据数轴上表示的解集确定出所求即可．
【解析】关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，
则不等式组解集为﹣2≤x＜1，
故选：B．

4．（2020春•公安县期末）若关于x的方程2（x+k）＝x+6的解是非负数，则k的取值范围是（　　）
A．k≤3 B．k＞3 C．k≥3 D．k＜3
【分析】先求出方程的解，根据题意得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
【解析】2（x+k）＝x+6，
x＝6﹣2k，
∵关于x的方程2（x+k）＝x+6的解是非负数，
∴6﹣2k≥0，
解得：k≤3，
故选：A．
5．（2020•天水）若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（　　）
A．﹣7＜a＜﹣4 B．﹣7≤a≤﹣4 C．﹣7≤a＜﹣4 D．﹣7＜a≤﹣4
【分析】先解不等式得出x≤2-a3，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出2≤2-a3＜3，解之可得答案．
【解析】∵3x+a≤2，
∴3x≤2﹣a，
则x≤2-a3，
∵不等式只有2个正整数解，
∴不等式的正整数解为1、2，
则2≤2-a3＜3，
解得：﹣7＜a≤﹣4，
故选：D．
6．（2019秋•瑞安市期末）若不等式组x＜-ax＜b的解集为x＜﹣a，则下列各式中正确的是（　　）
A．a+b≤0 B．a+b≥0 C．a﹣b＜0 D．a﹣b＞0
【分析】根据不等式组x＜-ax＜b的解集为x＜﹣a，可得：﹣a≤b，据此判断出各式中正确的是哪个即可．
【解析】∵不等式组x＜-ax＜b的解集为x＜﹣a，
∴﹣a≤b，
∴a+b≥0．
故选：B．
7．（2020秋•开福区期末）不等式组2(x+1)＜60.5x+1≥0.5的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式组的方法可以求得所求不等式组的解集，然后即可判断哪个选项是正确的，从而可以解答本题．
【解析】2(x+1)＜6①0.5x+1≥0.5②，
由不等式①，得
x＜2，
由不等式②，得
x≥﹣1，
故原不等式组的解集是﹣1≤x＜2，
故选：A．
8．（2019秋•綦江区期末）新世纪綦江商都一件商品标价为420元，进价为280元，要使利润率不低于5%，至少打（　　）折．
A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】利润率不低于5%，即利润要大于或等于280×5%元，设打x折，则售价是420×0.1x元，根据利润率不低于5%就可以列出不等式，求出x的范围．
【解析】设打x折．
则420×0.1x﹣280≥280×5%，
解得x≥7，
即最少可打7折．
故选：C．
9．（2020春•工业园区期末）对有理数x，y定义运算：x※y＝ax+by，其中a，b是常数．如果2※（﹣1）＝﹣4，3※2＞1，那么a，b的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1，b＞2 B．a＞﹣1，b＜2 C．a＜﹣1，b＜2 D．a＞﹣1，b＞2
【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解析】根据题意得：2a﹣b＝﹣4①，3a+2b＞1②
由①得：b＝2a+4③
∴3a+2（2a+4）＞1，
解得a＞﹣1，
把a＞﹣1代入得，b＞2，
∴a＞﹣1，b＞2
故选：D．
10．（2020春•泗水县期末）已知关于x、y的方程组x+3y=4-ax-y=3a，其中﹣3≤a≤1，给出下列说法：①当a＝1时，方程组的解也是x+y＝2﹣a方程的解；②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④x=4y=-1是方程组的解．其中说法正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．②③
【分析】①将a＝1代入方程组，求出方程组的解，即可做出判断；
②将a＝﹣2代入方程组求出x与y的值，即可做出判断；
③将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，即可求出y的范围；
④将x与y的值代入计算，即可做出判断．
【解析】①将a＝1代入方程组得：x+3y=3x-y=3，
解得：x=3y=0，
将x＝3，y＝0代入方程x+y＝1左边得：x+y＝3，右边＝1，左边≠右边，本选项错误；
②将a＝﹣2代入方程组得：x+3y=6x-y=-6，
解得：x＝﹣3，y＝3，即x与y互为相反数，本选项正确；
③方程组解得：x=2a+1y=1-a，
由x≤1得2a+1≤1，即﹣3≤a≤0，
得到4≥1﹣a≥1，即1≤y≤4，本选项正确；
④将x＝4，y＝﹣1代入x+3y＝4﹣a得：4﹣3＝4﹣a，即a＝3，不合题意，本选项错误，
则正确的选项有②③．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•思明区校级月考）不等式2x﹣5≥0的最小整数解为　3　．
【分析】求出不等式的解集，找出最小的整数解即可．
【解析】不等式2x﹣5≥0，
移项得：2x≥5，
解得：x≥52，
则不等式的最小整数解为3，
故答案为：3
12．（2020•南岗区校级二模）不等式组12x-1≤7-32x5x+2＞3(x-1)的整数解的个数是　7　．
【分析】根据解一元一次不等式组的方法可以求得该不等式组的解集，然后即可得到它的整数解，从而可以解答本题．
【解析】12x-1≤7-32x①5x+2＞3(x-1)②
由不等式①，得
x≤4
由不等式②，得
x＞﹣2.5
故原不等式组的解集是﹣2.5＜x≤4，
∴该不等式组的整数解是：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
即该不等式组的整数解得个数是7，
故答案为：7．
13．（2020春•思明区校级月考）当x　＜-15　时，代数式5x-12+1的值为负数．
【分析】根据题意建立不等式，求得不等式的解集即可．
【解析】由题意得5x-12+1＜0
5x﹣1+2＜0
解得x＜-15，
故答案为＜-15．
14．（2020秋•平房区期末）不等式组2x-3＜11-x≤2的正整数解为　1　．
【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再找出其中的整数解．
【解析】2x-3＜1①1-x≤2②，
解①得x＜2，
解②得x≥﹣1，
故不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
故不等式组的正整数解为1．
故答案为1．
15．（2020春•安定区期末）已知关于x，y的方程组4x+y=3mx-y=7m-5的解满足不等式2x+y＞8，则m的取值范围是　m＜﹣6　．
【分析】先解方程组，然后将x、y的值代入不等式解答．
【解析】解方程组得x＝2m﹣1，y＝4﹣5m，
将x＝2m﹣1，y＝4﹣5m代入不等式2x+y＞8得
4m﹣2+4﹣5m＞8，
∴m＜﹣6，
故答案为m＜﹣6．
16．（2020•浙江自主招生）已知关于x的不等式（2a﹣b）x＞a﹣2b的解是x＞52，则关于x的不等式ax+b＜0的解为　x＞﹣8　．
【分析】先根据不等式（2a﹣b）x＞a﹣2b的解是x＞52，得出2a﹣b＞0，并用含a和b的式子表示出不等式的解集；再得出a与b的数量关系，从而判断出a的正负，则不等式ax+b＜0可解．
【解析】∵关于x的不等式（2a﹣b）x＞a﹣2b的解是x＞52，
∴2a﹣b＞0，x＞a-2b2a-b
∴2a＞b，a-2b2a-b=52
∴2a﹣4b＝10a﹣5b
∴8a＝b
∴2a＞8a
∴a＜0
∵ax+b＜0
∴ax＜﹣b
∴x＞-ba
∵8a＝b
∴x＞﹣8
故答案为：x＞﹣8．
17．（2020春•武昌区校级期中）不等式组m+1＜x＜m+72＜x＜6有解且解集是2＜x＜m+7，则m的取值范围为　﹣5＜m≤﹣1　．
【分析】根据已知得出不等式m+1≤2且m+7≤6，求出两不等式的公共解集，即可得出答案．
【解析】∵不等式组m+1＜x＜m+72＜x＜6的解集是2＜x＜m+7，
∴m+1≤2且m+7≤6且m+7＞2，
解得：﹣5＜m≤﹣1，
故答案是：﹣5＜m≤﹣1．
18．（2019秋•玄武区期末）某种型号汽车每行驶100km耗油10L，其油箱容量为40L．为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的18，按此建议，一辆加满油的该型号汽车最多行驶的路程是　350　km．
【分析】设行驶xkm，由油箱内剩余油量不低于油箱容量的18，列出不等式，即可求解．
【解析】设行驶xkm，
∵油箱内剩余油量不低于油箱容量的18，
∴40-10100x≥40×18．
∴x≤350
故该辆汽车最多行驶的路程是350km，
故答案为：350．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•海安市期末）解不等式（组）：
（1）解不等式：4x-13-x＞1，并在数轴上表示解集；
（2）解不等式组3x-x≥21+2x3＞x-1．
【分析】（1）去分母，移项，合并同类项，最后在数轴上表示出不等式的解集即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解析】（1）去分母，得：4x﹣1﹣3x＞3，
移项，得：4x﹣3x＞3+1，
合并同类项，得：x＞4，
在数轴上表示不等式的解集如下：


（2）3x-x≥2①1+2x3＞x-1②，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜4，
所以不等式组的解集为1≤x＜4．
20．（2020•淮北一模）解不等式组2(x-2)+1≥-5x3-x+12＞-1，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可．
【解析】2(x-2)+1≥-5x3-x+12＞-1，
解第一个不等式得x≥﹣1，
解第二个不等式得x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
将解集表示在数轴上如下：

21．（2020春•仪征市期末）已知关于x、y的方程组x-y=-a-12x-y=-3a．
（1）求该方程组的解（用含a的代数式表示）；
（2）若方程组的解满足x＜0，y＞0，求a的取值范围．
【分析】（1）利用加减消元法求解可得；
（2）根据题意列出关于a的不等式组，解之可得．
【解析】（1）x-y=-a-1①2x-y=-3a②，
②﹣①，得：x＝﹣2a+1，
将x＝﹣2a+1代入①，得：﹣2a+1﹣y＝﹣a﹣1，
解得y＝﹣a+2，
所以方程组的解为x=-2a+1y=-a+2；

（2）根据题意知-2a+1＜0-a+2＞0，
解不等式﹣2a+1＜0，得a＞12，
解不等式﹣a+2＞0，得a＜2，
解得：12＜a＜2．
22．（2020春•吴江区期末）已知关于x的方程4x+2m﹣1＝2x+5的解是负数．
（1）求m的取值范围；
（2）解关于x的不等式x﹣1＞mx+13．
【分析】（1）首先要解这个关于x的方程，然后根据解是负数，就可以得到一个关于m的不等式，最后求出m的范围．
（2）本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，根据m的取值范围求得x的解集．
【解析】（1）方程4x+2m﹣1＝2x+5的解是：x＝3﹣m．
由题意得：3﹣m＜0，
解得m＞3．

（2）x﹣1＞mx+13，
去分母得：3（x﹣1）＞mx+1，
去括号得：3x﹣3＞mx+1，
移项，得：3x﹣mx＞1+3，
合并同类项，得：（3﹣m）x＞4，
因为m＞3，
所以3﹣m＜0，
所以x＜43-m．
23．（2020春•盱眙县期末）定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．
例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣1.5]＝﹣2．
（1）[-114]＝　﹣3　；
（2）如果[a]＝4，那么a的取值范围是　4≤a＜5　；
（3）如果[4x-55]＝﹣5，求满足条件的所有整数x．
【分析】（1）直接利用新定义求解可得；
（2）根据新定义求解可得；
（3）利用新定义列出不等式组﹣5≤4x-55＜-4，解之求出x的范围，从而得出答案．
【解析】（1）[-114]＝﹣3，
故答案为：﹣3．
（2）∵[a]＝4，
∴4≤a＜5；
故答案为：4≤a＜5；
（3）[4x-55]＝﹣5，
∴﹣5≤4x-55＜-4，
解得：﹣5≤x＜-154，
∴满足条件的x的整数有﹣4，﹣5．
24．（2020•江北区模拟）随着宁波市江北区慈城古县城旅游开发的推进，到慈城旅游的全国各地游客逐年上升．深受当地老百姓喜爱的两种本土特产杨梅和年糕，也深受外地游客的青睐．现在，有两种特产大礼包的组合是这样的：若购买2筐杨梅和3盒年糕，则需花费270元；若购买1筐杨梅和4盒年糕，则需花费260元．（杨梅、年糕分别按包装筐和包装盒计价）
（1）求一筐杨梅、一盒年糕的售价分别是多少元？
（2）如果需购买两种特产共12件（1筐或1盒称为1件），要求年糕的盒数不高于杨梅筐数的两倍，请你设计一种购买方案，使所需总费用最低．
【分析】（1）设一筐杨梅、一盒年糕的售价分别是x元、y元，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设购买n筐杨梅，则购买（12﹣n）盒年糕，总费用为m元，根据题意可得n的取值范围，列出n关于m的函数，根据一次函数性质即可设计购买方案．
【解析】（1）设一筐杨梅、一盒年糕的售价分别是x元、y元，
根据题意，得2x+3y=270x+4y=260，
解得x=60y=50．
答：一筐杨梅、一盒年糕的售价分别是60元、50元．
（2）设购买n筐杨梅，则购买（12﹣n）盒年糕，总费用为m元，
根据题意，得12﹣n≤2n，
解得n≥4，
∴m＝60n+50（12﹣n）＝10n+600，
∵n＞0，
∴m随n的增大而增大，
∴当n＝4时，m＝640，
答：购买4筐杨梅，8盒年糕时，总费用最少．
25．（2020春•沙坪坝区校级月考）为充分满足全校师生开展丰富多元的阅读活动需求，让学生真正从书本中收获知识与快乐，学校原计划向重庆书城订购A、B两类图书共5000本，已知A类图书每本单价24元，B类图书每本单价20元．
（1）据悉，学校计划购书的总资金不超过11.2万元，那么原计划最多购买A类图书多少本？
（2）后来，学校决定就以11.2万元的总资金，按照（1）中A类图书的最大数量进行购买．但学校图书馆通过调研发现学生们更加青睐B类图书，于是学校接受了图书馆的建议，在原计划的基础上A类图书少订购了10m本，B类图书多订购了原计划的m100，重庆书城决定B类图书给予优惠，单价降低m20元，A类图书的单价不变，最终学校比原计划只多花费了10m元就完成了订购，求m（m≠0）的值．
【分析】（1）设原计划购买A类图书x本，则购买B类图书（5000﹣x）本，根据单价×数量＝总价结合两种图书的总价不超过11.2万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）根据（1）的结论可得出原计划购买A、B两类图书的数量，进而可得出改变计划后，购买A类图书（3000﹣10m）本，购买B类图书2000（1+m100），且每本B类图书的单价为（20-m20）元/本，根据单价×数量＝总价，即可得出关于m的一元二次方程，解之对照题意即可得出结论．
【解析】（1）设原计划购买A类图书x本，则购买B类图书（5000﹣x）本，
根据题意得：24x+20（5000﹣x）≤112000，
解得：x≤3000．
答：原计划最多购买A类图书3000本．
（2）由（1）得：原计划购买A类图书3000本，购买B类图书2000本，
则改变计划后，购买A类图书（3000﹣10m）本，购买B类图书2000（1+m100），且每本B类图书的单价为（20-m20）元/本，
根据题意得：24×（3000﹣10m）+（20-m20））×2000（1+m100）＝112000+10m，
整理得：m2﹣50m＝0，
解得：m＝50或m＝0（不合题意，舍去）．
答：m（m≠0）的值为50．
26．（2020春•常州期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组x-1＞0x＜4的解集为1＜x＜4，因为1＜3＜4，所以称方程2x﹣6＝0为不等式组x-1＞0x＜4的关联方程．
（1）在方程①3x﹣3＝0；②23x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣9中，不等式组2x-8＜0-4x-3＜x+2的关联方程是　①　．（填序号）
（2）若不等式组x-12＜32x-3＞-x+5的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是　x﹣3＝0　．（写出一个即可）
（3）若方程2x﹣1＝x+2，x+5＝2（x+12）都是关于x的不等式组x+3≥m3x＜2-m的关联方程，求m的取值范围．
【分析】（1）分别解不等式组和各一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断；
（2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得；
（3）解一元一次方程得出方程的解，解不等式组得出：x≥m-3x＜2-m3，根据不等式组整数解的确定可得答案．
【解析】（1）解不等式组2x-8＜0-4x-3＜x+2得﹣1＜x＜4，
解①得：x＝1，﹣1＜1＜4，故①是不等式组的关联方程；
解②得：x=-32，不在﹣1＜x＜4内，故②不是不等式组的关联方程；
解③得：x＝4，不在﹣1＜x＜4内，故③不是不等式组的关联方程；
故答案为：①；
（2）解不等式组x-12＜32x-3＞-x+5得：83＜x＜72
因此不等式组的整数解可以为x＝3，
则该不等式的关联方程为x﹣3＝0．
故答案为：x﹣3＝0．
（3）解方程2x﹣1＝x+2得，x＝3，解方程x+5＝2（x+12）得，x＝4，
不等式组x+3≥m3x＜2-m，得：x≥m-3x＜2-m3，
由题意，x＝3和x＝4是不等式组的解，
∴m-3≤32-m3＞4，
解得m＜﹣10，
∴m的取值范围为m＜﹣10．