2022届陕西省宝鸡市陈仓区高三第一次教学质量检测数学（文）试题含答案

陈仓区2022届高三第一次教学质量检测

数学（文科）试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确答案。）

第I卷（选择题）

一、单选题

1．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A．        B．     C．      D．

2．复数z＝3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则对应的向量为（    ）

A．﹣3﹣4i     B．4+3i        C．﹣4﹣3i      D．﹣3+4i

3．根据下表中数据求得的线性回归方程是，则（    ）

A．98          B．107        C．110       D．106

5.在边长为1的等边中，设，则等于（    ）

A．         B．0          C．        D．3

6．已知，，若，，则的值为（    ）

A．         B．        C．        D．

7．在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（    ）

A．         B．          C．        D．

8．圆与直线的位置关系为（    ）

A．相离       B．相切        C．相交         D．以上都有可能

10.在数列中，，，则（    ）

A．      B．       C．        D．

11.设F1、F2是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（     ）

A．         B．         C．       D．

12．已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，．则函数在区间上的零点个数为（    ）

A．          B．          C．       D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．命题“”的否定为______．

14．《九章算术》中有如下问题“今有卖牛二、羊五，以买十三猪，有余钱一千；卖牛三、猪三，以买九羊，钱适足.”设牛、羊、猪每头价格分别为（钱），则第一句话可以列出的方程是_______，若告诉你，依第二句话可以推断出_______.

15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则______．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．(12分）已知向量，，函数，在中，，且．

（1）求角的大小．

（2）求的取值范围．

18．（12分）某汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.

（1）求频率分布直方图中的参数a，估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的众数、平均数；

（2）采取分层抽样的方式从，两组中共抽取了6人，现从这6人中随机抽2人，求这2人来自不同组的概率.

19．（12分）如图所示为一个半圆柱，为其轴截面，E为半圆弧上的任意点（异于C、D两点）．

（1）求证：不论E在何处总有

20.（12分）过点作圆的切线，两切线分别与轴交于点，.以，为焦点的椭圆经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆的另一个交点为，求直线被椭圆截得的线段长.

21．（12分）已知，其中e是自然对数的底数．

（1）若在处取得极值，求a的值；

（2）求的单调区间；

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）已知心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因为其形状像心的形状而得名．在极坐标系中，方程表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）求曲线与交点个数．

23．（10分）（选修4-5：不等式选讲）

(1)命题，成立，若命题为真命题，求的取值范围；

(2)讨论关于不等式的解集.

参考答案

1．C

2．A

3．D

4．C

5．A

6．D

7．C

8．C

9．C

10．A

11．C

12．A

13．

14．2x+5y-13z=1000 …（3分）   1500  …（2分） 

15．

17．（12分）

（1）  （2）

【分析】

（1）由正弦定理进行边角互化得，再运用正弦 的和角公式进行恒等变换，由角的范围可求得角的大小；

（2）根据向量数量积的坐标运算和三角恒等变换化简函数，求得a，再运用正弦定理表示b，c，代入，由正弦的性质可求得范围.

（1）（5分）

解：（1）若，则由正弦定理得，……（1分）

即．因为，则，所以

……（3分）

，……（4分）

又，所以；……（5分）

（2）（7分）

解：因为，

……（7分）

所以．……（8分）

由正弦定理得，即，

所以

．……（10分）

因为，所以，则，所以，即的取值范围为．……（12分）

18．（12分）

（1）；2.5万元、3.5万元 ；3.5万元       （2）

【分析】

（1）由频率分布直方图求解即可；

（2）用列举法求解即可

（1）（5分）

①令，得；……（1分）

②频率分布直方图的众数为最高小矩形的中点的横坐标，得众数为2.5万元、3.5万元；

……（3分）

③因为直方图的组距为1，则各组数据的率即为相应小矩形的高，所以平均数的估计值为

（万元）；……（5分）

（2）（7分）

从6人中随机抽取2人，设第一次抽取的人记为x，第二次抽取的人记为y，则可用数组……（6分）

表示样本点，则有30种等可能的结果：

……（10分）

记“从6人中随机抽取2人，这2人来自不同组”为事件M.  ……（11分）

，包含16个样本点. 

故从6人中随机抽取2人，这2人来自不同组的概率为.……（12分）

19．（12分）

（1）证明见解析

（2）

【分析】

(1)借助圆柱的结构特征证得DEBC，DEEC即可推理作答.

（1）（6分）

在半圆柱中，因E为半圆弧上的任意点(异于C、D两点),而CD是直径，则DEEC，……（2分）

为其轴截面，则BC平面CDE，DE平面CDE，则有DEBC，而，平面BCE，……（4分）

于是得DE平面BCE，而BE平面BCE，则DEBE，

所以，不论E在何处总有.……（6分）

（2）（6分）

在直角三角形CDE中，由得：，……（7分）

而，……（8分）

于是得，……（10分）

……（12分）

20．（12分）

（1）       （2）

【分析】

（1）利用圆心到直线的距离等于半径，求出出圆的切线方程，进而得到坐标，利用椭圆过点，即可求得椭圆的方程；

（2）联立直线方程与椭圆的方程，求出交点，即可求得直线的方程为，联立直线方程与椭圆的方程，求出交点，利用两点之间距离即可求解.

（1）（4分）

过点作圆的切线，显然切线斜率存在，设为

故切线方程为，即，

则圆心到该切线的距离

又圆的半径，，解得

故切线方程为或

令，解得，，所以

依题意可设椭圆的方程为

又椭圆过点，，……（1分）

又，……（2分）……（3分）

所以椭圆的方程为……（4分）

（2）（8分）

，所以直线的方程为，即……（5分）

设直线与椭圆的另一个交点为

联立，整理得，……（7分）

利用韦达定理知，解得，故，

，则，故直线的方程为

设直线与椭圆的另一个交点为

联立，整理得……（10分）

利用韦达定理知，解得，故，、……（11分）

……（12分）

所以直线被椭圆截得的线段长为

21．（12分）

（1）   （2）答案见详解.     

【分析】

（1）先求导得到，令，解出的值，并验证的值是否满足极值的条件.

（2）先求导，然后对分类讨论，判断的符号的正负，从而可得的单调区间.

（1）（5分）

，，……（1分）

由已知，解得，……（2分）

此时，

在区间上，，在区间上，，……(4分）

函数在处取得极小值，因此时符合题意.……（5分）

（2）（7分）

，，……（6分）

当时，，在区间上单调递减；……（8分）

当时，，……（9分）

①若，即，

当时，；当时，，

所以在区间上单调递减；在区间上单调递增；……（11分）

②若，即，则在区间上单调递减；……（12分）

综上所述，当，则在区间上单调递减.

当时，在区间上单调递减；在区间上单调递增.

当时，在区间上单调递减

22．（10分）

（1）     （2）3个

【分析】

（1）先转化成直角坐标方程，在化成极坐标方程；（2）分别联立曲线与的方程求解，同时注意两曲线均过原点.

（1）（4分）

，消去参数得到，……（2分）

于是极坐标方程为……（4分）

（2）（6分）

易得两个极坐标方程均经过原点，……（5分）

联立，解得，……（7分）

联立，解得，……（9分）

于是两曲线有3个交点.……（10分）

23．（10分）(1)；(2)答案见解析．

【分析】

(1)首先求出在上的最小值，然后根据绝对值不等式能成立的含义，利用分类讨论法求解即可；(2)对参数进行分类讨论，通过解含参的一元二次方程即可求解.

【详解】

(1)（5分）结合题意，不妨令，，

结合一元二次函数的性质，可知在上单调递减，

故在上的最小值为，……（1分）

若命题为真命题，从而只需即可，

①当时，原式，则；

②当时，原式，则；

③时，原式，则；……（4分）

综上所述：的取值范围为.……（5分）

(2)（5分）由题意可知，

①当时，则，解得；……（6分）

②时，对不等式求解得，；……（7分）

③时，对的两根比较大小，即比较和的大小：

(i)当时，即时，的解为：；

(ii)当时，即时，的解为：或；

(iii)当时，即时，的解为：或，……（10分）

综上所述，当时，不等式的解集为或；

当时，不等式不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.