2021届西南名校联盟“3+3+3”高三5月份高考诊断性数学（文）试题（三）含解析

这是一份2021届西南名校联盟“3+3+3”高三5月份高考诊断性数学（文）试题（三）含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届西南名校联盟“3+3+3”高三5月份高考诊断性数学（文）试题（三）  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A．或 B．或或C． D．【答案】D【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】，，因此， .故选：D.2．设复数，则复数的虚部为（    ）A．0 B．1 C． D．-1【答案】B【分析】根据复数概念求解.【详解】因为复数所以虚部为1，故选：B3．在古典概型中，若，为互斥但不对立事件，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，即可求解.【详解】由题意，事件若，为互斥事件，但不对立事件，根据互斥事件和对立事件的定义，可得，所以A正确.故选：A.4．（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由和的正切公式即可求出.【详解】.故选：A.5．“石龙对石虎，金银万万五，谁能识得破，买进成都府”．这个民谣在彭山地区流传了三百多年，2020年彭山江口沉银遗址水下考古取得重大突破，出水文物超过10000件，实证确认了“张献忠江口沉银”以及“木鞘藏金”的传说“木鞘藏金”指的是可视为圆柱的木料内放置了一个可视为球体的金疙瘩，这个金疙瘩与木料的底面和侧面都相切，则这个金疙瘩的体积与该木鞘（这个圆柱体）的体积之比为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设球的半径为，结合组合体的特征，利用圆柱和球的体积公式，求得圆柱和球的体积，即可求解.【详解】由题意，圆柱的木料内放置了一个可视为球体与木料的底面和侧面都相切，设内切球的半径为，可得，，所以.故选：B.6．在等腰直角三角形中，角为直角，且，则（    ）A． B． C．-1 D．1【答案】C【分析】根据向量的数量积的定义及运算公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，等腰直角中，角为直角，且，则.故选：C.7．在△中，若满足，则该三角形的形状为（    ）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】运用正弦定理进行边角互化，运用诱导公式进行化简，然后判断出三角形形状.【详解】由正弦定理可得，所以，所以，所以，所以或，因为，，所以或，所以或，所以是直角三角形或等腰三角形，故选：D8．函数在处的切线斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出在处导数值即可.【详解】，，，积切线斜率为0.故选：C.9．若等比数列的各项均为正数，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等比数列的性质结合对数的运算性质可得结果.【详解】，故选：B.10．双曲线的左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的对称性可得其中一条渐近线的倾斜角为，可得即可求出.【详解】由题结合双曲线的对称性可得其中一条渐近线的倾斜角为，则，.故选：C.11．某同学为了模拟测定圆周率，设计如下方案：点满足，向圆内扔入粒黄豆，其中落在不等式表示区域内的粒数为，则圆周率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先画出表示区域，再结合几何概型即可求出答案.【详解】解：圆的面积为，所表示的区域如图阴影部分所示，面积为2，所以由几何概型得：,所以圆周率为，故选：B12．已知直线与函数的图象有且仅有两个公共点，若这两个公共点的横坐标分别为，，且，则下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，如要仅有两个公共点，如图直线与曲线在第二象限有一个交点横坐标为，在第四象限有一个切点横坐标为，根据导数可得即可得解.【详解】由题知，直线与曲线在第二象限有一个交点，在第四象限有一个切点，由切点在切线上，切点在曲线上，曲线在切点的斜率等于曲线在切点的导数值知，可得，故选：A．  二、填空题13．___________.【答案】【分析】利用指数幂和对数的运算直接求出.【详解】.故答案为：.14．函数的最大值为___________.【答案】【分析】根据差的余弦公式和辅助角公式化简可得.【详解】，则当时，取得最大值为.故答案为：.15．对于如图所示的程序，若输入的，则输出的数为______．【答案】2【分析】根据给定的程序框图，得到函数的解析式，进而求得的值.【详解】根据给定的程序框图，可得：当时，可得；当时，，即函数，所以．故答案为：.16．在平面直角坐标系中，已知点是上的动点，过点作圆的切线，切点为，当直线的斜率为正时，直线在轴和轴上的截距之和的最大值为___________.【答案】0【分析】设，写出切点弦方程，求得直线在x，y轴上的截距，相加，根据函数单调性求得最大值.【详解】设，则由切点弦方程知，直线的方程为，即，由题知，此时的斜率，即直线在x轴上的截距为：，在y轴上的截距为：，两截距之和为，由单调性知，时，当时，取得最大值为0故答案为：0 三、解答题17．已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【分析】(1)先求出，再求，再验证时是否也成立，即可.(2)将裂项，即可求和.【详解】(1)解：由可得，,当时，,式子对也成立.故数列的通项公式为，(2) 由（1）得，,所以.18．如图，在三棱锥中，三角形为等腰直角三角形且，侧棱，，相等且，为的中点．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接，由中得到，再在中，利用勾股定理，得到，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可得到平面平面．（2）由（1）知平面，进而证得平面，得到为与平面所成的角，在直角中，即可求解．【详解】（1）连接，因为为等边三角形，为的中点，所以，因为，所以，所以，在中，因为，所以，即，又因为，所以平面．又由平面，所以平面平面．（2）由（1）知平面，因为平面，所以，因为，且，所以平面，所以为与平面所成的角，在直角中，因为，，所以．【点睛】求解直线与平面所成角的方法：1、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；2、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或补角）；3、法向量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角.19．新疆拥有巨大的植棉气候优势，日照时间长，光线充足，生长周期长，昼夜温差大，常年供不应求，品质属于世界顶级，植保无人机、打包采棉机、残膜回收机、智能深翻犁、……，这些智能机器，受到越来越多新疆棉农的青睐，新疆棉花生产早已经实现高度机械化，即使在忙碌的采摘季节，也不需要大量的“采棉工”，下表是新疆长绒棉近年来产量表：年份201520162017201820192020年份代码x123456年产量y（百万吨）6.66.777.17.27.4（1）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程；（2）根据线性回归方程预测2021年新疆长绒棉的年产量．附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．（参考数据：，计算结果保留到小数点后两位）【答案】（1）；（2）约为7.56百万吨．【分析】（1）根据表格中的数据，求得的值，利用公式，进而得到回归方程；（2）由（1）中的回归方程，代入，求得，即可得到结论.【详解】（1）由题意，根据表格中熟记，可得，，，所以，又由，所以关于的线性回归方程为．（2）由（1）可得，当年份为2021年时，年份代码为，此时．所以可预测2021年新疆长绒棉年产量约为7.56百万吨．20．已知椭圆的短轴长为，，为左、右焦点，为上顶点，为坐标原点，若的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）已知斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，点总满足，证明：直线过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析；定点或．【分析】（1）由题意可得，，进而求出，，即求.（2）分两种情况：当直线与椭圆交于轴同侧时，，，三点共线，，直线过定点；当直线与椭圆交于轴两侧时，，令直线方程为，将直线与椭圆联立，利用韦达定理得出，代入直线方程即可得出结果.【详解】（1）解：椭圆短轴长为，∴．∵，∴，∴，．∴椭圆方程为．（2）证明：当直线与椭圆交于轴同侧时，若，，三点共线，即，此时直线过定点．当直线与椭圆交于轴两侧时，∵，∴．令直线方程为，，，∴即，∴∴，即，∴，所以直线方程为，所以直线过定点，综上，直线过定点或．【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，解题的关键是根据已知条件得出，考查了数学运算，分类讨论的思想以及转化的思想.21．已知函数（1）求函数在上的值域；（2）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）求出导数，判断出单调性，即可求出最值；（2）设切点为，表示出切线方程，可得出，构造函数，利用导数求出其变化情况，根据与有三个交点可列出不等式求解.【详解】（1），当时，，单调递减；当时，，单调递增，在处取得极小值为，又，在上的值域为；（2）设切点为，则切线斜率为，所以切线方程为，又切线过点，则，整理得，则曲线有三条切线方程等价于与有三个交点，，令解得或，令解得，在单调递增，在单调递减，在处取得极大值，在处取得极小值，要使与有三个交点，则需满足，解得.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将题目转化为与有三个交点.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2）若点，为曲线上的两点，且满足，的最大值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由参数方程得，消参得到其普通方程，再由公式法写出其极坐标方程即可，注意.（2）设，，根据极坐标方程、三角恒等变换可得，应用余弦函数的性质求最大值即可.【详解】（1）(为参数)，消去得．令，，则．∴．（2）不妨设，，则，，∴∴上式．当且仅当，取等号．【点睛】关键点点睛：（1）应用二倍角正余弦公式及同角三角函数的平方关系消参，根据公式法转化为极坐标方程，注意定义域范围.（2）根据极坐标方程，结合三角恒等变换、余弦函数的性质求最值.23．（1）已知关于的不等式的解集不是空集，求实数a的取值范围；（2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）设，由绝对值的几何意义有即可求a的范围.（2）同（1）结合题设，仅需即可求的范围．【详解】（1）设，其几何意义为轴上的动点到，的距离之和，∴当动点位于，之间时，，∴要使该不等式解集非空，则．（2）设，∴．∴，即或．【点睛】关键点点睛：应用绝对值的几何意义，结合不等式的解集非空或不等式恒成立求参数范围.