数学选修2-12.4抛物线当堂检测题

这是一份数学选修2-12.4抛物线当堂检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
抛物线的简单几何性质基础巩固一、选择题1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则∠AOB的大小(　　)A．小于90°  B．等于90°C．大于90°  D．不能确定[答案]　C[解析]　过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为，由三角函数知识可知，∠AOB大于90°.2．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点(－1，2)，则它的方程是(　　)A．y＝2x2或y2＝－4x B．y2＝－4x或x2＝2yC．x2＝－y D．y2＝－4x[答案]　A[解析]　∵抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，∴抛物线的方程为标准形式．当抛物线的焦点在x轴上时，∵抛物线过点(－1,2)，∴设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)．∴22＝－2p(－1)．∴p＝2.∴抛物线的方程为y2＝－4x.当抛物线的焦点在y轴上时，∵抛物线过点(－1,2)，∴设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)．∴(－1)2＝2p·2，∴p＝.∴抛物线的方程为x2＝y.[点评]　将点(－1,2)的坐标代入检验，易知选A．3．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为(　　)A．2  B．4C．8  D．16[答案]　B[解析]　根据题意可知，P点到准线的距离为8＋p＝10，可得p＝2，所以焦点到准线的距离为2p＝4，选B．4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　)A．  B．1C．2  D．4[答案]　C[解析]　本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，由题意知，3＋＝4，p＝2.5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)A．  B．1C．  D．[答案]　C[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＋|BF|＝3得，x1＋x2＋＝3，∴x1＋x2＝，∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　)A．1  B．C．2  D．3[答案]　C[解析]　本题考查了双曲线、抛物线的几何性质与三角形面积．∵＝2，∴b2＝3a2，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，不妨设A(－，)，B(－，－)，则AB＝p，又三角形的高为，则S△AOB＝××p＝，即p2＝4，又p>0，∴p＝2.二、填空题7．若点(a，b)是抛物线x2＝2py(p>0)上的一点，则下列点中一定在抛物线上的是________.①(a，－b)；②(－a，b)，③(－a，－b)[答案]　②[解析]　抛物线x2＝2py关于y轴对称，∴点(a，b)关于y轴的对称点(－a，b)一定在抛物线上．8．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________.[答案]　(－9，－6)或(－9,6)[解析]　由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．9．(2015·长春市调研)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA|>|FB|，则＝________.[答案]　3＋2[解析]　抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，过F斜率为1的直线方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得x2－6x＋1＝0，求得x1＝3＋2，x2＝3－2，故由抛物线的定义可得＝＝3＋2.三、解答题10．一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m的大木箱，问竹排能否安全通过？[解析]　如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－6.5)，设B(2，y)，由262＝－2p×(－6.5)得p＝52，∴抛物线方程为x2＝－104y.当x＝2时，4＝－104y，y＝－，∵6.5－>6，∴能安全通过．一、选择题1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝(　　)A．2或－2  B．－1C．2  D．3[答案]　C[解析]　由，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则＝4，即k＝2.2．双曲线－＝1(mn≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为(　　)A．  B．C．  D．[答案]　A[解析]　由条件知，解得 .∴mn＝，故选A．3．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是(　　)A．8p2  B．4p2C．2p2  D．p2[答案]　B[解析]　设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.由得A(2p,2p)．则B(2p，－2p)，所以AB＝4p.所以S△ABO＝·4p·2p＝4p2.4.过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则·的值是(　　)A．12  B．－12C．3  D．－3[答案]　D[解析]　设A(，y1)，B(，y2)，则＝(，y1)，＝(，y2)，则·＝(，y1)·(，y2)＝＋y1y2，又∵AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，∴·＝＋y1y2＝－4＝－3，故选D．二、填空题5．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________.[答案]　a≥1[解析]　本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以及恒成立问题，不妨设A(，a)，B(－，a)，C(x0，x)，则＝(－－x0，a－x)，＝(－x0，a－x)，∵∠ACB＝90°.∴·＝(－x0，a－x)·(－－x0，a－x)＝0.∴x－a＋(a－x)2＝0，则x－a≠0.∴(a－x)(a－x－1)＝0，∴a－x－1＝0.∴x＝a－1，又x≥0.∴a≥1.6．P为抛物线y＝x2上一动点，直线l：y＝x－1，则点P到直线l距离的最小值为________.[答案]　[解析]　设P(x0，x)为抛物线上的点，则P到直线y＝x－1的距离d＝＝＝.∴当x0＝时，dmin＝.三、解答题7．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，求|BF|的长．[解析]　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2，∴A点坐标为(2,2)，则直线AB的斜率为k＝＝2.∴直线AB的方程为y＝2(x－1)．由消去y得，2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝.∴|BF|＝x2＋1＝.8．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB长度的最小值．[解析]　由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2.∴点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．与抛物线方程联立，得消去y整理得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.∵直线与抛物线相交于A、B两点，则k≠0，并设其两根为x1、x2，∴x1＋x2＝2＋.由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，∴|AB|≥4，即线段AB长度的最小值为4.