专题09 反比例函数及其图象与性质-2021-2022学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题09 反比例函数及其图象与性质
【典型例题】
1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为．

（1）求k的值．
（2）若将菱形沿x轴正方向平移m个单位，
①当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上，求m的值；
②在平移中，若反比例函数图象与菱形的边始终有交点，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）①，②．
【分析】
（1）先由点D的坐标确定出AD，从而求出点A坐标，最后求出；
（2）①由平移的性质确定出的纵坐标，根据解析式求出点的横坐标，即可；②由平移的性质求出点D落在双曲线上的横坐标的值即可求出反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点的的取值范围．
【详解】
（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，
如图所示：

∵点D的坐标为，
∴，
∴，
∴菱形，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
（2）①将菱形沿x轴正方向平移m个单位，
则平移后，
∵菱形的顶点B落在反比例函数的图象上，
∴，
②如图，

将菱形沿x轴正方向平移m个单位，
使得点D落在函数的图象处，
过点作x轴的垂线，垂足为，
∵，
∴，
∴点的纵坐标为3，
∵落在函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了反比例函数，利用待定系数法求函数解析式，菱形的性质和勾股定理，解本题的关键是判断菱形ABCD的边AD始终和双曲线有交点的分界点．





【专题训练】
一、 选择题
1．下列函数中，为反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据反比例函数的定义即可得出答案.
【详解】
根据反比例函数解析式的三种形式：，，，其中；
A. 为正比例函数，错误；
B. 为正比例函数，错误；
C. 不是反比例函数，错误；
D. 是反比例函数，正确；
故答案选D.
【点睛】
本题考查反比例函数的判断，熟练掌握函数解析式的三种形式是本题解题关键.
2．反比例函数具有的性质是( )
A．当时， B．在每个象限内，随的增大而减小
C．图象分布在第二、四象限 D．图象分布在第一、三象限
【答案】C
【分析】
根据反比例函数逐一判断即可得答案.
【详解】
∵0，y0时，图象分布在一、三象限，y随x的增大而减小；当k0，
解得：m>7 ；
（2）设点A坐标为（x，），
∵点B与点A关于x轴对称，
∴AB=×2，
∵△OAB的面积为6，
∴×2×x =6，
解得：m=13，
故m的值为13 ．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，C(0，2)．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数（）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M， N两点）记为图形Ｇ，求图形Ｇ上点的横坐标x的取值范围．

【答案】（1）D(2，1)；k=2；（2）
【分析】
（1）根据矩形的性质即可求解D的坐标，从而求解k；
（2）结合矩形的性质可得到M的纵坐标，以及N的横坐标，从而得出结论．
【详解】
（1）∵点D是矩形OABC的对角线交点，
∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
又∵A(4，0)，C(0，2)，
∴点D的坐标为(2，1)，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴，解得：k=2；
（2）由题意可得：点M的纵坐标为2，点N的横坐标为4.
∵点M在反比例函数的图象上，
∴点M的坐标为(1，2)，
∴．
【点睛】
本题考查矩形的性质，求反比例函数的解析式以及反比例函数图像上点的特征，熟练掌握矩形的性质，理解反比例函数图象上点的特征是解题关键．
23．已知反比例函数y＝ (m为常数，且m≠5)．
(1)若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；
(2)若其图象与一次函数y＝－x＋1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．
【答案】（1）m＜5；（2）-1.
【解析】
试题分析：（1）由反比例函数y=的性质：当k＜0时，在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，进而可得：m﹣5＜0，从而求出m的取值范围；
（2）先将交点的纵坐标y=3代入一次函数y=﹣x+1中求出交点的横坐标，然后将交点的坐标代入反比例函数y=中，即可求出m的值．
试题解析：解：（1）∵在反比例函数y=图象的每个分支上，y随x的增大而增大，
∴m﹣5＜0，
解得：m＜5；
（2）将y=3代入y=﹣x+1中，得：x=﹣2，
∴反比例函数y=图象与一次函数y=﹣x+1图象的交点坐标为：（﹣2，3）．
将（﹣2，3）代入y=得：
3=
解得：m=﹣1．
考点：待定系数法，反比例函数与一次函数的交点问题
24．已知：反比例函数y＝（m﹣3）xm﹣2的图象是双曲线．
（1）求m的值；
（2）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在双曲线上，试比较y1，y2，y3的大小关系．
【答案】（1）m＝1；（2）y3＜y1＜y2．
【分析】
(1)根据反比例函数的定义与负整数指数幂的运算，可得若反比例函数的图象是双曲线，必有，解可得m值；
(2)由(1)可得，反比例函数的解析式，进而可得y1，y2，y3的值，比较可得答案．
【详解】
(1)根据题意，得若反比例函数的图象是双曲线，
必有，
解得：；
(2)由(1)可得，反比例函数的解析式为，
根据题意，易得y1＝1，y2＝2，y3＝﹣2，
比较可得y3＜y1＜y2．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义、反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握计算方法是解题的关键．
25．已知在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上，过点的直线与该双曲线的另一支交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）若点为轴上一动点，求当时，点的坐标．

【答案】（1）；（2）或
【分析】
（1）把点代入中，即可算出反比例函数表达式，即可算出点的坐标，把、两点的坐标代入一次函数表达式中，解方程组即可得出答案；
（2）先设点的坐标为，根据直接的解析即可算出点的坐标，则，根据，再根据三角形面积计算即可得出答案．
【详解】
解：（1）把点代入中，
解得，
反比例函数表达式为，
把点代入中，
解得，
点的坐标为，
设直线的表达式为，
把和代入上式，
得，
解得，
一次函数表达式为；
（2）设点的坐标为，如图，
当时，，
解得，
点的坐标为，
则，
，
即，
，
，，
解得，，
点的坐标为或．

【点睛】
本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握相关知识进行计算是解决本题的关键．
26．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点两点，与x轴交于点C．


（1）求一次函数的表达式；
（2）若点M在x轴上，且的面积为6，求点M的坐标；
（3）结合图形，直接写出时x的取值范围．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据的面积为6，求得，根据的坐标即可求得的坐标；
（3）观察函数图象即可求解．
【详解】
解：（1）把代入得：，
即反比例函数的表达式为，
把代入得：，
即的坐标为，
把、的坐标代入得：
，解得，
即一次函数的表达式为；
（2）一次函数与轴交于点，
，
，点在轴上，且的面积为6，
，
或；
（3）观察函数图象知，时的取值范围为．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、函数与不等式的关系以及三角形的面积公式，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点在函数图象上求出点的坐标是关键．
27．如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，OA＝2，OC＝3，E是AB中点，反比例函数图象过点E且和BC相交点F．
（1）直接写出点B和点E的坐标；
（2）求直线OB与反比例函数的解析式；
（3）连接OE、OF，求四边形OEBF的面积．

【答案】（1）B（2，3），E（2，）；（2）；（3）3
【分析】
（1）根据OA＝2，OC＝3，得到点B的坐标；根据E是AB的中点，求得点E的坐标，
（2）运用待定系数法求直线OB的解析式，再进一步运用待定系数法求得反比例函数的解析式；
（3）根据反比例函数的解析式求得点F的横坐标，再进一步根据四边形的面积等于矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行计算．
【详解】
解：（1）∵OA＝2，OC＝3，E是AB中点，
∴B（2，3），E（2，）；
（2）设直线OB的解析式是y＝k1x，
把B点坐标代入，得k1＝，
则直线OB的解析式是y＝x．
设反比例函数解析式是y＝，
把E点坐标代入，得k2＝3，
则反比例函数的解析式是y＝；
（3）由题意得Fy＝3，代入y＝，
得Fx＝1，即F（1，3）．
则四边形OEBF的面积＝矩形OABC的面积﹣△OAE的面积﹣△OCF的面积＝2×3﹣1×3﹣2×＝3．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k的几何意义、待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，灵活应用是关键，本题是中考的常考题型
28．已知一次函数y1=3x-3的图象与反比例函数y2=的图象交于点A（a，3），B（-1，b）.
（1）求a，b的值和反比例函数的表达式.
（2）设点P（h，y1），Q（h，y2）分别是两函数图象上的点.
①试直接写出当y1＞y2时h的取值范围；
②若y2- y1=3，试求h的值.
【答案】（1）a＝2 ，b＝－6，y2=；（2）①－1＜h＜0 或 h＞2，②h = ±.
【分析】
（1）把A（a，3），B（-1，b）两点代入一次函数解析式中即可求出a，b的值，则可求出反比例函数的表达式（2）由图像可直接判断y1＞y2时h的取值范围，把两表达式代入y1＞y2中，解出h即可
【详解】
（1）∵点 A（a，3），B（－1，b）在一次函数 y1＝3x－3 的图象上
∴a＝2 b＝－6
∴m＝6 即反比例函数表达式为 y2=
（2）①由图象可知：当 y1＞y2 时，－1＜h＜0 或 h＞2
②∵ y2－y1＝2即 ∴ =3h
∴h = ±
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数解析式，难度中等．
29．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，点，连接OA、OD、DC、AC，四边形为菱形．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，且，求点P的坐标．
【答案】（1），；（2）或；（3）或
【分析】
（1）由菱形的性质可知、关于轴对称，可求得点坐标，把点坐标分别代入两函数解析式可求得和值；
（2）由（1）可知点坐标为，结合图象可知在点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得的取值范围；
（3）根据菱形的性质可求得点坐标，可求得菱形面积，设点坐标为，根据条件可得到关于的方程，可求得点坐标．
【详解】
解：（1）如图，连接，交轴于点，
，
，，
四边形是菱形，
，，
，
将代入直线，
得：，
解得：，
将代入反比例函数，
得：，
解得：；
一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
（2）当时，反比例函数的值为2，
当反比例函数图象在点下方时，对应的函数值小于2，
的取值范围为：或；
（3），，
，
，
，
设点坐标为，与轴相交于点，
则，
，
，
当在的左侧时，，
，
，，
，
当在的右侧时，，
，
，，
，
综上所述，点的坐标为或．

【点睛】
本题为反比例函数的综合应用，主要考查了待定系数法求函数解析式、菱形的性质、三角形的面积及数形结合思想、分类讨论思想等，题目难度不大，但是属于中考常考题，熟练掌握反比例函数图像和性质及待定系数法等相关知识，并能够灵活运用方程思想、数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．