专题10 反比例函数与特殊四边形的综合应用-2021-2022学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题10 反比例函数与特殊四边形的综合应用
【典型例题】
1．如图，一次函数y＝mx+1的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D(1，﹣2)，连结OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，且＝S菱形OACD，求点P的坐标．

【答案】（1）一次函数的解析式为：y=x+1，反比例函数的解析式为：y＝；（2）x＜0或x＞1；（3）P点坐标为（-3，-2）或（5，6）
【分析】
（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得k和m值；
（2）由（1）可知A点坐标为（1，2），结合图象可知在A点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得x的取值范围；
（3）根据菱形的性质求得菱形面积，分点P在x轴下方和点P在x轴上方两种情况加以分析即可．
【详解】
解：（1）如图，连接AD，交x轴于点E，
∵D（1，2），
∴OE=1，ED=2，
∵四边形AODC是菱形，
∴AE=DE=2，EC=OE=1，
∴A（1，2），
将A（1，2）代入直线y=mx+1可得m+1=2，解得m=1，
∴一次函数的解析式为：y=x+1，
将A（1，2）代入反比例函数y＝，可求得k=2；
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）∵当x=1时，反比例函数的值为2，
∴当反比例函数图象在A点下方时，对应的函数值小于2，
此时x的取值范围为：x＜0或x＞1；
（3）∵OC=2OE=2，AD=2DE=4，
∴S菱形OACD，
S△OAP=S菱形OACD，
∴S△OAP=2，
直线y=x+1与x轴交点M（-1，0）
设P点坐标为（x，x+1），
当点P在x轴下方时，
∴S△OAP =S△OAM +S△OMP=2，
∴，
解得x=-3，
∴P点坐标为（-3，-2）．
当点P在x轴上方时，
∴S△OAP = S△OMP -S△OAM =2，
∴，
解得x=5，
∴P点坐标为（5，6）．
．
【点睛】
本题考查了反比例函数和几何的综合应用，涉及知识点有待定系数法、菱形的性质、三角形的面积及数形结合思想等，熟练掌握相关知识是解题的关键．




【专题训练】
一、 选择题
1．如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．

（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求▱OABC的周长．
【答案】（1）k＝12，M（6，2）；（2）平行四边形OABC的周长为28．
【分析】
（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求解k的值，然后再由平行四边形的性质可求点M的坐标；
（2）由（1）可先求出点C的坐标，进而可得OC的长，然后再利用两点距离公式求解OA，进而问题可求解．
【详解】
解：（1）∵点A（3，4）在y＝上，
∴k＝12，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AM＝MC，
∴点M的纵坐标为2，
∵点M在y＝的图象上，
∴M（6，2）；
（2）由（1）可得：AM＝MC，A（3，4），M（6，2），设，则根据中点坐标公式可得：，
∴C（9，0），
∴OC＝9，由两点距离公式可得OA＝＝5，
∴平行四边形OABC的周长为2×（5+9）＝28．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质及反比例函数的性质，熟练掌握平行四边形的性质及反比例函数的性质是解题的关键．
2．如图，以菱形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限内．反比例函数在第一象限内的图
像过点C，交直线OB于点D．点B的坐标为（8，4）．
（1）求直线OB的函数表达式；
（2）求点D的坐标．

【答案】（1）；（2）(，)．
【分析】
（1）观察图像可知直线OB为正比例函数，设直线OB：y=kx，把B(8，4)代入计算即可；
（2）作BH⊥x轴，垂足为H，则可得到OH=8，BH=4，然后利用勾股定了和菱形的性质可计算出菱形的边长，然后算出点C的坐标，计算反比例函数表达式，联立反比例函数和正比例函数解方程即可．
【详解】
解：（1）设直线OB：y=kx，把B(8，4)代入可得：4=8k，解得：k=，
∴设直线OB的函数表达式为：；
（2）作BH⊥x轴，垂足为H，则OH=8，BH=4，

设OA=a，则AH=8-a，
∵四边形OABC是菱形
∴AB=OA=BC=a，
Rt△BHA中，BH²+AH²=AB²，即，解得a=5，
∴BC=5，点C的坐标为(3，4)，
把C(3，4)代入，解得k=12，
∴，
联立解得：，，
∴点D的坐标为(，)．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质和勾股定理，利用相关性质表示和计算边长是解题的关键．
3．如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（1，0），点D（4，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线y＝x+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE．
（1）求k，b的值；
（2）求△ACE的面积．

【答案】（1）k＝16，b＝﹣2；（2）S△AEC＝6
【分析】
（1）由菱形的性质可知B（6，0），C（9，4），点D（4，4）代入反比例函数y=，求出k；将点C（9，4）代入y=x+b，求出b；
（2）求出直线y=x-2与x轴和y轴的交点，即可求△AEC的面积；
【详解】
解：（1）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，

∵点A的坐标为（1，0），点D（4，4）
∴OA=1，OF=4，DF=4
∴AF=3
由勾股定理可得AD＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OA+AB=1+5=6，
∴B（6，0），C（9，4），
∵点D（4，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝16，
将点C（9，4）代入y＝x+b，
∴b＝﹣2；
（2）对于y＝x+b，令x=0，则y=-2
∴E（0，﹣2），
令y=0，则x=3
∴直线y＝x﹣2与x轴交点为（3，0），
∴S△AEC＝2×（2+4）＝6
【点睛】
本题考查反比例函数、一次函数的图象及性质，菱形的性质；能够将借助菱形的边长和菱形边的平行求点的坐标是解题的关键．
4．如图，矩形ABCD的两边BC＝4，CD＝6，E是CD的中点，反比例函数y＝的图象经过点E，与AB交于点F．
（1）若点B点的坐标为（﹣6，0），求k的值；
（2）连接AE，若AF＝AE，求反比例函数的表达式．

【答案】（1）k＝﹣6；（2）y＝﹣．
【分析】
（1）根据点B坐标为（﹣6，0），BC＝4，CD＝6，E是CD的中点，即可求出点E的坐标，进而求得k；
（2）根据AF＝AE，结合（1）利用勾股定理可得AE＝5，进而得BF＝1，设点E（a，3），得点F（a﹣4，1），利用列方程即可求得a，进而求得反比例函数的表达式．
【详解】
解：（1）点B坐标为（﹣6，0），
∴OB＝6，
∵BC＝4，
∴OC＝2，
∵CD＝6，E是CD的中点，
∴DE＝CE＝3，
∴E（﹣2，3），
∵反比例函数y＝的图象经过点E，
∴k＝﹣6；
（2）如图，

连接AE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝4，
∵DE＝CD＝3，
根据勾股定理，得AE＝＝5，
∵AF＝AE＝5，
∴BF＝AB-AF＝1，
设点E点的坐标为（a，3）
则点F的坐标为（a﹣4，1），
∵E，F两点在函数y＝的图象上，
∴a﹣4＝3a，
解得a＝﹣2，
∴E（﹣2，3）
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣．
【点睛】
本题考查反比例函数的解析式，熟练使用是解题的关键
5．如图，将一个矩形放置在平面直角坐标系中，OA＝2，OC＝3，E是AB的中点，反比例函数图象过点E且与BC相交于点F．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OE、OF，求四边形OEBF的面积．

【答案】（1）；（2）3．
【分析】
（1）根据题意求得E点坐标，再根据待定系数法即可求得函数解析式；
（2）根据即可求得四边形的面积．
【详解】
解：（1）由题意得，
∴，
设反比例函数的解析式是，
把点坐标代入，得，
所以反比例函数的解析式是；
（2）由题意得，代入，
得，即，
∴．
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数k与图形面积，矩形的性质．（1）中能正确求得E点坐标是解题关键；（2）中掌握割补法是解题关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，，是反比例函数的图象上的两点，以为边作正方形，点，分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，且．

（1）求的值；
（2）求所在直线的解析式．
【答案】（1）2；（2）
【分析】
（1）过点作，垂足为点．由题意可得，且点A的坐标为(1，0)．由此易证，即，即得出D点坐标，从而求出k的值．
（2）连接，由正方形性质可知，，，即得出C点坐标．再利用待定系数法即可求出直线CD的解析式．
【详解】
（1）如图，过点作，垂足为点．
∵点B的坐标为(0，1)，且，
∴，点A的坐标为(1，0)．
∵，，，
∴．
∴．
∴点的坐标为(2，1)．
把点(2，1)代入，即，
解得．

（2）如（1）图，连接．
由正方形可知，，．
∴点C的坐标为(1，2)．
设直线CD的解析式为，
把点C，D的坐标代入，得
解得：．
∴直线CD的解析式为．
【点睛】
本题为反比例函数与几何综合，考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，一次函数的几何应用以及利用待定系数法求解析式．作出辅助线是解答本题的关键．
7．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋2与x轴、y轴分别交于点C，A，以AC为边在第一象限内作正方形ABDC，点B在双曲线y＝（k≠0）第一象限内的一支上．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）将正方形沿x轴正方向平移m个单位长度后，点D恰好落在该双曲线上，求m．
【答案】（1）；（2）3
【分析】
（1）先过B点向y轴作垂线，构造全等的直角三角形，求出B点坐标后，代入解析式求出k即可；
（2）先过D点向x轴作垂线，构造全等的直角三角形，求出D点坐标后，根据向x轴正方向平移时纵坐标不变，因此将纵坐标代入解析式中求出平移后的横坐标后，减去平移前的横坐标即可得出平移距离．
【详解】
解：（1）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，

∵四边形ABDC为正方形，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC．
∵∠OAC＋∠OCA＝90°，∠OAC＋∠EAB＝90°，
∴∠OCA＝∠EAB．又∠AOC＝∠BEA，
∴△OAC≌△EBA．
∴OA＝EB，OC＝EA．
∵直线y＝－2x＋2与x轴、y轴分别交于点C，A，
∴C（1，0），A（0，2）．
∴EB＝OA＝2，EA＝OC＝1，
∴OE＝OA＋EA＝3，
∴B（2，3）．
将B（2，3）代入y＝，得k＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）如图，过点D作DF⊥x轴于点F．

∵∠ACO+∠OAC=90°，∠ACO+∠DCF=90°，
∴∠OAC=∠DCF，
又因为∠AOC=∠CFD=90°，AC=CD，
∴△OAC≌△FCD．
∴OA=CF，OC=DF=1，
所以OF=OC+CF=1+2=3
易得D（3，1）．
∵将正方形平移过程中点D的纵坐标不变，
∴将y＝1代入y＝，得x＝6．
∴m＝6－3＝3．
【点睛】
本题综合考查了正方形、反比例函数与一次函数、平移、全等三角形等的相关知识，解决该题需要学生通过作辅助线构造全等三角形求出关键点的坐标，能利用待定系数法求出函数解析式，同时能理解并运用平移的性质解题．
8．如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，反比例函数的图象经过点和点M．
求k的值和点M的坐标；
若坐标轴上有一点P，满足的面积是▱OABC的面积的2倍，求点P的坐标．

【答案】（1）15；M（6，2.5）；（2）或．
【分析】
（1）利用待定系数法求出k，再利用平行四边形的性质，推出，推出点M的纵坐标为．
（2）求出点C的坐标，即可求得▱OABC的面积，然后根据三角形面积公式求得OP的长即可解决问题．
【详解】
解：反比例函数的图象经过点，
，
四边形OABC是平行四边形，
，
∵A的纵坐标为5，点C的纵坐标为0，
点M的纵坐标为，
点M在的图象上，
∴
∴
．
，，，
，
，
的面积是▱OABC的面积的2倍，
，即，
，
或．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质以及三角形面积等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．如图，四边形ABCO是平行四边形，AO=2，AB=6，点A在第一象限，点C在x轴的负半轴上，将平行四边形ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，点D在反比例函数的图象上，且AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上．
（1）求点A的坐标；
（2）求k的值．

【答案】（1）A（1，）；（2）k=4．
【分析】
（1）根据旋转的性质，得AO=AF，∠BAO=∠OAF， 由四边形ABCO是平行四边形，得∠BAO=∠BCO=∠AOF，由∠AOF=∠AFO，得∠BAO=∠OAF=∠AFO，利用两直线平行，同旁内角互补，得∠OAF=60°，得到三角形OAF是等边三角形，过点A作AG⊥x轴，垂足为G，计算OG，AG的长度即可得到点A的坐标；
（2）过点D作DM⊥x轴，垂足为M，计算OM，DM的长度即可得到点D的坐标，根据k的意义求解即可．
【详解】
（1）根据旋转的性质，∴AO=AF，∠BAO=∠OAF，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠BAO=∠BCO=∠AOF，
∵AO=AF，
∴∠AOF=∠AFO，
∴∠BAO=∠OAF=∠AFO，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥CF，
∴∠BAO+∠OAF+∠AFO=180°，
∴∠OAF=60°，
∴三角形OAF是等边三角形，
过点A作AG⊥x轴，垂足为G，
∴∠OAG=30°，
∵AO=2，
∴OG=1，AG==，
∵点A在第一象限，
∴A（1，）；
（2）如图，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，
∵AD=AB=6，OA=2，∠OAF=60°，
∴DO=4, ∠DOM=60°，∠MDO=30°，
∴OM=2，DM==2，
∴点D的坐标（-2，-2），
∴k=-2×（-2）=4．

【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质定理，反比例函数的性质，构造辅助线，确定相应线段的长是解题的关键．
10．如图，在中，，点在轴上，，点是的中点．
（1）求经过点的双曲线的解析式；
（2）求出的面积．

【答案】（1），（2）S△OCD=．
【分析】
（1）过A作DF⊥OC于F，由，可得△AFO是等腰直角三角形，可得AF=OF，在Rt△AFO中，由勾股定理，可求A（3,3），由点A在反比例函数图像上，k=xy=9即可；
（2）过D作DE⊥OC于E，反向延长交AB于G，由 D为CB中点，可得CD=BD，由四边形ABCO为平行四边形，可得AB∥OC，可证△DEC≌△DGB（AAS），可得DE=DG=，设D（），点D在反比例函数图像上，可求，再求EC=DE=，OC=OE-EC=6-=，可求S△OCD=即可．
【详解】
解：（1）过A作DF⊥OC于F，
∵，
∴△AFO是等腰直角三角形，
∴AF=OF，
在Rt△AFO中，由勾股定理，
∴AF=3，
∴EG=AF=3，
A（3,3），
点A在反比例函数图像上，k=xy=9，
∴反比例函数为，
（2）过D作DE⊥OC于E，反向延长交AB于G，
∵D为CB中点，
∴CD=BD，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴AB∥OC，
∴∠DEC=∠BGD，∠ECD=∠B，
∴△DEC≌△DGB（AAS），
∴DE=DG=，
设D（），
∵点D在反比例函数图像上，
，
又∵∠ECD=∠COA=45°，
∴EC=DE=，
∴OC=OE-EC=6-=，
∴S△OCD=，

【点睛】
本题考查平行四边形的性质，等腰直角三角形，勾股定理，反比例函数解析式，三角形全等判定与性质，掌握平行四边形的性质，等腰直角三角形，勾股定理，反比例函数解析式，三角形全等判定与性质是解题关键．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3交y轴于点A，交反比例函数y＝（k＜0）的图象于点D，y＝（k＜0）的图象过矩形OABC的顶点B，矩形OABC的面积为4，连接OD．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）求AOD的面积．

【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据矩形的面积即可求出反比例函数的解析式；
（2）解方程组求出反比例函数与一次函数的交点，确定点D的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）∵矩形OABC的面积为4，双曲线在第二象限，
∴k=﹣4，
∴反比例函数的表达式为；
（2））∵直线y＝﹣x+3交y轴于点A，
∴点A的坐标为(0，3)，即OA＝3，
∴，
解得：或，
∵点D在第二象限，
∴点D的坐标为(-1，4)，
∴△AOD的面积＝．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数的系数k的几何意义、解方程组求出反比例函数与一次函数的交点是解题的关键．
12．已知：如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线交、于点M、N，反比例函数的图象经过点M、N．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式是；（2）点P的坐标是（0，4）或者（0，－4）
【分析】
（1）根据角形的性质可知OA=BC=2，将y=2代入求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案.
（2）求出四边形BMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标．
【详解】
（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=2，
将y=2代入得：
解得：，
∴M（2，2），
把M的坐标代入得：
解得：，
∴反比例函数的解析式是；
（2）把代入得：，
即CN=1，
S四边形BMON=S矩形OABC−S△AOM−S△CON
∵△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，
∴
∵AM=2，
∴OP=4
∴点P的坐标是（0，4）或（0，－4）.
【点睛】
本题考查了反比例函数综合题，利用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是注意数形结合．
13．如图，矩形的两边、分别位于轴、轴上，对角线长为8，且，是边上的点，将沿直线翻折，使点恰好落在对角线上的点处．

（1）求的长；
（2）点在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式；
（3）反比例函数与交于点，连接，求的面积．
【答案】（1）4；（2）；（3）
【分析】
（1）根据OB的长度，∠OCB的度数可得BC和OA，再根据折叠的性质可得OE；
（2）过E点作EF⊥OC于F，求出点E的坐标，从而可得反比例函数解析式；
（3）根据OC的长得到点M的横坐标，代入反比例函数解析式得到点M的坐标，从而得到BM，再利用三角形面积公式计算结果．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OCB=90°
∵OB=8，∠COB=30°，
∴BC=OA=4，
由折叠可知：OE=OA=4；
（2）过E点作EF⊥OC于F，
∵OE=4，∠BOC=30°，
∴EF=2，
∴OF==，
∴E（，2），
设经过点E的反比例函数表达式为：，
则k=，
∴反比例函数的解析式为：；

（3）∵点M在反比例函数图像上，OC==，
∴将x=代入，则y=1，即M（，1），CM=1，
又∵BC=4，
∴BM=4-1=3，
∴S△OBM==．
【点睛】
此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的面积，本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若将菱形边沿轴正方向平移，当点落在函数的图象上时，求线段扫过图形的面积．
（3）在轴上是否存在一点使有最小值，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）20；（3）存在，点坐标
【分析】
（1）过过点作轴的垂线，垂足为，先根据勾股定理求出OD的长，利用菱形性质得到AD长，得到A点坐标，进而得到反比例函数解析式；
（2）将沿轴正方向平移，使得点落在函数的图象点处，
过点做轴的垂线，垂足为．先根据平移及反比例函数性质求出的坐标，进而根据平行四边形性质求得面积；
（3）找则关于轴对称点，有最小值时，点在直线与轴交点处，先计算出直线的解析式，再求出P点即可．
【详解】
（1）过点作轴的垂线，垂足为，
∵点的坐标为，
∴∴
∵四边形为菱形，∴
∴点坐标为，
∴ ∴；
∴
（2）将沿轴正方向平移，使得点落在函数的图象点处，
过点做轴的垂线，垂足为．
∵，∴，
∴点的纵坐标为3，
∵点在的图象上
∴
解得： ∴
∴
又∵扫过图形为平行四边形，
∴平行四边形面积为20．

（3）存在．
∵，∴则关于轴对称点
则点在直线与轴交点处．
设直线的表达式：
将点的坐标，点的坐标代入：
得直线关系式为：．
当时解得
∴点坐标
【点睛】
本题主要考查反比例函数与几何综合，解题关键在于能够求出反例函数解析式．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点B的坐标为（1，0），顶点C的坐标为（4，2），对角线AC∥x轴，边AB所在直线y1＝ax+b与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A，E两点；

（1）求y1和y2的函数解析式；
（2）当y1＞y2时，求x的取值范围；
（3）点P是x轴上一动点，当△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y1＝，y2＝，；（2）x＜-2或0＜x＜3；（3），
【分析】
（1）根据菱形的性质和B、C两的坐标即可求出A的坐标，代入y1和y2求出即可；
（2）根据y1和y2的函数解析式得出点E的横坐标，观察图像即可得出答案；
（3）设点P的坐标为（x，0），AC的中点M，根据已知得出MP==3，列出方程解之即可
【详解】
解：（1）连接BD，

则点A和C关于BD对称，
∵B的坐标为（1，0），C的坐标为（4，2），
∴A的坐标为（-2，2），
∴k=xy=-2×2=-4，
∴反比例函数y2＝，
把A、B两点坐标代入y1＝ax+b中得：
，解得：
∴一次函数为y1＝；
（2）当y1＝y2时，

解得：x=-2或3
∴点E的横坐标3
∴由图像可得：当y1＞y2时，x＜-2或0＜x＜3
（3）设点P的坐标为（x，0），
∵A的坐标为（-2，2），C的坐标为（4，2），
∴AC的中点M的坐标为（1，2），且AC=6
∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形
∴MP==3，
∴
∴
∴点P的坐标为，
【点睛】
本题是反比例函数和一次函数的综合题，主要考查反比例函数和一次函数的性质，以及菱形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点，点B、C在二象限内．

（1）点B的坐标________；
（2）将正方形以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B，D两点的对应点B、D正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B、D四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（-3，1）；（2）当，反比例函数解析式为；（3）或或．
【分析】
（1）先求出OA=6，OG=7，DG=3，再判断出△DGA≌△AHB（AAS），得出DG=AH=3，BH=AG=1，即可得出结论；
（2）先根据运动表示出点B'，D'的坐标，进而求k，t，即可得出结论；
（3）先求出点B'，D'的坐标，再分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图，

过点B、D分别作BH⊥x轴、DG⊥x轴交于点H、G，
∵点A（-6，0）、D（-7，3），
∴OA=6，OG=7，DG=3，
∴AG=OG-OA=1，
∵∠DAG+∠BAH=90°，∠DAG+∠GDA=90°，
∴∠GDA=∠BAH，
又∠DGA=∠AHB=90°，AD=AB，
∴△DGA≌△AHB（AAS），
∴DG=AH=3，BH=AG=1，
∴点B坐标为（-3，1）；
（2）由（1）知，B（-3，1），
∵D（-7，3）
∴运动t秒时，点D'（-7+2t，3）、B'（-3+2t，1），
设反比例函数解析式为，
∵点B'，D'在反比例函数图象上，
∴k=（-7+2t）×3=（-3+2t）×1，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（3）存在，理由：
由（2）知，点D'（-7+2t，3）、B'（-3+2t，1），，
∴D'（2，3）、B'（6，1），
由（2）知，反比例函数解析式为，
设点，点P（0，s），
以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当PQ与B'D'是对角线时，
∴，
∴，
∴，
②当PB'与QD'是对角线时，
∴，
∴，
∴，
③当PD'与QB'是对角线时，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或或．
【点睛】
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，用分类讨论的思想和方程的思想解决问题是解本题的关键．
17．已知正比例函数y1＝ax的图象与反比例函数y2＝的图象交于A，B两点，且A点的横坐标为﹣1．

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．
（2）根据图象回答，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值．
（3）点M（m，n）是反比例函数图象上一动点，其中0＜n＜3，过点M作MD∥y轴交x轴于点D，过点B作BC∥x轴交y轴于点C，交直线MD于点E，当四边形OMEB面积为3时，请判断DM与EM大小关系并给予证明．
【答案】（1）正比例函数y1=3x，反比例函数；（2）x