专题13 二次根式中规律探究问题-2021-2022学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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【典型例题】
1．观察下列各式：
①＝2；②＝3；③＝4．
（1）根据你发现的规律填空：④＝ ；⑤ ＝
（2）请你将发现的规律用含自然数n （n≥2，n为自然数）的等式表示出来并证明你的猜想．
【专题训练】
选择题
1．在学习二次根式时，思思同学发现一个这样的规律；；
（1）假设说思发现的规律是正确的，请你写出后面连续的两个等式；
（2）用字母表示思思发现的规律；
（3）请你给出这个结论的一般性的证明．
2．观察下列各式，发现规律：=2；=3；=4…
（1）填空：= ____，= ___；
（2）计算（写出计算过程）：；
（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．
3．观察下列等式：


．．．．
请解答下列问题：
（1）按以上规律写出= ；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式： = （n为正整数）；
（3）求的值．
4．观察下列各式及其验证过程：
，验证：．
，验证：．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，并进行验证；
（3）用（为任意自然数，且）写出三次根式的类似规律，并进行验证．
5．探索规律
观察下列各式及验证过程：时，有式①：；时，有式②：；
式①验证：
式②验证：
针对上述式①、式②的规律，请写出时的式子；
请写出满足上述规律的用为任意自然数，且表示的等式，并加以验证．
6．先观察下列等式，再回答问题：
①
②
③
（1）根据上而三个等式提供的信息，请你猜想的结果：
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：
（3）对任何实数a可[a]表示不超过a的最大整数，如，计算：的值．
7．（1）研究规律：先观察几个具体的式子：



（2）寻找规律：
（且为正整数）
（3）请完成计算：
8．观察下列各式及验证过程：
式①：
验证：
式②：
验证：
(1)针对上述式①、式②的规律，请再写出一条按以上规律变化的式子；
⑵ 请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证.
9．（1）发现规律：
特例1：===；
特例2：===；
特例3：=4；
特例4：______（填写一个符合上述运算特征的例子）；
（2）归纳猜想：
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______；
（3）证明猜想：
（4）应用规律：
①化简：×=______；
②若=19，（m，n均为正整数），则m+n的值为______．
10．观察下列计算：
则:
(1)
(2)请用等式表示出第个式子的规律:__________；
(3)利用这一规律计算：
11．阅读下列解题过程：
==
==
……
（1）化简：
（2）观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子=_________．
（3）利用这一规律计算：（+…+）（
12．阅读下列解题过程：
…
（1）化简：
（2）观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子 ；
（3）利用这一规律计算：的值
13．计算下列各式，然后解答后面的问题：
（1）（+1）（﹣1）＝ ；（+）（﹣）＝ ；（+）（﹣）＝ ；…
（2）观察上面的规律，计算下列式子的值：＝ ，＝ ，＝ ，猜想：＝ ．
根据上面规律计算：（+1）
（3）拓展应用，与试比较与的大小．
14．观察下列一组等式，解答后面的问题：
；
；
…；
；
（1）根据上面的规律，请直接写出_______（为正整数）；
（2）根据上面的规律，计算下列式子的值：；
（3）利用上面的规律，比较与的大小．