专题1.1有理数的有关概念精讲精练-2021-2022学年七年级数学上学期期中考试高分直通车【人教版】

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2021-2022学年七年级数学上学期期中考试高分直通车（人教版）
专题1.1有理数的有关概念精讲精练
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【知识梳理】
一、正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
二、有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
3、有理数的分类：

三、数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
四、相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
五、绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
（3）绝对值的非负性
任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
六、科学记数法
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
【典例剖析】
【考点1】正数和负数
【例1】（2019秋•呼和浩特期末）《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果支出3元记作+3，那么收入5元，记为（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．+5 D．+3
【分析】根据负数的意义，可得：支出记作“+”，则收入记作“﹣”，所以如果支出3元记作+3，那么收入5元，记为﹣5．
【解析】如果支出3元记作+3，那么收入5元，记为﹣5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了负数的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：支出记作“+”，则收入记作“﹣”．
【变式1.1】（2019秋•东西湖区期中）如果把一个物体向右移动3m记作+3m，那么把这个物体向左移动2m记作（　　）
A．+5m B．﹣5m C．2m D．﹣2m
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，向右移动记为正，可得向左移动的表示方法．
【解析】一个物体向右移动3m记作+3m，那么这个物体向左移动2m记作﹣2m，
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．
【变式1.2】（2019秋•崇川区校级期中）如果+10%表示增加10%，那么﹣5%表示（　　）
A．减少5% B．增加5% C．增加10% D．减少10%
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，若增加表示为正，则减少表示为负．
【解析】若增加表示为正，则减少表示为负，
则+10%表示“增加10%”，那么﹣5%表示减少5%．
故选：A．
【点评】本题主要考查正数和负数的知识点，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
【变式1.3】（2019秋•宿豫区期中）某种零件标明要求是ϕ：10±0.2cm（ϕ表示直径），则下面4个零件不合格的是（　　）
A．10cm B．10.1cm C．9.9cm D．9.7cm
【分析】根据正负数的意义，求得合格零件的直径的范围，再进一步分析．
【解析】∵某种零件标明要求是ϕ：10±0.2cm（ϕ表示直径），
∴该零件的直径最小是10﹣0.2＝9.8（cm），最大是10+0.2＝10.2（cm），
只有D9.7cm不在9.8cm～10.2cm范围内．
故选：D．
【点评】此题考查了正、负数在实际生活中的意义，±0.2表示和标准相比，超过或不足0.2．
【变式1.4】（2019秋•福田区期中）一袋大米的质量标识为“10±0.15千克”，则下列大米中质量合格的是（　　）
A．9.80千克 B．10.16千克 C．9.90千克 D．10.21千克
【分析】根据“10±0.15千克”，可算出合格范围，再根据合格范围，选出答案．
【解析】∵10﹣0.15＝9.85（千克），10+0.15＝10.15（千克），
∴合格范围为：9.85～10.15千克，
故选：C．
【点评】本题考查了正数和负数，计算出合格范围是解题关键．
【变式1.5】（2019秋•雁塔区校级期中）程自顺用400元购进了8套儿童服装，准备出售．如果每套儿童服装以55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，售价记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣3（单位：元），当他卖完这八套儿童服装后（　　）
A．亏损了4元 B．亏损了32元 C．盈利了36元 D．盈利了51元
【分析】所得的正负数相加，再加上预计销售的总价，减去总进价即可得到是盈利还是亏损．
【解析】售价：55×8+（2﹣3+2+1﹣2﹣1+0﹣3）＝440﹣4＝436，
盈利：436﹣400＝36（元）；
答：当他卖完这八套儿童服装后是盈利了，盈利了36元；
故选：C．
【点评】此题考查正数和负数；得到总售价是解决本题的突破点．
【考点2】有理数的分类
【例2】（2019秋•黄梅县期中）在73，+4，π，﹣3.142，0，﹣0.3中，有理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据有理数的定义求解．
【解析】在73，+4，π，﹣3.142，0，﹣0.3中，有理数有73，+4，﹣3.142，0，﹣0.3，一共5个．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数：整数和分数统称为有理数．
【变式2.1】（2019秋•洪山区期中）下列各数：﹣1，π2，5.1120194，0，-117，3.14，其中有理数有（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【分析】根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）．
【解析】﹣1，π2，5.1120194，0，-117，3.14，其中有理数有﹣1，5.1120194，0，-117，3.14，有5个．
故选：B．
【点评】考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
【变式2.2】（2019秋•九龙坡区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．有理数包括正有理数和负有理数
B．最小的有理数是0
C．﹣11既是负数，也是整数
D．﹣a是负数
【分析】根据负数、正数、整数和有理数的定义选出正确答案．特别注意：没有最大的正数，也没有最大的负数，最大的负整数是﹣1．正确理解有理数的定义．
【解析】A、有理数包括正有理数、0和负有理数，故本选项错误；
B、没有最小的有理数，故本选项错误；
C、﹣11既是负数，也是整数，本选项正确；
D、a＝0，﹣a不是负数，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的分类和定义．有理数：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式．整数：像﹣2，﹣1，0，1，2这样的数称为整数．
【变式2.3】（2019秋•思明区校级期中）下列说法中不正确的是（　　）
A．0既不是正数也不是负数
B．整数包括正整数和负整数
C．非负数包括正数和0
D．整数和分数统称为有理数
【分析】根据有理数、分数、整数的含义和分类，逐项判断即可．
【解析】A、0既不是正数也不是负数，说法正确；
B、整数包括正整数、0和负整数，原来的说法不正确；
C、非负数包括正数和0，说法正确；
D、整数和分数统称为有理数，说法正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数、分数、整数的含义和分类，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：0是自然数．
【变式2.4】（2019秋•宜昌期中）下列说法错误的是（　　）
A．整数和分数统称有理数
B．正分数和负分数统称分数
C．正数和负数统称有理数
D．正整数、负整数和零统称整数
【分析】根据有理数的定义和分类对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】A、整数和分数统称有理数正确，不符合题意；
B、正分数和负分数统称分数正确，不符合题意；
C、应为正数、负数和零统称有理数，符合题意；
D、正整数、负整数和零统称整数正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的分类和相关概念，是基础题，需熟记．
【变式2.5】（2019秋•临洮县期中）在-12，+710，﹣3，2，0，4，5，﹣1中，非负数有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】根据非负数的定义即可解决问题．
【解析】在-12，+710，﹣3，2，0，4，5，﹣1中，非负数有+710，2，0，4，5，一共5个．
故选：B．
【点评】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的分类，属于中考常考题型．
【变式2.6】（2019秋•泰安期中）下列各数：﹣2.1，3，14，0，﹣3.14，﹣101，20.6，-52，﹣5．其中属于非负整数的共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据非负整数的定义即可求解．
【解析】﹣2.1，3，14，0，﹣3.14，﹣101，20.6，-52，﹣5．其中属于非负整数的有3，0，共有2个．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类方法是解本题的关键．
【考点3】数轴
【例3】（2019秋•九龙坡区校级期中）下面表示数轴的图中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】数轴就是规定了原点、正方向和单位长度的直线，依据定义即可作出判断．
【解析】A、正确；
B、单位长度不统一，故错误；
C、没有原点，故错误；
D、缺少正方向，故错误．
故选：A．
【点评】考查了数轴，数轴有三要素：原点、正方向和单位长度，三者必须同时具备．
【变式3.1】（2019秋•三明期末）如图，在数轴上点M表示的数可能是（　　）

A．﹣2.5 B．2.5 C．﹣1.4 D．1.4
【分析】根据点的位置，概略确定该点对应数轴上点的数值即可．
【解析】点M在﹣1和﹣2之间，
故选：C．
【点评】考查数轴表示数的意义，关键是先确定点的所处的范围，进而求解．
【变式3.2】（2020春•南岗区期末）如图，有理数a，b，c在数轴上的位置，则下列选项正确的是（　　）

A．a＜b＜0＜c B．a＜c＜0＜b C．b＜0＜a＜c D．c＜a＜0＜b
【分析】数轴上表示数，右边的总比左边的大，根据a、b、c在数轴上的位置以及原点的关系，得出其大小关系．
【解析】数轴上所表示的数，右边总比左边的大，
因此有a＜c＜0＜b，
故选：B．
【点评】考查数轴表示数的意义，在数轴上右边的数总比左边的大．
【变式3.3】（2019秋•沙坪坝区期末）点A为数轴上表示﹣2的点，将A点沿着数轴向右移动7个单位后，再向左移动3个单位到点B，则点B表示的数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】数轴一般来说是左减右加，依此列式计算即可得答案．
【解析】﹣2+7﹣3＝2．
故点B表示的数为2．
故选：A．
【点评】本题考查了数轴上的点所表示的数及移动之后的点所表示的数，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．
【变式3.4】（2019秋•福田区期中）点A在数轴上距﹣2的点3个单位长度，且位于原点左侧，则点A所表示的是（　　）
A．1 B．﹣5 C．1或﹣5 D．以上都不对
【分析】根据点A在数轴上距﹣2的点3个单位长度，可求出点A所表示的数，再根据位于原点左侧，进行取舍即可．
【解析】﹣2﹣3＝﹣5，﹣2+3＝1（舍去）
故选：B．
【点评】考查数轴表示数的意义和方法，理解绝对值的意义是解决问题的前提．
【变式3.5】（2019秋•成华区期末）如图，AC＝1，OC＝OB，点A表示的数为a，则点B表示的数为（　　）

A．﹣a﹣1 B．﹣a+1 C．a+1 D．a﹣1
【分析】用含a的式子表示线段OC的长，根据OC＝OB即可得出结果．
【解析】∵OC＝OA+AC＝|a|+1，
∵a＜0，
∴OC＝﹣a+1，
又∵OC＝OB，
∴点B表示的数为﹣a+1，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义及数轴上线段的长，用含a的代数式得出OC是解决本题的关键．
【考点4】相反数
【例4】（2019秋•南岗区校级期中）-57的相反数是（　　）
A．57 B．75 C．-57 D．-75
【分析】利用相反数的定义得出即可．
【解析】-57的相反数是57，
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数的定义．正确理解相反数的定义是解题关键．
【变式4.1】（2019秋•无棣县期中）﹣5与它的相反数的和是（　　）
A．-15 B．0 C．5 D．﹣5
【分析】直接利用相反数的定义得出﹣5的相反数，进而得出答案．
【解析】∵﹣5的相反数是5，
∴﹣5与它的相反数的和是：﹣5+5＝0．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
【变式4.2】（2020春•大丰区期中）若﹣a＞0，则a为（　　）
A．正数 B．0和正数 C．负数 D．0和负数
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解析】两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，得
a＜0，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式，利用不等式的性质是解题关键．
【变式4.3】（2019秋•沈河区校级期中）下列各组值一定互为相反数的是（　　）
A．a+b与a﹣b B．a﹣b与﹣a﹣b C．a+b与﹣a﹣b D．a+b与1a+b
【分析】直接利用互为相反数的定义分别分析得出答案．
【解析】A、a+b与a﹣b的和不一定是0，故不一定是互为相反数，不合题意；
B、a﹣b与﹣a﹣b的和不一定是0，故不一定是互为相反数，不合题意；
C、a+b与﹣a﹣b的和一定是0，故一定是互为相反数，符合题意；
D、a+b与1a+b的和不一定是0，故不一定是互为相反数，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
【变式4.4】（2019秋•海口期末）若﹣（﹣a）＝5，则﹣a等于（　　）
A．﹣5 B．5 C．15 D．±5
【分析】根据相反数的定义即可求解．
【解析】若﹣（﹣a）＝5，则﹣a等于﹣5．
故选：A．
【点评】考查了相反数，相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【变式4.5】（2019秋•锦江区校级期末）若a，b互为相反数，则下列等式不一定成立的是（　　）
A．ab=-1 B．a＝﹣b C．b＝﹣a D．a+b＝0
【分析】根据相反数和为零可得a+b＝0，再变形可得答案．
【解析】∵a，b互为相反数，
∴a+b＝0，
∴a＝﹣b，b＝﹣a，
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数和为零．
【考点5】绝对值
【例5】（2020春•南岗区校级期中）如果|a|＝5，a的值是（　　）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．以上都不对
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
【解析】∵|a|＝5，
∴a＝±5，
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值的性质，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
【变式5.1】（2019秋•沈河区校级期中）若﹣|a|＝a，则a是（　　）
A．0 B．正数 C．负数 D．非正数
【分析】可先求得|a|＝﹣a，再根据非正数的绝对值等于它的相反数解答便可．
【解析】∵﹣|a|＝a，
∴|a|＝﹣a，
∵负数和0的绝对值都可以等于它的相反数，
∴a为非正数．
故选：D．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质，熟记和理解绝对值的性质是解题的关键．正数和0的绝对值等于本身，负数和0的绝对值等于它的相反数．
【变式5.2】（2019秋•天河区校级期中）若|﹣2a|＝2a，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0
【分析】根据非正数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解析】∵|﹣2a|＝2a，
∴﹣2a≤0，
解得a≥0．
故选：C．
【点评】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
【变式5.3】（2020春•宁阳县期末）设x为有理数，若|x|＝x，则（　　）
A．x为正数 B．x为负数 C．x为非正数 D．x为非负数
【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．
【解析】设x为有理数，若|x|＝x，则x≥0，即x为非负数．
故选：D．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
【变式5.4】（2019秋•增城区期中）有理数a，b如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．a＞b B．|a|＞|b| C．b＞a D．﹣a＜b
【分析】根据绝对值和相反数的意义，在数轴上表示出|a|、|b|、﹣a，利用数轴上比较有理数大小的方法得结论．
【解析】绝对值表示一个数离开原点的距离，利用绝对值的几何意义，
把|a|、|b|表示在数轴上，如图所示．根据数轴上表示的数，右边的点表示的数总大于左边点表示的数．
可得：a＞b，|a|＜|b|，﹣a＞b
故选：A．

【点评】本题考查了绝对值、相反数的意义及有理数大小的比较．掌握绝对值的意义是解决本题的关键．
【变式5.5】（2019秋•成都期末）下面的说法正确的是（　　）
A．有理数的绝对值一定比0大
B．有理数的相反数一定比0小
C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
D．互为相反数的两个数的绝对值相等
【分析】直接利用绝对值的性质以及相反数的定义分别分析得出答案．
【解析】A、有理数的绝对值一定大于等于0，故此选项错误；
B、正有理数的相反数一定比0小，故原说法错误；
C、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数或相等，故此选项错误；
D、互为相反数的两个数的绝对值相等，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了绝对值和相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
【考点6】绝对值的非负性
【例6】（2019秋•桂林期末）数a的绝对值一定是（　　）
A．非负数 B．负数 C．非正数 D．正数
【分析】根据绝对值的含义，可得：数a的绝对值一定是非负数，据此判断即可．
【解析】数a的绝对值一定是非负数．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
【变式6.1】（2019秋•五常市期末）如果一个数的绝对值等于本身，那么这个数是（　　）
A．正数 B．0 C．非正数 D．非负数
【分析】利用绝对值的定义求解即可．
【解析】一个数的绝对值等于这个数本身，这个数是非负数，
故选：D．
【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记定义．
【变式6.2】（2017秋•宝丰县期中）如果一个数的绝对值大于它本身，则这个有理数是（　　）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
【分析】根据绝对值的意义得到负数的绝对值为正数，即一个负数的绝对值大于它本身．
【解析】因为负数的绝对值为正数，所以一个数的绝对值大于它本身，则这个为负数．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．
【变式6.3】（2019秋•宜宾期中）若|﹣a|＝|﹣3|，则a的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．非负数
【分析】根据绝对值的性质即可求解．
【解析】若|﹣a|＝|﹣3|＝3，则a的值为3或﹣3．
故选：C．
【点评】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
【变式6.4】（2019秋•河东区期中）如果数m满足|m|＝﹣m，则m是（　　）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【分析】根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数、0的绝对值是0可得m是负数和0．
【解析】∵|m|＝﹣m，
∴m是负数和0，是非正数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质，关键是掌握绝对值的性质：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
【变式6.5】（2020春•长葛市期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④-π2不仅是有理数，而且是分数；⑤237是无限不循环小数，所以不是有理数；⑥无限小数不都是有理数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（　　）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案．
【解析】①没有最小的整数；
②有理数包括正数、0和负数；
③非负数就是正数和0；
④-π2是无理数；
⑤237是无限循环小数，所以是有理数；
⑥无限小数不都是有理数；
⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，
故其中错误的说法的个数为5个．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
【考点7】有理数的大小比较
【例7】（2020春•江夏区校级期中）下列四个有理数中，最小的一个是（　　）
A．﹣1 B．0 C．12 D．1
【分析】根据正数大于一切负数，即可得出答案，负数＜0即可解答．
【解析】﹣1＜0＜12＜1．
故最小的一个是﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的大小比较，掌握正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小是本题的关键．
【变式7.1】（2019秋•九龙坡区校级期末）下列有理数中最小的是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．3 D．0
【分析】根据有理数的大小比较法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小，即可得出答案．
【解析】∵﹣2＜﹣1＜0＜3，
∴最小的是﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，属于基础题，掌握有理数大小比较的法则是关键．
【变式7.2】（2018秋•东湖区校级期中）四个数﹣3，﹣3.14，﹣3.15，﹣π，其中哪个数最小？（　　）
A．﹣3 B．﹣3.14 C．﹣3.15 D．﹣π
【分析】根据有理数大小比较方法判断即可．
【解析】∵|﹣3.15|＞|﹣π|＞|﹣3.14|＞﹣3，
∴﹣3.15＜﹣π＜﹣3.14＜﹣3，
∴其中最小的数是﹣3.15．
故选：C．
【点评】本题考查有理数的大小比较，记住任意两个有理数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
【变式7.3】（2020春•南岗区校级期中）比较大小：﹣|﹣1|　大于　﹣2．（“大于”或“等于”或“小于”）
【分析】根据绝对值的性质，去绝对值符号后，再根据两个负数，绝对值大的其值反而小比较大小．
【解析】﹣|﹣1|＝﹣1．
∵|﹣1|＜|﹣2|，
∴﹣1＞﹣2，
即﹣|﹣1|＞﹣2．
故答案为：大于．
【点评】本题主要考查了有理数大小比较，用到的知识点为：两个负数，绝对值大的反而小．
【变式7.4】（2019秋•岳阳楼区校级期末）下列说法中正确的是（　　）
A．﹣4＜8 B．如果a＞b，那么|b﹣a|＝b﹣a
C．﹣|﹣（+0.8）|＝0.8 D．有最小的正有理数
【分析】分别根据有理数大小比较方法，绝对值的性质，相反数的定义以及有理数的定义逐一判断即可．
【解析】A．﹣4＜8，故本选项符合题意；
B．如果a＞b，那么|b﹣a|＝a﹣b，故本选项不合题意；
C．﹣|﹣（+0.8）|＝﹣0.8，故本选项不合题意；
D．没有最小的有理数，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了有理数大小比较，绝对值，相反数以及有理数，熟记相关定义是解答本题的关键．
【变式7.5】（2020春•香坊区校级期中）大于﹣2且小于4的所有整数的积是（　　）
A．0 B．6 C．﹣6 D．48
【分析】根据题意先确定大于﹣2且小于4的所有整数，再求所有整数的积即可．
【解析】∵大于﹣2且小于4的所有整数为：﹣1，0，1，2，3，
∴大于﹣2且小于4的所有整数的积：
﹣1×0×1×2×3＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数大小比较，解决本题的关键是确定所有符合条件的整数．
【考点8】科学计数法
【例8】（2020春•亭湖区校级期中）在百度搜索引擎中输入“平安盐城”，能搜索到与之相关的网页约12200000个，将这个数字用科学记数法表示为（　　）
A．0.122×108 B．1.22×108 C．12.2×107 D．1.22×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】12200000用科学记数法表示为1.22×107，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式8.1】（2020春•青神县期中）截止到4月5日24时，我国新型冠状肺炎累计治愈人数77078人，将77078用科学记数法表示为（　　）
A．77.078×103 B．770.78×102
C．0.77078×105 D．7.7078×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】将77078用科学记数法表示为：7.7078×104．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式8.2】（2019秋•沛县期末）2019年暑期爆款国产动漫《哪吒之魔童降世》票房已斩获4930000000，开启了国漫市场崛起新篇章，4930000000用科学记数法可表示为（　　）
A．49.3×108 B．4.93×109 C．4.93×108 D．493×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解析】4930000000＝4.93×109．
故选：B．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式8.3】（2019秋•凌源市期末）中国的陆地面积为9598000km2，把数据9598000用科学记数法表示为（　　）
A．9.598×107 B．95.98×106 C．9.598×106 D．0.9598×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】9598000＝9.598×106．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式8.4】（2020春•林州市期中）据市场研究公司IDC的数据报告，2020年第1季度全球智能手机出货量为2.578亿部，将数据2.578亿用科学记数法表示为（　　）
A．257.8×10⁶ B．2.578×10⁷ C．2.578×108 D．0.2578×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】2.578亿＝2 5780 0000＝2.578×108，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式8.5】（2020春•郑州期中）从河南省工商联获悉，自新型冠状病毒引发的肺炎疫情出现以来，截止2月13日下午6点，全省民营企业、商会及企业家个人累计7412家（人），共向武汉等疫情严重地区及我省定点防治新冠肺炎的医院、政府部门、执勤卡点等捐赠物款约10.1亿元．10.1亿用科学记数法表示应为（　　）
A．101×107 B．10.1×108 C．1.01×109 D．1.01×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于10.1亿＝1010000000有10位，所以可以确定n＝10﹣1＝9．
【解析】10.1亿＝1010000000＝1.01×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
【考点9】近似数
【例9】（2020春•香坊区校级期中）把67.758精确到0.01位得到的近似数是　67.76　．
【分析】根据要求进行四舍五入即可．
【解析】把67.758精确到0.01位得到的近似数是67.76．
故答案是：67.76．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数称为近似数．
【变式9.1】（2019秋•吉隆县期中）有理数1.5785用四舍五入精确到0.01取近似数为（　　）
A．1.579 B．1.57 C．1.58 D．1.6
【分析】根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，找出0.01位上的数字，再通过四舍五入即可得出答案．
【解析】有理数1.5785用四舍五入精确到0.01取近似数为1.58；
故选：C．
【点评】此题考查了近似数与有效数字，用到的知识点是四舍五入法取近似值，关键是找出末位数字．
【变式9.2】（2019秋•岑溪市期中）用四舍五入法按括号内的要求取近似值：25.952（精确到十分位），结果是（　　）
A．25.9 B．25.95 C．26 D．26.0
【分析】根据近似数和有效数字的定义即可求解．
【解析】25.952（精确到十分位）
＝26.0
故选：D．
【点评】本题考查了近似数和有效数字，解决本题的关键是精确到十分位是小数点后保留一位．
【变式9.3】（2019秋•常熟市期中）近似数1.05万精确到（　　）
A．百分位 B．十分位 C．个位 D．百位
【分析】根据近似数1.05万可知精确到百位，本题得以解决．
【解析】近似数1.05万精确到百位，
故选：D．
【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数的含义．
【变式9.4】（2019秋•沂南县期中）下列说法错误的是（　　）
A．近似数0.350精确到0.001
B．35600精确到千位是3.6万
C．近似数302.51精确到十分位
D．近似数2.20是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值是2.195≤a＜2.205
【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．
【解析】A、0.350是精确到0.001的近似数，所以A选项的说法正确，不符合题意；
B、35600精确到千位是3.6万，所以B选项的说法正确，不符合题意；
C、近似数302.51精确到百分位，所以C选项的说法错误，符合题意；
D、近似数2.20是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是2.195≤a＜2.205，所以D选项的说法正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
【变式9.5】（2019秋•仁怀市期末）用四舍五入法按要求对21.67254分别取近似值，其中正确的是（　　）
A．21.672（精确到百分位）
B．21.673（精确到千分位）
C．21.6（精确到0.1）
D．21.6726（精确到0.0001）
【分析】利用近似数的精确度对各选项进行判断．
【解析】A、21.67254≈21.67（精确到百分位），所以A选项错误；
B、21.67254≈21.673（精确到千分位），所以B选项正确；
C、21.67254≈21.7（精确到0.1），所以C选项错误；
D、21.67254≈21.6725（精确到0.0001），所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．