专题1.2有理数的有关运算精讲精练-2021-2022学年七年级数学上学期期中考试高分直通车【人教版】

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2021-2022学年七年级数学上学期期中考试高分直通车（人教版）
专题1.2有理数的有关运算
【目标导航】

【知识梳理】
1. 有理数的加法：
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b=b+a； 结合律（a+b）+c=a+（b+c）．
2.有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a-b=a+（-b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
3.有理数的混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
4.有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
5.有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
6.有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
7.有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
【典例剖析】
【考点1】有理数的加法
【例1】（2019秋•吉隆县期中）-12+13=（　　）
A．16 B．-16 C．56 D．-56
【分析】根据有理数的加法法则：绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值进行计算即可．
【解析】-12+13=-36+26=-16，
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数的加法，关键是掌握有理数的加法法则．
【变式1.1】（2019秋•东西湖区期中）早晨气温是﹣3℃，到中午时气温上升了5℃，则中午时的气温是（　　）
A．﹣8℃ B．﹣2℃ C．2℃ D．8℃
【分析】温度上升用加法，温度下降用减法，通过加减运算，计算出最后的气温．
【解析】﹣3+5＝2（℃）
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的加减，解决本题的关键是加减法的选择．含有加减混合运算的题目，把减法统一成加法以后，可以运用加法的交换律和结合律．
【变式1.2】（2019秋•临高县期中）若m+n＞0，则m与n的值（　　）
A．一定都是正数
B．一定都是负数
C．一定是一个正数，一个负数
D．至少有一个是正数
【分析】根据有理数的加法的法则判断即可．
【解析】∵m+n＞0，
∴m与n的值至少有一个是正数，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法的法则是解题的关键．
【变式1.3】（2019秋•广陵区校级期中）已知|x|＝1，y2＝4，且x＞y，则x+y值为（　　）
A．±3 B．±5 C．+1或+3 D．﹣1或﹣3
【分析】首先根据|x|＝1，y2＝4，可得：x＝±1，y＝±2；然后根据x＞y，可得：x＝±1，y＝﹣2，据此求出x+y值为多少即可．
【解析】∵|x|＝1，y2＝4，
∴x＝±1，y＝±2；
∵x＞y，
∴x＝±1，y＝﹣2，
∴x+y＝1+（﹣2）＝﹣1或x+y＝﹣1+（﹣2）＝﹣3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
【变式1.4】（2019秋•龙泉驿区期末）若|x|＝3，|y|＝4，则x+y值为（　　）
A．±7或±1 B．7或﹣7 C．7 D．﹣7
【分析】根据|x|＝3，|y|＝4，可得x＝±3，y＝±4，据此求出x+y值为多少即可．
【解析】∵|x|＝3，|y|＝4，
∴x＝±3，y＝±4，
∴x+y＝﹣3+4＝1，或x+y＝﹣3﹣4＝﹣7，
x+y＝3+4＝7或x+y＝3﹣4＝﹣1，
综上所述，x+y的值为±7或±1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
【变式1.5】（2020春•淮阴区期中）如图，已知表格中竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则m+n等于（　　）
m
﹣3
4
3
1


n

A．7 B．5 C．﹣1 D．﹣2
【分析】由题意竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有3+1+n﹣（m+3）＝﹣3+1+n﹣（4+1），即可解出m＝2，从而求出n值即可
【解析】
由题意得竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，
则有3+1+n﹣（m+3）＝﹣3+1+n﹣（4+1），
整理得m＝2
则有2﹣3+4＝﹣3+1+n，解得n＝5
∴m+n＝5+2＝7
故选：A．
【点评】此题主要考查有理数的加法，利用九宫格的形式进行考查，只要根据题中的条件列式子即可解决．
【考点2】有理数的减法
【例2】（2019秋•无棣县期末）计算：﹣2﹣（﹣3）的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．1 D．﹣1
【分析】根据有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数进行计算即可．
【解析】原式＝﹣2+3＝1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数的减法，关键是掌握计算法则．
【变式2.1】（2019秋•桥西区校级期中）寒冬腊月的一天，某市的最低气温是﹣35℃，最高气温是﹣24℃，则这一天该市的温差为（　　）
A．9℃ B．10℃ C．11℃ D．59℃
【分析】根据有理数的减法法则，即可解答．
【解析】﹣24﹣（﹣35）＝﹣24+35＝11（℃），
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记有理数的减法法则，减去一个数，等于加上这个数的相反数．
【变式2.2】（2019秋•德城区校级期中）若|x|＝7，|y|＝9，x＞y，则x﹣y为（　　）
A．±2 B．2和16 C．﹣2和﹣16 D．±2和±16
【分析】首先根据|x|＝7，|y|＝9，可得：x＝±7，y＝±9，然后根据x＞y，可得：x＝±7，y＝﹣9，据此求出x﹣y的值是多少即可．
【解析】∵|x|＝7，|y|＝9，
∴x＝±7，y＝±9，
∵x＞y，
∴x＝±7，y＝﹣9，
∴x﹣y＝﹣7﹣（﹣9）＝2或x﹣y＝7﹣（﹣9）＝16．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数减法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
【变式2.3】（2019秋•九龙坡区校级期中）若|x|＝2．|y|＝3，x+y＜0，则x﹣y的值是（　　）
A．5或1 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣5 D．﹣5或1
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，即可确定出x﹣y的值．
【解析】∵|x|＝2，|y|＝3，且x+y＜0，
∴x＝2，y＝﹣3；x＝﹣2，y＝﹣3，
则x﹣y＝5或1．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的减法，绝对值，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2.4】（2019秋•永安市期末）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表．则这四天中温差最大的是（　　）
星期
一
二
三
四
最高气温
21℃
22℃
14℃
20℃
最低气温
11℃
14℃
﹣1℃
11℃
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
【分析】用最高温度减去最低温度，结果最大的即为所求；
【解析】星期一温差21﹣11＝10（℃）；
星期二温差22﹣14＝8（℃）；
星期三温差14﹣（﹣1）＝15（℃）；
星期四温差20﹣11＝9（℃）；
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的减法和有理数的大小比较，能求出温差是解此题的关键．
【变式2.5】（2019秋•越城区期末）在算式3﹣|﹣1□2|中的“□”里，选择一个运算符号，使得算式的值最大（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】根据题意，要使得算式的值最大，就要使﹣1□2的绝对值最小，所以选择的运算符号是÷，据此判断即可．
【解析】在算式3﹣|﹣1□2|中的“□”里，要使得算式的值最大，就要使﹣1□2的绝对值最小，
∴选择的运算符号是÷．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数减法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
【考点3】有理数的加减混合运算
【例3】（2019秋•兴化市校级月考）计算：
（1）7﹣（﹣4）+（﹣5）
（2）6-(-15)-2-|-1.5|
（3）﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6
（4）123-125+43-0.6-(-335)
【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）先去掉绝对值，然后根据有理数的加减法即可解答本题；
（3）根据有理数的加减法可以解答本题；
（4）根据有理数的加减法可以解答本题．
【解析】（1）7﹣（﹣4）+（﹣5）
＝7+4+（﹣5）
＝6；
（2）6-(-15)-2-|-1.5|
＝6+0.2+（﹣2）﹣1.5
＝2.7；
（3）﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6
＝（﹣7.2）+（﹣0.8）+（﹣5.6）+11.6
＝﹣2；
（4）123-125+43-0.6-(-335)
=123+(-125)+43+(-35)+335．
＝435．
【变式3.1】（2019秋•渝中区校级期中）下列计算正确的是（　　）
A．7+（﹣5）＝12 B．0﹣2019＝2019
C．10﹣（﹣10）＝0 D．﹣2.1+（﹣2.9）＝﹣5
【分析】根据有理数加减法的运算方法，逐项判断即可．
【解析】A、7+（﹣5）＝2，故此选项不合题意；
B、0﹣2019＝﹣2019，故此选项不合题意；
C、10﹣（﹣10）＝20，故此选项不合题意；
D、﹣2.1+（﹣2.9）＝﹣5，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
【变式3.2】（2020春•延庆区期中）计算：
（1）9﹣（﹣1）+（﹣10）；
（2）（+135）+37+（-85）﹣（-117）．
【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解析】（1）原式＝9+1﹣10
＝0；
（2）原式=135+37-85+117
＝（135-85）+（37+117）
＝1+2
＝3．
【点评】此题主要考查了有理数的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式3.3】（2019秋•闵行区期末）计算：223+6.3-(53-135)．
【分析】应用减法的性质，加法交换律、加法结合律，求出算式的值是多少即可．
【解析】223+6.3-(53-135)
＝（223-53）+（6.3+135）
＝1+7.9
＝8.9
【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
【变式3.4】（2019秋•平谷区期末）计算：（+8）+（﹣10）﹣（﹣2）﹣（﹣1）．
【分析】从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解析】（+8）+（﹣10）﹣（﹣2）﹣（﹣1）
＝8﹣10+2+1
＝﹣2+2+1
＝1
【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
【变式3.5】（2019秋•虹口区期末）计算：534-（23+134）
【分析】原式去括号后，利用加减法则计算即可求出值．
【解析】原式＝534-134-23=4-23=313．
【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式3.6】（2018秋•江阴市校级月考）计算
（1）﹣20﹣（﹣18）+（﹣14）+13
（2）18+（﹣12）+（﹣21）﹣（﹣12）
（3）25-|﹣112|﹣（+214）﹣（﹣2.75）
（4）0.35+（﹣0.6）+0.25﹣（+5.4）
（5）113-115+53-(-0.6)-(-335)
（6）（+1.125）﹣（+334）﹣（+18）+（﹣0.25）
【分析】（1）将减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（2）将减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（3）将分数化为小数，减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（4）将减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（5）将分数化为小数，减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（6）将分数化为小数，减法转化为加法，再根据法则计算可得．
【解析】（1）原式＝﹣20+18﹣14+13
＝﹣34+31
＝﹣3；
（2）原式＝18﹣12﹣21+12
＝30﹣33
＝﹣3；
（3）原式＝0.4﹣1.5﹣2.25+2.75
＝0.4﹣1.5+0.5
＝0.9﹣1.5
＝﹣0.6；
（4）原式＝0.35﹣0.6+0.25﹣5.4
＝﹣5.4；

（5）原式=43-65+53+35+185
＝（43+53）+（-65+35+185）
＝3+3
＝6；
（6）原式＝1.125﹣3.75﹣0.125﹣0.25
＝（1.125﹣0.125）+（﹣3.75﹣0.25）
＝1﹣4
＝﹣3．
【考点4】有理数加减的实际问题
【例4】（2020春•肇东市期末）小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米）+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）小虫最后是否回到出发点A？
（2）小虫离开原点最远是多少厘米？
（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？
【分析】（1）把记录数据相加，结果为0，说明小虫最后回到出发点A；
（2）分别计算出每次爬行后距离A点的距离；
（3）小虫一共得到的芝麻数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把绝对值相加，再求得到的芝麻粒数．
【解析】（1）+5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10
＝27﹣27
＝0，
所以小虫最后回到出发点A；
（2）第一次爬行距离原点是5cm，第二次爬行距离原点是5﹣3＝2（cm），
第三次爬行距离原点是2+10＝12（cm），第四次爬行距离原点是12﹣8＝4（cm），
第五次爬行距离原点是|4﹣6|＝2（cm），第六次爬行距离原点是﹣2+12＝10（cm），
第七次爬行距离原点是10﹣10＝0（cm），
从上面可以看出小虫离开原点最远是12cm；
（3）小虫爬行的总路程为：
|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|
＝5+3+10+8+6+12+10
＝54（cm）．
54÷1＝54（粒）
所以小虫一共得到54粒芝麻．
【变式4.1】（2019秋•岑溪市期末）某地一天早晨的气温是﹣5℃，中午上升了10℃，午夜又下降了8℃，则午夜的气温是（　　）
A．﹣3℃ B．﹣5℃ C．5℃ D．﹣9℃
【分析】根据有理数的加减混合运算的运算方法，用某地一天早晨的气温加上中午上升的温度，再减去午夜又下降的温度，求出午夜的气温是多少即可．
【解析】（﹣5）+10﹣8
＝5﹣8
＝﹣3（℃）
答：午夜的气温是﹣3℃．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算，要熟练掌握，注意运算顺序．
【变式4.2】（2019秋•嘉祥县期中）某大楼地上共有16层，地下共有3层，某人从地上9层下降到地下2层，电梯一共下降的层数为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】根据题意列出算式，计算即可求出值．
【解析】根据题意得：9﹣（﹣2）﹣1＝10，
则某人乘电梯从地上9层下降到地下2层，电梯一共下降的层数为10层，
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．
【变式4.3】（2019秋•吴兴区期末）小李靠勤工俭学的收入支付上大学的费用，下面是小李某周的收支情况表，记收入为正，支出为负（单位：元）．
星期
一
二
三
四
五
六
七
收入
+65
+68
+50
+66
+50
+75
+74
支出
﹣60
﹣64
﹣63
﹣58
﹣60
﹣64
﹣65
（1）到这个周末，小李有多少节余？
（2）按以上的支出水平，估计小李一个月（按30天计算）至少有多少收入才能维持正常开支？
【分析】（1）把周一至周日的收入和支出加在一起计算即可；
（2）求出平均每天的结余，再乘30，就是一个月的结余．
【解析】（1）（+65+68+50+66+50+75+74）+（﹣60﹣64﹣63﹣58﹣60﹣64﹣65）＝14（元）
答：到这个周末，小李有14元的节余．
（2）17（|﹣60|+|﹣64|+|﹣63|+|﹣58|+|﹣60|+|﹣64|+|﹣65|）＝62（元）
62×30＝1860（元）
答：小李一个月（按30天计算）至少要有1860元的收入才能维持正常开支．
【点评】本题主要考查正数和负数，有理数的加减混合运算，比较简单，读懂表格数据并列出算式是解题的关键．
【变式4.4】（2019秋•永定区期末）一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）守门员是否回到了原来的位置？
（2）守门员离开球门的位置最远是多少？
（3）守门员一共走了多少路程？
【分析】理解向前记作正数，返回记作负数，根据题目意思列出式子计算即可．
【解析】根据题意得
（1）5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10＝0，
故回到了原来的位置；
（2）离开球门的位置分别是5米，2米，12米，4米，2米，10米，0米，
∴离开球门的位置最远是12米；
（3）总路程＝|5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|＝54米．
【点评】本题考查的是有理数的加减混合运算，注意相反意义的量的理解．
【变式4.5】（2019秋•郓城县期末）一辆货车从超市出发送货．先向南行驶30km到达A单位，继续向南行驶20km到达B单位．回到超市后，又给向北15km处的C单位送了3次货，然后回到超市休息．
（1）C单位离A单位有多远？
（2）该货车一共行驶了多少km？
【分析】（1）设超市为原点，向南为正，向北为负，然后列式进行求解；
（2）货车从超市到A到B，再回到超市，然后到C处三个来回，共六个单程距离．
【解析】（1）规定超市为原点，向南为正，向北为负，
依题意得C单位离A单位有：30+|﹣15|＝45km，
∴C单位离A单位45km；
（2）该货车一共行驶了：
（30+20）×2+|﹣15|×6
＝50×2+15×6
＝100+90
＝190km．
答：该货车一共行驶了190km．
【点评】解答此题一定要弄清题目中货车的运行方向，负方向应以绝对值计算距离；理清货车的运行路线是正确列式的关键．
【考点5】有理数的乘法
【例5】（2019秋•增城区期中）计算（﹣1）×5的结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【分析】直接利用有理数的乘法运算法则得出答案．
【解析】（﹣1）×5＝﹣5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式5.1】（2019秋•青浦区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．因为10÷4＝2.5，所以10是4的倍数
B．所有的偶数都是合数
C．两个整数的积一定是这两个数的最小公倍数
D．1是所有正整数的因数
【分析】最小公倍数的意义：最小公倍数是这几个数公倍数中最小的，据此分析各选项的正确与否．
【解析】A、因为10÷4＝2.5，商表示整数，所以10不是4的倍数，故选项错误；
B、偶数2不是合数，故选项错误；
C、两个整数的积一定是这两个数的公倍数，不一定是这两个数的最小公倍数，例如4和6他们的积是24，24是它们的公倍数，12才是它们的最小公倍数，故选项错误；
D、1是所有正整数的因数，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法，弄清最小公倍数的意义是解本题的关键．
【变式5.2】（2019秋•衡水期中）若（﹣2018）×63＝p，则（﹣2018）×62的值可表示为（　　）
A．p﹣1 B．p+2018 C．p﹣2018 D．p+1
【分析】直接利用已知将原式变形进而得出答案．
【解析】∵（﹣2018）×63＝p，
∴（﹣2018）×62＝（﹣2018）×（63﹣1）＝（﹣2018）×63﹣（﹣2018）
＝p+2018．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数的减法，正确将原式变形是解题关键．
【变式5.3】（2019秋•道外区期末）计算3个29的和是（　　）
A．329 B．23 C．227 D．13
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【解析】3×29=23，
即3个29的和是23．
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式5.4】（2019秋•天宁区校级月考）下列说法中正确的个数是（　　）
（1）一个数，如果不是正数，必定是负数；
（2）有理数的绝对值一定是正数；
（3）若两个数的差为0，则这两个数必相等；
（4）若两数的积为正数，则这两个数必定都是正数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据有理数的定义，绝对值的性质，有理数的减法、乘法法则，逐一分析探讨得出结论即可．
【解析】（1）一个数，如果不是正数，必定是0或负数，原来的说法是错误的；
（2）有理数的绝对值一定是非负数，原来的说法是错误的；
（3）若两个数的差为0，则这两个数必相等是正确的；
（4）若两数的积为正数，则这两个数可能都是负数，原来的说法是错误的．
故说法中正确的个数是1个．
故选：A．
【变式5.5】（2019秋•禹州市期中）已知|x|＝3，|y|＝7，且x﹣y＞0，xy＜0，则x+y的值为（　　）
A．﹣10 B．﹣4 C．﹣10或﹣4 D．4
【分析】根据|x|＝3，|y|＝7，且x﹣y＞0，xy＜0，可以确定x、y的值，从而可以解答本题．
【解析】∵|x|＝3，|y|＝7，
∴x＝±3，y＝±7，
∵x﹣y＞0，xy＜0，
∴x＝3，y＝﹣7，
∴x+y＝3+（﹣7）＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查有理数的加法、绝对值、有理数的减法、有理数的乘法，解题的关键是能根据题目中的信息确定x、y的值．
【考点6】有理数的除法
【例6】（2019秋•卫辉市期末）若ab≠0，则|a|a+|b|b的值不可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
【分析】分类讨论a与b的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【解析】当a＞0，b＞0时，原式＝1+1＝2；
当a＞0，b＜0时，原式＝1﹣1＝0；
当a＜0，b＞0时，原式＝﹣1+1＝0；
当a＜0，b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，
综上，原式的值不可能为1．
故选：B．
【变式6.1】（2020春•肇州县期末）如果|a|a=-1，则a一定是（　　）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【分析】根据绝对值的性质①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零可得a为非正数．
【解析】∵|a|a=-1，
∴|a|＝﹣a，
∴a≤0，
∵a是分母，
∴a≠0．
故选：B．
【变式6.2】（2019秋•香坊区校级期中）甲数的34等于乙数的25，甲数是80，乙数是（　　）
A．150 B．120 C．100 D．80
【分析】根据题意先求出甲数的34，进而解答即可．
【解析】因为甲数的34=80×34=60，
所以乙数=60÷25=150，
故选：A．
【点评】此题考查有理数的除法，关键是根据题意先求出甲数的34解答．
【变式6.3】（2018秋•金湖县期末）我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（　　）
A．1 B．3 C．13 D．19
【分析】根据新定义列出算式9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]，再根据有理数的乘除运算法则计算可得．
【解析】9×（﹣3）④＝9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]
＝9×19
＝1，
故选：A．
【变式6.4】（2018秋•北海期末）把（-34）÷（-23）转化为乘法是（　　）
A．（-34）×23 B．（-34）×32
C．（-34）×（-23） D．（-34）×（-32）
【分析】根据除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数可得．
【解析】把（-34）÷（-23）转化为乘法是（-34）×（-32），
故选：D．
【变式6.5】（2019秋•呼兰区期中）某班级女生人数是男生人数的45，该班级女生人数与全班人数的比是（　　）
A．4：5 B．5：4 C．5：9 D．4：9
【分析】把男生人数看作单位“1”，因为女生人数为男生人数的45，则全班人数是男生人数的（1+45），进而根据题意，用45：（1+45），然后化为最简整数比即可．
【解析】45：（1+45）=45：95=4：9．
即该班级女生人数与全班人数的比是4：9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了有理数的除法，理清题意，判断出单位“1”是解答本题的关键．
【考点7】乘法运算律
【例7】用有理数的乘法运算律计算：〔-12+16-38+512〕×（﹣24）＝　7　．
【分析】运用乘法分配律计算即可．
【解析】〔-12+16-38+512〕×（﹣24）
=-12×（﹣24）+16×（﹣24）-38×（﹣24）+512×（﹣24），
＝12﹣4+9﹣10，
＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法，解题的关键是运用乘法分配律计算，也可按顺序计算．
【变式7.1】用乘法运算律填空计算：
13×　31　-13×13=13×　（31﹣13）　＝6．
【分析】逆运用乘法分配律进行计算即可得解．
【解析】13×31-13×13
=13×（31﹣13）
＝6．
故答案为：31；（31﹣13）．
【点评】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的考查．
【变式7.2】用有理数的乘法运算律计算：（﹣1）×（﹣9）×（﹣5）×（-19）＝　5　．
【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【解析】（﹣1）×（﹣9）×（﹣5）×（-19），
＝1×9×5×19，
＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键．
【变式7.3】（2017秋•怀柔区期末）观察算式（﹣4）×17×（﹣25）×28，在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是（　　）
A．乘法交换律 B．乘法结合律
C．乘法交换律、结合律 D．乘法对加法的分配律
【分析】利用交换律和结合律计算可简便计算．
【解析】原式＝[（﹣4）×（﹣25）]（17×28）
＝100×4
＝400，
所以在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是乘法交换律、结合律．
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的乘除，解题的关键是熟练掌握有理数的乘除运算法则和运算律．
【变式7.4】用乘法运算律，将下列各式进行简便计算：
（1）（﹣112）×（﹣7）×23；
（2）（﹣48）×（-34+56-712）；
（3）0.7×311-6.6×37-1.1×37+0.7×811．
【分析】（1）利用乘法的交换律与结合律计算；
（2）利用乘法的分配律计算即可；
（3）逆用乘法的分配律，以简化运算即可．
【解析】（1）（﹣112）×（﹣7）×23
=(-32)×23×(-7)
＝7；
（2）（﹣48）×（-34+56-712）
=-48×(-34)-48×56-48×(-712)
＝36﹣40+28
＝24；
（3）0.7×311-6.6×37-1.1×37+0.7×811
=0.7×(311+811)+37×(-6.6-1.1)
＝0.7﹣3.3
＝﹣2.6．
【点评】本题主要考查有理数的运算，关键是使用运算律可使运算简便．
【变式7.5】（2019秋•海安市月考）计算：
（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）；
（2）-215×2311÷(-212)；
（3）(-124)÷(134-78+712)；
（4）(79-56+34-718)×36．
【分析】（1）把后两项结合，利用乘法结合律进行计算即可得解；
（2）把带分数化为假分数，除法转化为乘法，然后进行计算即可得解；
（3）先通分计算括号里面的，再根据除以一个数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解；
（4）利用乘法分配律进行计算即可得解．
【解析】（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4），
＝（﹣85）×[（﹣25）×（﹣4）]，
＝﹣85×100，
＝﹣8500；

（2）﹣215×2311÷（﹣212），
=-115×2511×（-25），
＝2；
（3）（-124）÷（134-78+712），
＝（-124）÷（4224-2124+1424），
＝（-124）÷3524，
＝（-124）×2435，
=-135；
（4）（79-56+34-718）×36，
=79×36-56×36+34×36-718×36，
＝28﹣30+27﹣14，
＝55﹣44，
＝11．
【考点8】有理数的四则混合运算
【例8】（2018秋•定安县期末）下列运算正确的是（　　）
A．﹣312-（-12）＝4 B．0﹣2＝﹣2
C．34×（-43）＝1 D．﹣2÷（﹣4）＝2
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解析】A、原式＝﹣312+12=-3，错误；
B、原式＝﹣2，正确；
C、原式＝﹣1，错误；
D、原式=12，错误，
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的除法，有理数的减法，以及有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式8.1】（2018秋•临沭县期末）计算：-24×(16+113-0.75)．
【分析】直接运用乘法的分配律可简化计算．
【解析】-24×(16+113-0.75)=-24×16-24×43+24×34=-4﹣32+18＝﹣18．
【点评】注意要会灵活运用法则或者运算律进行解题．
【变式8.2】（2016秋•昌江区期中）下列运算中，错误的是（　　）
A．14÷（﹣4）＝4×（﹣4） B．﹣5÷（-12）＝﹣5×（﹣2）
C．7﹣（﹣3）＝7+3 D．6﹣7＝（+6）+（﹣7）
【分析】分别利用有理数的除法运算法则以及有理数加减运算法则化简求出答案．
【解析】A、14÷（﹣4）=14×（-14）=-116，错误，符合题意；
B、﹣5÷（-12）＝﹣5×（﹣2），正确，不合题意；
C、7﹣（﹣3）＝7+3，正确，不合题意；
D、6﹣7＝（+6）+（﹣7），正确，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．
【变式8.3】（2012秋•姜堰市校级期中）下列运算错误的是（　　）
A．2﹣7＝（+2）+（﹣7）
B．8﹣（﹣2）＝8+2
C．（﹣1）×（﹣4）＝4
D．(-3)÷(-13)=(-3)×(-3)=-9
【分析】根据有理数的减法对A、B进行判断；根据有理数的乘法对C进行判断；根据有理数的除法得到（﹣3）÷（-13）＝﹣3×（﹣3），然后根据有理数的乘法进行计算，即可对D进行判断．
【解析】A、2﹣7＝（+2）+（﹣7），所以A选项的运算正确；
B、8﹣（﹣2）＝8+2，所以B选项的运算正确；
C、（﹣1）×（﹣4）＝4，所以C选项的运算正确；
D、（﹣3）÷（-13）＝﹣3×（﹣3）＝9，所以D选项的运算错误．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数．也考查了乘法的分配律．
【变式8.4】（2019秋•辉县市期末）计算
（1）﹣23﹣（1+0.5）×13÷（﹣134）；
（2）991117÷（-117）（进行简便运算）．
【分析】（1）首先计算乘方，然后计算乘法、除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
（2）首先把991117化成100-617，然后应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可．
【解析】（1）﹣23﹣（1+0.5）×13÷（﹣134）
＝﹣8-32×13÷（-74）
＝﹣8+27
＝﹣757
（2）991117÷(-117)
＝（100-617）×（﹣17）
＝100×（﹣17）-617×（﹣17）
＝﹣1700+6
＝﹣1694．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
【变式8.5】（2019秋•海安市月考）计算：
（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）；
（2）-215×2311÷(-212)；
（3）(-124)÷(134-78+712)；
（4）(79-56+34-718)×36．
【分析】（1）把后两项结合，利用乘法结合律进行计算即可得解；
（2）把带分数化为假分数，除法转化为乘法，然后进行计算即可得解；
（3）先通分计算括号里面的，再根据除以一个数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解；
（4）利用乘法分配律进行计算即可得解．
【解析】（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4），
＝（﹣85）×[（﹣25）×（﹣4）]，
＝﹣85×100，
＝﹣8500；
（2）﹣215×2311÷（﹣212），
=-115×2511×（-25），
＝2；
（3）（-124）÷（134-78+712），
＝（-124）÷（4224-2124+1424），
＝（-124）÷3524，
＝（-124）×2435，
=-135；
（4）（79-56+34-718）×36，
=79×36-56×36+34×36-718×36，
＝28﹣30+27﹣14，
＝55﹣44，
＝11．
【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更加简便，（3）需要注意除法没有分配律．
【考点9】有理数的乘方
【例9】（2019春•青羊区校级期中）计算（﹣2）2的结果是（　　）
A．14 B．4 C．-14 D．﹣4
【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可．
【解析】（﹣2）2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的定义是解题的关键．
【变式9.1】（2019秋•沂南县期中）下列各对数中，互为相反数的是（　　）
A．32与﹣32 B．﹣（+4）与+（﹣4）
C．﹣3与﹣|﹣3| D．﹣23与（﹣2）3
【分析】先化简各式，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解析】A、9和﹣9，符合只有符号不同的两个数互为相反数，故A正确；
B、都是﹣4，故B错误；
C、都是﹣3，故C错误；
D、都是﹣8，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，只有符号不同的两个数互为相反数．
【变式9.2】（2019秋•广陵区校级期中）下列各对数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣|﹣2|和+（﹣2） B．+（﹣6）和﹣（+6）
C．（﹣4）3和﹣43 D．（﹣5）2和﹣52
【分析】根据绝对值的含义和求法，以及相反数的含义以及求法，逐一判断出互为相反数的是哪组数即可．
【解析】A﹣|﹣2|＝+（﹣2），故本选项不合题意；
B．+（﹣6）＝﹣（+6）），故本选项不合题意；
C．（﹣4）3＝﹣43）），故本选项不合题意；
D．（﹣5）2和﹣52互为相反数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
【变式9.3】（2019秋•龙岗区校级期末）下列各组数中，结果相等的是（　　）
A．52与25 B．﹣22与（﹣2）2
C．﹣24与（﹣2）4 D．（﹣1）2与（﹣1）20
【分析】根据有理数的乘方的意义逐一计算并判断即可．
【解析】A．52＝25，25＝32，所以52≠25，故本选项不符合题意；
B．﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，所以﹣22≠（﹣2）2，故本选项不符合题意；
C．﹣24＝﹣16，（﹣2）4＝16，所以﹣24≠（﹣2）4，故本选项不符合题意；
D．（﹣1）2＝1，（﹣1）20＝1，所以（﹣1）2＝（﹣1）20，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数乘方的运算．掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键．
【变式9.4】（2019秋•德城区校级期中）有理数﹣|﹣2|，﹣22019，﹣（﹣1），0，﹣（﹣2）2中，负数的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据题目中的数字，进行化简，即可判断出有几个负数，本题得以解决．
【解析】∵﹣|﹣2|＝﹣2＜0，﹣22019＜0，﹣（﹣1）＝1＞0，0＝0，﹣（﹣2）2＝﹣4＜0，
∴负数有﹣|﹣2|，﹣22019，﹣（﹣2）2，
即在有理数﹣|﹣2|，﹣22019，﹣（﹣1），0，﹣（﹣2）2中，负数有3个，
故选：B．
【点评】本题考查绝对值、有理数的乘方、相反数、正数和负数，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
【变式9.5】（2019秋•阳信县期末）在﹣（﹣8），（﹣1）2019，﹣32，0，﹣|﹣1|中，负数的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】首先求出每个数的值各是多少；然后根据：负数小于0，判断出负数的个数有多少个即可．
【解析】﹣（﹣8）＝8＞0，（﹣1）2019＝﹣1＜0，﹣32＝﹣9＜0，0既不是正数，也不是负数，﹣|﹣1|＝﹣1＜0，
∴负数有3个：（﹣1）2019，﹣32，﹣|﹣1|．
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数乘方的运算方法，负数、相反数、绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
【考点10】有理数的五则混合运算
【例10】（2019秋•德城区校级期中）|﹣3|﹣（﹣1）2的值是（　　）
A．﹣2 B．4 C．2 D．﹣4
【分析】根据有理数的乘方、有理数的减法和绝对值可以解答本题．
【解析】|﹣3|﹣（﹣1）2
＝3﹣1
＝2，
故选：C．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
【变式10.1】（2020春•南岗区校级期中）计算：
（1）(-12556)÷(-5)；
（2）﹣22﹣（﹣8）÷（﹣2）3﹣（﹣2）×（﹣4）．
【分析】（1）根据除法法则计算即可求解；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．
【解析】（1）(-12556)÷(-5)=2516；
（2）﹣22﹣（﹣8）÷（﹣2）3﹣（﹣2）×（﹣4）
＝﹣4﹣（﹣8）÷（﹣8）﹣8
＝﹣4﹣1﹣8
＝﹣13．
【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【变式10.2】（2020春•肇源县期末）计算与化简：
（1）12﹣（﹣6）+（﹣9）；
（2）（﹣48）×（-12-58+712）；
（3）﹣32÷（﹣2）2×|﹣113|×6+（﹣2）3．
【分析】根据有理数的混合运算顺序和运算法则进行计算便可．
【解析】（1）12﹣（﹣6）+（﹣9）
＝12+6+（﹣9）
＝18+（﹣9）
＝9；
（2）（﹣48）×（-12-58+712）
＝（﹣48）×（-12）+（﹣48）×（-58）+（﹣48）×712
＝24+30﹣28
＝26；
（3）﹣32÷（﹣2）2×|﹣113|×6+（﹣2）3．
＝﹣9÷4×43×6+（﹣8）
=-94×43×6+（﹣8）
＝（﹣18）+（﹣8）
＝﹣26．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟记有理数的运算法则和混合运算的顺序是解题的关键．
【变式10.3】（2020春•浦东新区期末）计算：[（16-14）×12]2+2004．
【分析】先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算；注意乘法分配律的简便计算．
【解析】[（16-14）×12]2+2004
＝（16×12-14×12）2+2004
＝（2﹣3）2+2004
＝（﹣1）2+2004
＝1+2004
＝2005．
【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化
【变式10.4】（2019秋•沙坪坝区校级期末）计算：
（1）﹣12020+（﹣1.2）+|﹣3|﹣0.8；
（2）722×（﹣317+713）﹣3÷（﹣3）2．
【分析】（1）根据有理数的乘方、有理数的加减法可以解答本题；
（2）根据乘法分配律和有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
【解析】（1）﹣12020+（﹣1.2）+|﹣3|﹣0.8
＝﹣1+（﹣1.2）+3+（﹣0.8）
＝0；
（2）722×（﹣317+713）﹣3÷（﹣3）2
=722×（-227+223）﹣3÷9
＝﹣1+73-13
＝1．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
【变式10.5】（2019秋•沛县期末）计算：
（1）（﹣2.25）+（﹣5.1）+14+（﹣418）+（-910）；
（2）（12+56-712 ）×（﹣36）；
（3）（﹣1）3×（﹣5）÷[（﹣3）2+2×（﹣5）]．
【分析】（1）原式结合后，相加即可求出值；
（2）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（3）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可求出值．
【解析】（1）原式＝（﹣2.25+14）+（﹣5.1-910）+（﹣418）
＝﹣2﹣6﹣418
＝﹣1218；
（2）原式=12×（﹣36）+56×（﹣36）-712×（﹣36）
＝﹣18﹣30+21
＝﹣27；
（3）原式＝﹣1×（﹣5）÷（9﹣10）
＝5÷（﹣1）
＝﹣5．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【考点11】有理数的有关新定义运算
【例11】（2015秋•桂阳县校级期中）若新运算“※”定义为：a※b＝b2﹣2a，则2※3＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．﹣6
【分析】根据题意列出有理数混合运算的式子，再根据有理数混合运算的法则进行计算即可．
【解析】∵a※b＝b2﹣2a，
∴2※3＝32﹣4＝9﹣4＝5．
故选：C．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解答此题的关键．
【变式11.1】（2019秋•青羊区校级期中）新定义：若定义a⊕b＝3a﹣5b+1，则4⊕12=　212　．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解析】根据题中的新定义得：原式＝3×4﹣5×12+1＝12-52+1=212．
故答案为：212．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式11.2】（2015秋•襄州区期中）已知a，b为有理数，如果规定一种新运算“@”，定义a@b＝a2﹣b2，则6@（﹣5）的结果是　11　．
【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解析】根据题中的新定义得：6@（﹣5）＝36﹣25＝11，
故答案为：11．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式11.3】（2014秋•桂阳县校级期中）若新运算“※”定义为：a※b＝a2﹣2b，则1※（2※3）＝　5　．
【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果．
【解析】根据题意得：2※3＝4﹣6＝﹣2，
则原式＝1※（﹣2）＝1+4＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式11.4】（2018秋•花都区期末）新定义运算：a*b＝a﹣2b，则（3*2）*2＝　﹣5　．
【分析】根据a*b＝a﹣2b，可以求得所求式子的值．
【解析】∵a*b＝a﹣2b，
∴（3*2）*2
＝（3﹣2×2）*2
＝（3﹣4）*2
＝（﹣1）*2
＝（﹣1）﹣2×2
＝（﹣1）﹣4
＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
【变式11.5】（2019秋•新宾县期末）定义一种新运算：新定义运算a*b＝a×（a﹣b）3，则3*4的结果是
﹣3．
【分析】根据a*b＝a×（a﹣b）3，可以求得所求式子的值．
【解析】∵a*b＝a×（a﹣b）3，
∴3*4
＝3×（3﹣4）3
＝3×（﹣1）3
＝3×（﹣1）
＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
【考点12】以数轴为载体的计算问题
【例12】（2019秋•建邺区期中）已知数轴上的点A、B、C、D分别表示﹣3、﹣1.5、0、4．

（1）请在数轴上标出A、B、C、D四个点；
（2）B、C两点之间的距离是　 ；
（3）如果把数轴的原点取在点B处，其余条件都不变，那么点A、C、D分别表示的数是　 　．
【分析】（1）在数轴上描出四个点的位置即可；
（2）根据两点之间的距离公式可求B、C两点的距离；
（3）原点取在B处，相当于将原数加上1.5，从而计算即可．
【解析】（1）如图所示：

（2）B、C两点的距离＝0﹣（﹣1.5）＝1.5；
（3）点A表示的数为：﹣3+1.5＝﹣1.5，点B表示的数为0，点C表示的数为0+1.5＝1.5，点D表示的数为4+1.5＝5.5．
故答案为：1.5；﹣1.5，0，1.5，5.5．
【变式12.1】（2019秋•江阴市期中）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，则点A，C所对应的数为　　，p的值为　　；
（2）若以C为原点，p的值为　　；
（3）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求p的值．

【分析】（1）根据数轴上的点对应的数即可求解；
（2）根据数轴上原点的位置确定其它点对应的数即可求解；
（3）根据原点在点C的右边先确定点C对应的数，进而确定点B、点A所表示的数即可求解．
【解析】（1）若以B为原点，则点A，C所对应的数为﹣2、1，
﹣2+1＝﹣1
故答案为﹣2、1，﹣1．
（2）若C为原点，则A、B所对应的数为﹣1、﹣3，
所以p的值为﹣1+（﹣3）＝﹣4．
故答案为﹣4．
（3）由题意知：C点表示的数为﹣28，B点表示的数为﹣29，A点表示的数为﹣31，
P＝﹣28+（﹣29）+（﹣31）＝﹣88，
或p＝（﹣28）+（﹣28﹣1）+（﹣28﹣3）＝﹣28﹣29﹣31＝﹣88．
答：p的值为﹣88．
【变式12.2】（2019秋•衡水期中）已知在数轴上原点处有一点A，将点A先向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度．
（1）移动后点A在数轴上所表示的数为　　；
（2）若数轴上有一点B与移动后点A相距4个单位长度，求点B表示的数；
（3）在（2）的条件下，若将点B移动3个单位长度后与点C重合，求点C所表示的数．
【分析】（1）根据有理数的加法运算进行计算即可，
（2）分两种情况分别计算，一是点B在A的左侧，二是点B在A的右侧，
（3）由（2）得B有两种可能，而每种中又有两种情况，因此点C有4种情况，对应4种结果．
【解析】（1）0﹣3+5＝2，
故答案为：2，
（2）2﹣4＝﹣2或2+4＝6，
答：点B表示的数为﹣2或6，
（3）﹣2+3＝1或﹣2﹣3＝﹣5或6+3＝9或6﹣3＝3，
答：点C所表示的数﹣5，1，3，9．
【变式12.3】（2019秋•栾城区期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴的原点重合，AB是圆片的直径．

（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是　　数（填“无理”或“有理”），这个数是　 　；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是　　；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2
当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？
【分析】（1）根据圆的周长公式计算即可；
（2）分两种情形讨论即可；
（3）根据路程的定义计算即可．
【解析】（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是无理数，这个数是﹣2π；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是±4π；
（3）2+1+5+4+3+2＝17，
故A点运动的路程共有34π，
+2﹣1﹣5+4+3﹣2＝1，
故此时点A所表示的数是2π．
故答案为：无理，﹣2π；±4π．