1.3 二次根式-中考数学一轮复习 知识点+练习

这是一份1.3 二次根式-中考数学一轮复习 知识点+练习，文件包含13二次根式-解析版docx、13二次根式-原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
第一章 数与式
1.3二次根式
一、课标解读
1.了解二次根式、最简二次根式的概念;
2.了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算;
3.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
二、知识点回顾
知识点1. 二次根式的有关概念
1．二次根式：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
2．二次根式有意义的条件：被开方数≥0．
3．最简二次根式：必须同时满足：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
知识点2. 二次根式的性质
双重非负性
≥0.(a≥0)
两个重要的性质
()2＝a；(a≥0)
＝|a|＝
积的算术平方根
＝·.(a≥0，b≥0)
商的算术平方根
.(a≥0，b＞0)
知识点3.无理数的估值
先确定无理数的被开方数，找出与被开方数相邻的两个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个无理数在哪两个整数之间．
知识点4.二次根式的运算
二次根式的加减
先将各根式化为最简二次根式，然后合并被开方数相同的二次根式．
二次根式的乘法

二次根式的除法

二次根式的混合运算
与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号).










知识点5.非负数的概念和性质
0和正数 统称为非负数．如果a是非负数，那么可以表示为a≥⑨ ．
初中代数中常见的非负数有：
(1)实数的绝对值：|a|≥0；(2)实数的平方：a2≥0；(3)二次根式：≥0(a≥0)；(4)如果几个非负数的和为0，那么每个非负数的值为0．如a2＋＋＝0，则a＝b＝c＝0.
三、热点训练
热点1：二次根式的性质
一练基础
1．（2021·四川内江·中考真题）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】
根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件可得结果．
【详解】
解：由题意得：，，
解得：且，
故选：．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟知根号下为非负数以及分母不为零是解题的关键．
2．（2021·浙江省杭州市上泗中学二模）二次根式中的字母的取值范围是_______________________．
【答案】
【分析】
根据二次根式的被开方数为非负数，可以得出关于a的不等式，继而求得a的取值范围．
【详解】
解：由分析可得，a-1≥0，
解得：a≥1．
故答案为：a≥1．
【点睛】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数为非负数是解答本题的关键．
3．（2017·辽宁大石桥·中考模拟）若式子有意义，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】a≥－2且a≠1
【分析】
直接利用二次根式的性质得出a的取值范围．
【详解】
解：∵式子有意义，
∴，，
∴，且；
故答案为：且；
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
4．（2021·海南省东方市琼西中学九年级阶段练习）计算的结果是_______________
【答案】4
【分析】
根据二次根式的性质进行求解即可．
【详解】
解：，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
二练巩固
5．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（　　）

A．2 B． C．5 D．
【答案】B
【解析】
【分析】由图形可知，第n行最后一个数为，据此可得答案．
【详解】由图形可知，第n行最后一个数为，
∴第8行最后一个数为=6，
则第9行从左至右第5个数是，
故选B．
【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为．
6．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简的结果是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据数轴确定a的取值范围，根据绝对值的性质，二次根式的性质化简即可．
【详解】
解：由数轴可知，a＜0＜b，
∴a-b＜0
∴；
故选：A
【点睛】
本题考查的是二次根式的化简，实数与数轴，掌握绝对值的性质，二次根式的性质是解题的关键．
7．（2021·湖南娄底·中考真题）是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【答案】D
【分析】
先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】
解：是三角形的三边，
，
解得：，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．
8．（2021·山西襄汾·九年级阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．6 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】
根据二次根式的性质求出a=13，得到b=-10，代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴a-13=0，
∴a=13，
∴b=-10，
∴=，
故选：A．
【点睛】
此题考查二次根式的性质，化简二次根式，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
三练拔高
9．（2021·河南省淮滨县第一中学一模）化简二次根式 的结果是（ ）
A． B．－ C． D．－
【答案】B
【分析】
首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可
【详解】


故选B
【点睛】
本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
10．（2021·全国·八年级课时练习）已知且，化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先根据二次根式有意义的条件确定ab的符号，然后根据a＜b来确定a、b各自的符号，再去根式化简．
【详解】
解：由题意：-a3b≥0，即ab≤0，
∵a＜b，
∴a＜0，b≥0，
所以原式==，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是根据已知条件确定出a、b的符号，以确保二次根式的双重非负性．
11．（2021·云南昭通·二模）实践与探索
（1）填空：________；________．
（2）观察第（1）的结果填空：当时，________；当时，________．
（3）利用你总结的规律计算：，其中x的取值范围在数轴上表示为．
【答案】（1）3，5；（2）a，；（3）2
【分析】
（1）直接利用二次根式的性质化简求出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简求出答案；
（3）直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】
解：（1）3； =5；
故答案为：3，5；
（2）当a≥0时a；当a＜0时，-a；
故答案为：a，-a；
（3）由数轴可得x的取值范围为，
∴x-2＞0、x-4＜0，
∴



=2．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
12．（2021·山东德州·一模）先化简，再求值：，其中x是使成立的正整数．
【答案】；
【分析】
先利用分式的混合运算的运算法则进行计算，再由二次根式的性质及分式的意义求得字母的值，最后将所求字母的值代入计算即可得解．
【详解】
解：原式



∵，
∴，
∴，
又∵x为正整数，
∴
∵，，
∴，，
∴，
将代入原式，得：
原式．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算的运算法则及利用二次根式的性质求得字母的值是解题的关键．
热点2：二次根式的运算
一练基础
1．（2020·湖北黄石·九年级阶段练习）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先将各式化为最简二次根式，再利用同类二次根式定义判断即可．
【详解】
解：A、原式，符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式不能化简，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的即为同类二次根式．
2．（2021·重庆·字水中学三模）估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间．
【答案】C
【分析】
先化简，再估算无理数的值即可解题．
【详解】
解:


即介于7和8之间，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次根式的乘法、合并同类二次根式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
3．（2021·上海浦东新·模拟预测）先化简，再求值：，其中x＝．
【答案】．
【分析】
先通分，再根据同分母的分式相加法则进行计算，最后代入求出即可．
【详解】
原式＝
＝
＝
＝
＝．
当x＝时，原式＝．
【点睛】
本题考查了分式的化简和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
4．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）化简：_______．
【答案】
【分析】
直接利用二次根式的乘法法则计算即可得出答案．
【详解】
解：原式

．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
5．（2021·甘肃庆阳·二模）一矩形的长为，宽为，则该矩形的面积为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】
根据矩形的面积公式进行计算即可
【详解】
解：；
故选：D
【点睛】
本题考查了矩形的面积和二次根式的乘法，熟练掌握相关的知识是解题的关键
二练巩固
6．（2021·内蒙古新城·二模）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分别根据幂的乘方、积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，二次根式的乘法逐项判断即可求解．
【详解】
解：A．，因此A选项计算正确，符合题意；
B．，因此B选项计算错误，不合题意；
C．，因此C选项计算错误，不合题意；
D．，因此D选项计算错误，不合题意．
故选：A
【点睛】
本题考查了幂的乘方、积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，二次根式的乘法等知识，熟练掌握各运算法则是解题关键．
7．（2021·北京西城·二模）以下变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据二次根式的法则计算即可
【详解】
解：
A、，故错误
B、，故错误
C、，故错误
D、，正确
故选：D
【点睛】
本题考查二次根式的化简，正确使用法则是关键
8．（2021·天津·二模）计算的结果等于_________．
【答案】
【分析】
利用完全平方公式进行计算，即可得出答案．
【详解】
解：


．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则并能利用完全平方公式求解是解题的关键．
9．（2019·新疆生产建设兵团第五师八十三团第二中学中考模拟）下列计算正确的是（ ）
A．＋＝ B．3﹣＝3
C．÷2＝ D．＝2
【答案】D
【分析】
利用二次根式的加减法对A、B进行判断；利用二次根式的除法法则对C进行判断；利用二次根式的乘法法则对D进行判断．
【详解】
解：A、与不能合并，所以A选项错误，不符合题意；
B、3﹣＝2，所以B选项错误，不符合题意；
C、÷2＝，所以C选项错误，不符合题意；
D、＝＝2，所以D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
三练拔高
10．（2021·陕西师大附中模拟预测）计算：
【答案】
【分析】
根据二次根式的乘法、负整数指数幂、立方根的运算法则进行计算即可；
【详解】


．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法、负整数指数幂、立方根的运算法则，正确掌握运算方法是解题的关键；
11．（2021·黑龙江讷河·九年级期中）在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，，，，，．按此规律，则的长为______．

【答案】．
【分析】
观察图形可得，,都是含有30°角的直角三角形，根据30°角所对的边等于斜边的一半，找出规律写出长度即可．
【详解】
解：∵，，，，
且，
∴,都是含有30°角的直角三角形，
在中，，，
由勾股定理可得：,
∴，
，
∴；
同理可得：；
；
；

∴当n为奇数时，；
当n为偶数时，；
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握勾股定理，通过计算得出规律是解决问题的关键．
12．（2021·山东龙口·一模）黄金分割具有严格的比例性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感．如图，连接正五边形的各条对角线围成一个新的五边形．图中有很多顶角为的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若，则_____．

【答案】
【分析】
由正五边形得到△DER为“黄金三角形”，利用黄金三角形的定义可得DE的长，即可得AB的长．
【详解】
∵为正五边形，
∴DE=AE=CD=AB，∠AED=∠EDC=∠EAB==108°，
∴∠DEC=∠DCE=36°，∠AEB=∠ABE=36°，∠EAD=∠EDA=36°，
∴∠MER=108°-36°-36°=36°，
∴∠ERD=2∠EAD=72°，∠DER=2∠DEC=72°，∠EMR=2∠EDA=72°，
∴ER=EM=4，DE=DR，
∴△DER为“黄金三角形”，
∴，即，
解得：DE=，
∴AB=，
故答案为：
【点睛】
本题考查正多边形的性质，多边形的内角和为（n-2）×180°（n≥3），理解“黄金三角形”的定义，正确得出正五边形一个内角的度数，熟练掌握等腰三角形的性质并是解题关键．
13．（2021·湖北黄冈·中考真题）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____．
【答案】10
【分析】
先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得．
【详解】
解：，
（为正整数），
，
，
，
，
则，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．
14．（2021·辽宁阜新·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】
分式算式中有加法和除法两种运算，且有括号，按照运算顺序，先算括号里的加法，再算除法，最后代入计算即可．
【详解】
原式



当时，
原式．
【点睛】
本题是分式的化简求值题，考查了二次根式的混合运算，二次根式的除法等知识，化简时要注意运算顺序，求值时，最后结果的分母中不允许含有二次根式．
15．（2021·湖南渌口·模拟预测）先化简，再求值（）÷，其中m＝+1．
【答案】，1．
【分析】
根据分式的除法法则，可以化简题目中的式子，然后将m的值代入即可解答本题．
【详解】
原式=
=，
当m＝+1时，
原式＝
＝
＝1．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的除法法则以及分式的约分，是解题的关键．
16．（2021·广东天河·二模）已知直线与x轴的交点横坐标为m，求的值．
【答案】
【分析】
令解析式中的，求出x的值，则m的值确定，再化简原式，最后代入m的值，结论可求．
【详解】
解：令，则．
解得：．
与x轴的交点横坐标为m，
．
原式

．
把代入得：
原式．
【点睛】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点,因式分解,分式的化简求值,熟练求函数与坐标轴的交点,合理进行因式分解,分式的化简是解题的关键．
热点3：二次根式的估算
一练基础
1．（2021·重庆八中二模）30的算术平方根介于（ ）
A．6与7之间 B．5与6之间 C．4与5之间 D．3与4之间
【答案】B
【分析】
首先得出，进而得出36的算术平方根的取值范围．
【详解】
解：∵，
∴，
∴30的算术平方根介于5与6之间．
故选：B．
【点睛】
此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．
2．（2021·四川绵阳·中考真题）下列数中，在与之间的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
根据，，，，，即可得出结果．
【详解】
，，
，
又，，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，立方根，解决本题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
3．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）请写出一个比小的正整数______．
【答案】1或2．
【分析】
先估算出在哪两个整数之间，即可得出结果．
【详解】
解：∵
∴，
∴比小的正整数有1，2，
故答案为：1或2．
【点睛】
题目主要考查的是无理数的估算，解答本题的关键是熟练运用用“夹逼法”估算无理数大小范围．
4．（2021·江苏·扬州中学教育集团树人学校三模）下列无理数中与3最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
用逼近法估算无理数大小即可解答问题．
【详解】
解：，
又，
通过比较，可得与3最接近的是，
故选：C．
【点睛】
本题考查了估算无理数大小，解题的关键是掌握用有理数逼近无理数．
5．（2021·山东淄博·中考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据无理数的估算可直接进行求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】
本题主要考查无理数的估算及一元一次不等式的性质，熟练掌握无理数的估算及一元一次不等式的性质是解题的关键．
二练巩固
6．（2021·重庆·字水中学一模）估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间．
【答案】A
【分析】
先化简，然后再估算无理数的范围即可．
【详解】
解：原式

，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
7．（2021·江苏徐州·二模）已知a＝﹣2，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．1＜a＜2 B．2＜a＜3 C．3＜a＜4 D．4＜a＜＜5
【答案】B
【分析】
先估算出的范围，即可求得答案．
【详解】
∵，
∴，
∴在2和3之间，即2＜a＜3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解题关键．
8．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校一模）的整数部分是______．
【答案】
【分析】
根据题意可得与84.1临近的平方数为81和100，进而可得在81和100的算术平方根之间，即可得出的整数部分．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴的整数部分是9．
故答案为：9．
【点睛】
此题考查了算术平方根的应用，解题的关键是要注意跟临近数进行比较，从而得到答案．
9．（2021·广东·中考真题）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】A
【分析】
首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】
∵，
∴，
∴的整数部分，
∴小数部分，
∴．
故选：．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．
10．（2021·广西百色·中考真题）实数的整数部分是______．
【答案】10
【分析】
根据，即可得出的整数部分．
【详解】
解：，
即，
∴的整数部分为10，
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查无理数的估算，解题的关键是确定无理数位于哪两个整数之间．
11．（2021·江苏·扬州市梅岭中学二模）若，其中a、b为两个连续的整数，则ab的值为____
【答案】30
【分析】
估算的大小，根据a、b为两个连续的整数即可求得a、b的值，代入代数式求解即可．
【详解】
，
，
即，
a、b为两个连续的整数，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了估算无理数大小，求得的值是解题的关键．
三练拔高
12．（2021·河南洛阳·二模）写一个介于与之间的无理数是______．
【答案】、或 （答案不唯一）．
【分析】
按要求找到到之间的无理数，≈2.4须使被开方数大于2小于5.76即可求解．
【详解】
解：设此无理数为x，
∵此无理数在到≈2.4之间，
∴x，
∴符合条件的无理数可以为：、（答案不唯一）．
故答案为：、 （答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分．本题属开放性题目，答案不唯一．
13．（2021·河北邢台·二模）如图．在边长为2的正六边形，是的中点，设，则表示实数 的点落在数轴上标有四段中的（ ）

A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】A
【分析】
延长，过点作交延长线于点，根据六边形是正六边形，边长为2，是的中点，可得，，，则，可求得，，，根据勾股定理可得，再根据，，，可得出，据此判断实数的点落在数轴上的范围即可．
【详解】
解：如图示，延长，过点作交延长线于点，

∵六边形是正六边形，边长为2，是的中点，
∴，，，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴在中，，
∵，，，
并且，
∴
∴实数的点落在数轴上标有四段中的段①，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正六边形的性质，勾股定理的应用，三角函数的应用，估计无理数的大小，正确求出是解题的关键．
14．（2013·浙江杭州·二模）无理数在两个相邻的整数之间的是 ( )
A．5和6 B．4和5 C．3和4 D．2和3
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意分析可知，本题中主要考查37与相邻数字的知识，由题知，49=7>37>36=6，所以3>2+3+37>2+9>2，故该无理数在2和3之间，所以选D
考点：无理数大小的比较
点评：本题属于对无理数和整数的基本大小以及变换的基本知识的考查
15．（2021·江西九江·二模）公元3世纪，我过古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则____________．
【答案】4.125
【分析】
先把化为，再根据近似公式得出，然后进行计算即可得出答案．
【详解】
解：根据题意得：化为，
由近似公式得到
故答案为：．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，熟练掌握近似公式是解题的关键．
16．（2022·河南·九年级专题练习）的整数部分为，小数部分为，则______．
【答案】
【分析】
先确定，由此得到，求得，，再代入计算即可.
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分为13，
小数部分为，
∴，，


.
故答案为：.
【点睛】
此题考查实数的大小比较，已知字母的值求代数式的值，实数的混合运算，确定是解此题的关键.