1.4 代数式与整式-中考数学一轮复习 知识点+练习

这是一份1.4 代数式与整式-中考数学一轮复习 知识点+练习，文件包含14代数式与整式-解析版docx、14代数式与整式-原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。
第一章 数与式
1.4代数式与整式
一、课标解读
1.代数式
（1）借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义.
（2）能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示.
（3）会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行运算.
2.整式
（1）了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学计数法表示数.
（2）理解整式的概念，掌握合并同类型和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）.
（3）能推导乘法公式： ,,了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算.
（4）能利用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）.
二、知识点回顾
知识点1.列代数式及求值
1.代数式：代数式是用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式.
2.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果.
知识点2.整式的相关概念
1.单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个字母也是单项式).单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.单项式中的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
2.多项式：几个单项式的和叫做多项式.多项式中的每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项.一个多项式中,次数最高项的次数叫做这个多项式的次数.
3.整式：单项式与多项式统称为整式.
4.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.
知识点3.整式的运算
整式的加减
合并同类项
(1)字母和字母的指数不变；
(2)系数相加减作为新的系数．
添(去)括号
添(去)括号：括号前面是“＋”号，添(去)括号都不改变符号；括号前面是“－”号，添(去)括号都要改变符号．
幂的运算
同底数幂的乘法
am·an＝am+n．
注意：a≠0，b≠0，且m，n都为整数．
幂的乘方
(am)n＝amn．
积的乘方
(ab)n＝a n b n.
同底数幂的除法
am÷an＝am-n．
整式的乘法
单项式与单项式相乘
把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
单项式与多项式相乘
用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc．
多项式与多项式相乘
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝ma十mb+na十nb．
整式的除法
单项式除以单项式
把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
知识点4.乘法公式推导及几何背景
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
①公式推导：
(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2；
②几何背景如下：

(2)完全平方公式：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2
①公式推导：
和的完全平方公式：
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋2ab＋b2；
差的完全平方公式：
(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－2ab＋b2；
②几何背景如下：

知识点5.因式分解
定义
把一个多项式化成几个整式的相乘的形式，就是因式分解．
方法
提公因式法
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
公式法
a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
a2±2ab＋b2＝(a±b)2．
步骤
(1)若有公因式，应先提公因式；
(2)看是否可用公式法；
(3)检查各因式能否继续分解.
三、热点训练
热点1：列代数式及其求值
一练基础
1．（2020·安徽安庆·模拟预测）某企业今年月份产值为万元，月份比月份减少了，月份比月份增加了，则月份的产值为（ ）
A．万元 B．万元
C．万元 D．万元
2．（2021·重庆市育才中学三模）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中实心圆点的个数为（　　）

A．19 B．20 C．22 D．23
3．（2021·重庆市江津中学校九年级期中）当代数式x2+3x+5的值为7时，代数式3x2+9x﹣2的值是 ___．
4．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是______________；
5．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x2﹣2x，请按照下列要求分别求值：
（1）当x＝1时，代数式的值．
（2）当5x2﹣2x＝0时，求x的值．
二练巩固
6．（2021·四川内江·中考真题）若实数满足，则__．
7．（2021·广东·佛山市华英学校一模）当x＝3时，px3+qx+1＝2020，则当x＝﹣3时，px3+qx+1的值为_____．
8．（2021·西藏·中考真题）按一定规律排列的一列数依次为，，，，，…，按此规律排列下去，这列数中的第n个数是___________________．
9．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，四边形与均为矩形，点分别在线段上．若，矩形的周长为，则图中阴影部分的面积为___________．

10．（2021·安徽·二模）如图，是一组完全相同的黑白小球组成的图形

观察上面各图及对应的关系式，根据发现的规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：______；
（2）写出你猜想的第个等式：______（用含的等式表示，并证明其正确性）
三练拔高
11．（2021·湖北汉川·二模）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．则第10个图形中右下方的“三角形数”中的所有点数是_____．

12．（2021·甘肃庆阳·二模）有一个数值转换器的原理如图所示，若开始输入x的值是，可发现第1次输出的结果是，第2次输出的结果是1，第3次输出的结果是，依次继续下去…，第2021次输出的结果是________．

13．（2021·山东安丘·二模）如果记y＝＝f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值．即f（1）＝＝；f（）表示当x＝时y的值，f（）＝＝…，那么f（－1）+f（－2）+f（－）+f（－3）+f（－）+…+f（－2021）+f（－）＝_________．
14．（2021·安徽·安庆市第四中学二模）某市2020年的扶贫资金为a万元，比2019年增长了x%，计划2021年的增幅调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（ ）
A．a(3+3x%)万元 B．a(+2+2x%)万元
C．a(3+x%)万元 D．a()万元
15．（2021·浙江浙江·九年级期末）按图示的方法，搭1个正方形需要4根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒，搭6个正方形需要18根火柴棒，则下列选项中，可以搭成符合规律图形的火柴棒的数目是（ ）

A．52根 B．66根 C．70根 D．72根
16．（2021·江苏苏州·中考真题）若，则的值为______．
17．（2020·河北衡水·模拟预测）请阅读以下步骤，完成问题：
①任意写一个三位数，百位数字比个位数字大2；
②交换百位数字与个位数字，得到一个三位数；
③用上述的较大的三位数减去较小的三位数，所得的差为三位数；
④交换这个差的百位数字与个位数字又得到一个三位数；
⑤把③④中的两个三位数相加，得到最后结果．
问题：
（1）③中的三位数是　　； ④中的三位数是　　；⑤中的结果是　　；
（2）换一个数试试看，所得结果是否一样？如果一样，设这个三位数的百位数字为、十位数字为，用代数式表示这个三位数，并结合你所学的知识解释其中的原因．
热点2：整式的运算
一练基础
1．（2021·云南·昆明市第三中学模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A．m2m3＝m6 B．3m＋2n＝5mn C．＝4 D．2﹣2＝
2．（2021·四川内江·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019·云南江川·中考模拟）若单项式与是同类项，则的值是______．
5．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）已知，，则______．
6．（2021·青海西宁·中考真题）计算_______．
二练巩固
7．（2021·广东·珠海市紫荆中学桃园校区一模）下列运算结果正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．﹣3a2b﹣2a2b＝﹣a2b D．a2b÷a2＝b
8．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）下列计算：①，②，③，④，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2021·山东日照·中考真题）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．3
10．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）化简或计算：
（1）； （2）．
11．（2021·浙江省杭州市上泗中学二模）已知多项式．
（1）化简；
（2）当，，求的值；
12．（2021·河北·九年级专题练习）老师设计了一个数学实验，给甲、乙、丙三名同学各一张写有已化为最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则实验成功．甲、乙、丙的卡片如下，丙的卡片有一部分被遮挡了．

（1）计算出甲减乙的结果，并判断甲减乙能否使实验成功；
（2）小亮发现丙减甲可以使实验成功，请求出丙的代数式．
三练拔高
13．（2017·天津·中考模拟）6张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b满足（ ）

A．a＝b B．a＝2b C．a＝3b D．a＝4b
14．（2021·河北桥东·二模）若（，，都为正整数），则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
15．（2021·湖南常德·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为____________．(用含n的代数式表示)

16．（2021·重庆市育才中学三模）材料一：如果一个自然数右边的数字总比左边的数字小，我们称它为“下滑数”．如果一位三位“下滑数”满足个位数字与十位数字之和等于百位数字，那么称这个数为“下滑和平数”．
例如：A＝321，满足1＜2＜3，且1+2＝3，所以321是“下滑和平数”；
B＝643，满足3＜4＜6，但3+4≠6，所以643不是“下滑和平数”．
材料二：对于一个“下滑和平数”m＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9且a，b，c为整数）交换其百位和个位数字得到新数m'＝100c+10b+a，规定：F（m）＝m﹣m'．
例如：m＝321为“下滑和平数”，m'＝123，F（m）＝321﹣123＝198．
（1）请任意写出两个三位“下滑数”，并判断你所写的两个三位“下滑数”是不是“下滑和平数”？并说明理由．
（2）若m与m'的和能被7整除，求F（m）的最小值．
17．（2021·河南·二模）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．

（1）求整式．
（2）先求整式，再自选一个喜欢的值代入求出值．
热点3：乘法公式及应用
一练基础
1．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（ ）

A．12 B．13 C．24 D．25
2．（2019·山东滨州·中考模拟）若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）若，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）设，，．若，，则______．
5．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）先化简，再求值：，其中，．
二练巩固
6．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2021·安徽·安庆市第四中学二模）实数a，b满足a2+b2﹣2a＝0，则4a+b2的最大值________．
8．（2021·四川绵阳·中考真题）若，，则_____．
9．（2021·吉林·长春市解放大路学校模拟预测）先化简，再求值：，其中．
10．（2021·河北·石家庄市第四十中学二模）如图，甲、乙都是长方形，边长的数据如图所示（其中m为正整数）．

（1）图中的甲长方形的面积，乙长方形的面积，试比较、的大小，并说明理由；
（2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积的差（即）是一个常数，求出这个常数．
三练拔高
11．（2021·台湾·模拟预测）利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·福建湖里·二模）如图是一个长为，宽为的矩形，用剪刀沿矩形的两条对称轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图6拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
13．（2021·安徽·合肥市五十中学东校三模）观察下列等式：
第1个等式：22－2×1＝12＋1；
第2个等式：32－2×2＝22＋1；
第3个等式：42－2×3＝32＋1；…；
（1）请直接写出第4个等式：
（2）根据上述等式的排列规律，猜想第n（n是正整数）个等式，并运用所学知识说明猜想的正确性．
14．（2021·河北海港·一模）定义新运算：对于任意，，都有，等式右边是通常的加法、减法、乘法及乘方运算，比如：



（1）求的值．
（2）化简．
15．（2021·河北·石家庄市第二十八中学三模）如图1所示的是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形．然后用四块小长方形拼成如图2所示的正方形．
（1）图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为______．
①；②；③．

（2）由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是______．
（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：
①，，求的值；
②将一根铁丝剪成两段，用这两段铁丝围成两个正方形，拼成如图3所示的形状（在同一水平线上，两正方形无重叠，铁丝的厚度忽略不计），若铁丝总长为．两个正方形的面积之差为，则阴影部分的面积为____．
热点4：因式分解
一练基础
1．（2021·甘肃兰州·中考真题）因式分解：（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019·广东·汕头市潮南区阳光实验学校二模）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·四川内江·中考真题）分解因式：__．
4．（2021·湖南·台州市书生中学一模）把多项式分解因式的结果是__．
5．（2021·宁夏·银川市第三中学一模）已知，，则代数式______．
二练巩固
6．（2021·江苏玄武·二模）分解因式的结果是______．
7．（2021·内蒙古·中考真题）因式分解：_______．
8．（2021·湖北十堰·中考真题）已知，则_________．
9．（2021·河北邢台·二模）发现：把一个两位数的十位上数字与个数上的数字交换得到一个新的两位数，新的两位数与原两位数的差是9的倍数；
验证：①______．
②设这个两位数十位上数字为，个位上数字为，说明新的两位数与原两位数的差是9的倍数：
延伸：判断新的两位数与原两位数的和是否是9的倍数，并说明理由．
10．（2021·江苏镇江·一模）阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
例如：已知，求的值．
解：原式．
问题解决：
（1）已知．
①代数式的值为_______；
②求证：．
（2）若x满足，求的值．
三练拔高
11．（2021·福建海沧·一模）若x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），则多项式2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy的值可能为（ ）
A．﹣1 B．0 C． D．
12．（2021·河北顺平·二模）如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以．根据以上定义，回答下列问题：
（1）计算：____________．
（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k+1)，且，则“跟斗数”b=____________．
（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n=100，则____________．
13．（2018·安徽·中考模拟）两位数相乘：19×11=209，18×12=216，25×25=625，34×36=1224，47×43=2021，…
（1）认真观察，分析上述各式中两因数的个位数、十位数分别有什么联系，找出因数与积之间的规律，并用字母表示出来．
（2）验证你得到的规律．
14．（2021·河北石家庄·模拟预测）下面是某同学对多项式因式分解的过程．
解：设，
则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
解答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
15．（2019·重庆市育才中学三模）阅读理解：
添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：
例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)
……
＝364−12
例2：因式分解：x4+x2+1
解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2
＝(x2+1)2﹣x2
＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)
根据材料解决下列问题：
(1)计算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1+12512)；
(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4)，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：
①分解因式：x4+4；
②计算：(14+4)(54+4)(94+4)……(494+4)(34+4)(74+4)(114+4)……(514+4).