2.1 一次方程（组）及其应用-中考数学一轮复习 知识点+练习

这是一份2.1 一次方程（组）及其应用-中考数学一轮复习 知识点+练习，文件包含21一次方程组及其应用-解析版docx、21一次方程组及其应用-原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
第二章 方程（组）与不等式（组）
2.1一次方程（组）及其应用
一、课标解读
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
2.掌握等式的基本性质。
3.能解一元一次方程。掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。
4.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
二、知识点回顾
知识点1. 等式的性质
性质1
等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．如果a＝b，那么a±c=b±c.
性质2
等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果a＝b，那么ac=bc；如果a＝b(c≠0)，那么=.
知识点2.一元一次方程及其解法
1.一元一次方程:只含有一个未知数(元)，且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程.
2.方程的解:使方程等号左右两边⑧相等的未知数的值叫做方程的解.
3.一元一次方程的解题过程及注意事项
(1)去分母：不能漏乘不含分母的项；分子是一个式子时，去分母后加括号
(2)去括号：括号前的数要乘括号内的每一项；)括号前是负号时，去括号后原括号的每一项都要变号
(3)移项：移项要变符号
(4)合并同类项：系数相加时，不能漏掉符号
(5)系数化为1 分子：分母不能颠倒
知识点3.二元一次方程的概念及解法
1.含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.
2.有两个未知数，含有每个末知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
3.二元一次方程组的解
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
4.二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的方法步骤：
二元一次方程组一元一次方程．消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有代人消元法和加减消元法两种.
知识点3.一次方程（组）的实际应用
1.列一次方程(组)解应用题的一 般步骤:
(1)审:审清题意和数量关系，弄清已知量和未知量，明确各数量之间的关系;
(2)设:设关键未知数(可设直接或间接未知数);
(3)列:根据题意寻找⑨等量关系列方程(组);
(4)解:解方程(组);
(5)验:检验所解答案是否正确，是否符合题意和实际情况;
(6)答:规范作答，注意单位名称.
2.常见的应用题类型及基本数量关系
(1)行程问题(匀速运动)
①相遇问题(同时出发)：
s甲＋s乙＝sAB，t甲＝t乙；

②追及问题：
同时不同地：s甲＝s乙＋sAC，t甲＝t乙；

甲出发t小时后乙出发，在B处乙追上甲，s甲＝s乙，t甲＝t乙；

③航行问题:
顺水速度=静水速度+水流速度;
逆水速度=静水速度-水流速度;
(2)工程问题：工作量未定时，可设工作量为单位1.
①总工作量＝工作效率×工作时间；
②总工作量＝各单位工作量之和；
③工作效率＝；
(3)打折销售问题；
①利润＝售价－成本；
②售价＝原价(标价)×折扣，如打八折，折扣就是80%；
③利润率＝×100%；
三、热点训练
热点1：等式的性质
一练基础
1．（2021·河北·石家庄市长安区启明星教育培训学校九年级期末）下列等式变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】
根据等式的基本性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2：等式的两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为零），所得的结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可．
【详解】
解：A、若，则x＝，故该选项错误；
B、若3(x+1)-2x＝1，则3x+3-2x＝1，故该选项正确；
C、若，则，故该选项错误；
D、若，则，故该选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查了等式的基本性质．解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．
2．（2021·河北路北·三模）已知，则表示数（ ）
A． B． C．2 D．－2
【答案】A
【分析】
根据等式性质2求解即可．
【详解】
由等式性质2可得：，
故选：A．
【点睛】
本题考查等式的基本性质，熟记基本性质是解题关键．
3．（2021·浙江萧山·一模）已知2a＝3b，则（　　）
A．2a+2＝3b+3 B．a＝b C． D．2a2＝3b2
【答案】C
【分析】
根据两内项之积等于两外项之积及等式的性质对每个选项进行判断即可得解．
【详解】
解：A、由2a＝3b，则2a+2＝3b+2，故本选项错误；
B、由2a＝3b，则，故本选项错误；
C、由2a＝3b，则，故C正确；
D、违背了等式的基本性质．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质进行解题．
4．（2021·上海·模拟预测）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据等式的性质进行逐一判断即可．
【详解】
解：A．若，根据等式的性质，等式左右两边同时减去5，则3a-5=2b，故A选项成立，不符合题意；
B．若，根据等式的性质，等式左右两边同时加上1，则3a+1=2b+6，故B选项成立，不符合题意；
C．若，根据等式的性质，等式左右两边同时乘以c，则3ac=2bc+5c，故C选项不一定成立，符合题意；
D．若，根据等式的性质，等式左右两边同时除以3，则，故D选项成立，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等式的性质，解决本题的关键是掌握等式的性质．
5．（2021·上海·九年级专题练习）由，可得出与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由条件可得4﹣x＝y﹣3，再利用等式的性质两边同时加上x＋3可得出关系式．
【详解】
∵z＝4﹣x，z＝y﹣3，
∴4﹣x＝y﹣3，利用等式的性质两边同时加上x＋3，可得：4＋3＝x＋y，
∴x＋y＝7，
故选A．
【点睛】
本题主要考查等式的性质，解题的关键是由条件得出4﹣x＝y﹣3．
二练巩固
6．（2021·浙江·九年级专题练习）有下列等式：①由，得；②由，得；③由，得；④由，得；⑤由，得其中正确的是__________．（填序号）
【答案】①②④
【分析】
利用等式的性质逐项判断即可．
【详解】
解：①由a＝b，得5−2a＝5−2b，正确；
②由a＝b，得ac＝bc，正确；
③由a＝b（c≠0），得，不正确；
④由，得3a＝2b，正确；
⑤由，得a＝b或a＝−b，不正确，
∴其中正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】
此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解本题的关键．
7．（2021·安徽·中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D．
【详解】
解：A．当，，时，，故A错误；
B．当，，时，，故B错误；
C．整理可得，故C错误；
D．整理可得，故D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
8．下列关于、的等式，有一个是错误的，其它都是正确的，则错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
观察四个等式可发现都含有一个相同的等式b-3a=0，由此即可判断出错误的选项.
【详解】
由题意知，选项A可以化为b-3a=0；选项C可以化为（b-3a）(b+3a)=0，可以得到b-3a=0；选项D可以化为2b-6a=0，即b-3a=0，由此可以判断选项A、C、D都是正确的，选项B中的等式是错误的，
故选：B.
【点睛】
此题考查等式的性质，根据等式的性质正确化简是解题的关键.
9．有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案．
【详解】设的质量为x，的质量为y，的质量为：a，
假设A正确，则，x=1.5y，此时B，C，D选项中都是x=2y，
故A选项错误，符合题意，
故选A．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确得出物体之间的重量关系是解题关键．
10．（2021·安徽瑶海·二模）实数、、且，，，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据已知等式得到x=y，z=0，从而分别分析各选项．
【详解】
解：∵，
则，
同理：，
∴，
∴，
∴，
∴，成立，
∵，
∴且，
∴，，，
故B、C、D错误，
故选A．
【点睛】
本题考查了等式的性质，有理数的混合运算，解题的关键是得到x=y，z=0．
三练拔高
11．（2019·青海·西宁市湟中区第一中学一模）设A,B,C表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如上图所示，那么A,B,C这三种物体按质量从大到小的顺序排应为( )

A．A,B,C B．C,B,A C．B,A,C D．B,C,A
【答案】A
【分析】
根据图形，可得3C=B+C，A>B，由此可将质量从大到小排列．
【详解】
由题意可得
3C=B+C，A>B，
∴A>B>C.
故选A.
【点睛】
本题考查了不等式的性质及等式的性质，解答本题关键是根据图形列出不等式和等式，难度一般．
12．（2021·安徽·九年级专题练习）下列由等式的性质进行的变形，错误的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】D
【分析】
根据等式的性质，可得答案．
【详解】
A．如果a=3，那么，正确，故A不符合题意；
B．如果a=3，那么a2=9，正确，故B不符合题意；
C．如果a=3，那么a2=3a，正确，故C不符合题意；
D．如果a=0时，两边都除以a，无意义，故D符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查了等式的性质，熟记等式的性质是解题的关键．
13．已知实数a，b，c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：
①若c≠0，则＝1；
②若a＝3，则b＋c＝9；
③若a＝b＝c，则abc＝0；
④若a，b，c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8.
其中正确的是____．(把所有正确结论的序号都选上)
【答案】①③④
【详解】
试题分析：在a+b=ab的两边同时除以ab（ab=c≠0）即可得，所以①正确；把a=3代入得3+b=3b=c，可得b=，c=，所以b+c=6，故②错误；把 a=b=c代入得，所以可得c=0，故③正确；当a=b时，由a+b=ab可得a=b=2，再代入可得c=4，所以a+b+c=8；当a=c时，由c=a+b可得b=0，再代入可得a=b=c=0，这与a、b、c中只有两个数相等相矛盾，故a=c这种情况不存在；当b=c时，情况同a=c，故b=c这种情况也不存在，所以④正确．所以本题正确的是①③④．
考点：分式的基本性质；分类讨论．
14．（2019·浙江杭州·模拟预测）有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下:第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重.那么，两个轻球的编号是_________.
【答案】④⑤
【分析】
由①+②比③+④重可知③与④中至少有一个轻球，由⑤+⑥比⑦+⑧轻可知⑤与⑥至少有一个轻球，①+③+⑤和②+④+⑧一样重可知两个轻球的编号是④⑤．
【详解】
解：∵①+②比③+④重，
∴③与④中至少有一个轻球，
∵⑤+⑥比⑦+⑧轻，
∴⑤与⑥至少有一个轻球，
∵①+③+⑤和②+④+⑧一样重可知两个轻球的编号是④⑤．
故答案为④⑤．
【点睛】
本题考查的是推理与论证，灵活应用等式性质的性质是解题关键．
15．材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下：
解；设，则有：
，，，
将以上三个等式相加，得.
，，都为正数，
，即，.
.
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
（1）若正数，，满足，求的值；
（2）已知，，，互不相等，求证：.
【答案】（1）k=；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立．
【详解】
解：（1）∵正数x、y、z满足，
∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y），
∴x+y+z=3k（x+y+z），
∵x、y、z均为正数，
∴k=；
（2）证明：设=k，
则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a），
∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a），
∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0，
∴8a+9b+5c=0．
故答案为：（1）k=；（2）见解析．
【点睛】
本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．
热点2：一次方程（组）的解和解法
一练基础
1．（2021·广东·珠海市九洲中学三模）关于x的方程3x﹣a+5＝0的解是x＝4，则a的值（　　）
A．15 B．17 C．﹣5 D．0
【答案】B
【分析】
根据x=4是已知方程的解，将x=4代入方程即可求出a的值．
【详解】
关于x的方程3x﹣a+5＝0的解是x＝4，

解得．
故选B．
【点睛】
本题考查了方程的解的定义，理解方程的解是解题的关键．方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
2．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）若是关于的方程的解，则的值等于_______________________．
【答案】
【分析】
把代入方程，化简求值即可得到答案．
【详解】
解：把代入方程，
得，
解得，
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
3．（2021·浙江金华·中考真题）已知是方程的一个解，则m的值是____________．
【答案】2
【分析】
把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可．
【详解】
∵是方程的一个解，
∴6+2m=10，
解得m=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键．
4．（2015·河南·模拟预测）
【答案】
【分析】
根据一元一次方程的性质，首先去分母，再去括号，再移项并合并同类项，通过计算即可得到答案．
【详解】
解：∵
∴
∴
∴
∴，即．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．
5．（2021·福建省福州屏东中学二模）解二元一次方程组：
【答案】．
【分析】
由题意，得到，然后利用代入消元法解方程组，即可得到答案．
【详解】
解：
由①得， ③
把③代入②得

解得：；
把代入③得，；
∴原二元一次方程组的解为．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法解方程组．
6．（2021·河北·石家庄市第四十中学二模）定义运算“*”：对于任意有理数a和b，规定，如．
（1）求的值；
（2）若，求a的值．
【答案】（1）；（2）－4
【分析】
（1）根据新定义运算法则即可求出答案；
（2）根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】
解：（1）由题意可知：



；
（2），
，
，
，
．
【点睛】
本题考查新定义运算，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
二练巩固
7．（2021·北京顺义·一模）已知方程组的解为，写出一个满足条件的方程组________．
【答案】
【分析】
所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕，列一组算式，如2+1=3，2-1=1，然后用x，y代换，得等．
【详解】
解：先围绕列一组算式，
如2+1=3，2-1=1，然后用x、y代换，
得等，
答案不唯一，符合题意即可．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解的定义．此题属于开放题，要理解方程组的解的定义，围绕解列不同的算式即可列不同的方程组．
8．（2021·山东烟台·中考真题）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为____________．

【答案】2
【分析】
设处第一行第一列、第三列第三行、对角线上的未知量，用三数之和为15就可以求出a．
【详解】
解：如图，把部分未知的格子设上相应的量
第一行第一列：6+b+8=15，得到b=1
第三列第三行：8+3+f=15，得到f=4
∵f=4
∵对角线上6+c+f=15
∴6+4+c=15，得到c=5
∵c=5
另外一条对角线上8+c+a=15
∴8+5+a=15，得到a=2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查有理数的加法和一元一次方程的综合题，找出式子之间的关系是解题的关键．
9．（2021·湖北汉川·二模）已知，且，则k的值为_____．
【答案】
【分析】
利用整体思想，将两个方程相减，再整体代入解题即可．
【详解】

②-①可得
x-y=-2k+1
因为
所以-2k+1=0
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查二元一次方程组，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．（2021·内蒙古东河·二模）若满足方程组的x与y互为相反数，则m的值为（ ）
A．2 B． C．11 D．
【答案】B
【分析】
由x与y互为相反数，得到y=-x，代入方程组计算即可求出m的值．
【详解】
解：由题意得：y=-x，
代入方程组得：，
消去x得：，
解得：m=-2，
故选：B．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
11．（2021·四川遂宁·中考真题）已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____．
【答案】．
【分析】
根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出，再根据，即可求得的取值范围，本题得以解决．
【详解】
解：
①-②，得
∵
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的关键．
12．（2021·浙江衢江·一模）对于方程，某同学解法如下：
解：方程两边同乘6，得2x－3（x－1）＝1①
去括号，得2x－3x－3＝1②
合并同类项，得－x－3＝1③
移项，得－x＝4④
∴x＝－4⑤
（1）上述解答过程从第 步开始出现错误；
（2）请写出正确的解答过程．
【答案】（1）①；（2），过程见解析．
【分析】
（1）第①步在去分母的时候，两边同乘以6，但是方程右边没有乘，另外在去括号时没有注意到符号的变化，所以出现错误；
（2）注意改正错误，按以上步骤进行即可．
【详解】
解：（1）方程两边同乘6，得①
∴从第①步开始已经出现错误，
故答案是①；
（2）解：
方程两边同乘6，得
去括号，得，
合并同类项，得，
移项，合并计算得
解得．
【点睛】
本题考查的是解一元一次方程，注意去分母与去括号中常见错误，熟悉相关解法是解题的关键．
三练拔高
13．（2021·四川乐山·中考真题）已知，求、的值．
【答案】的值为4，的值为-2
【分析】
根据分式、整式加减运算，以及二元一次方程组的性质计算，即可得到答案．
【详解】
，
∴，
∴，
即．
∴，
解得：
∴的值为4，的值为．
【点睛】
本题考查了分式、整式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算、整式加减运算、二元一次方程组的性质，从而完成求解．
14．（2021·广东潮阳·一模）甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的一元二次方程两实数根为，，且满足，求实数m的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）将代入方程②求出b的值，将代入方程①求得a的值，即可得出答案，
（2）再将a，b的值代入中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m的值．
【详解】
解：（1）根据题意得解得
（2）当时，一元二次方程化为，
由根与系数关系得，
联成方程组得，解得

【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．
15．（2021·广东封开·一模）己知：和都是关于x、y的方程的解．
（1）求k、b的值；
（2）求直线与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）将两组值代入解方程组即可；
（2）求出直线与坐标轴的交点坐标，利用面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）由题意得：，
解得：；
（2）由（1）知：，
当x=0时，得y=-1；当y=0时，解得x=，
∴直线与坐标轴的交点坐标是，，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积是：．
【点睛】
此题考查解二元一次方程组，一次函数与坐标轴交点坐标，一次函数与图形面积，正确解方程组及求一次函数与坐标轴交点坐标是解题的关键．
16．（2020·河北石家庄·一模）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度．

（1）在图1的数轴上，__________个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的_______；
（2）求数轴上点B所对应的数b为_________________；
（3）在图1的数轴上，点Q是直线上一点，满足，求点Q所表示的数．
【答案】（1）9；0.6；（2）；（3）或1
【分析】
（1）根据两点间的距离解答即可；
（2）根据题意和对应关系可得方程求得数轴上点所对应的数；
（3）可设点所表示的数是，根据，分两种情况，当点在点之间时，得到关于的方程；当点在点的右边时，得到关于的方程；再解方程即可求解．
【详解】
解：（1）（个长度单位），
数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的．
故答案为：9；0.6．
（2）依题意有，
解得，
即数轴上点所对应的数为；
故答案为：．
（3）设点所表示的数是，依题意有
当点在点之间时，
，
解得．
当点在点的右边时，
，
，
解得：，
故点所表示的数是或1．
【点睛】
本题考查了一元一次方程和数轴、绝对值的运用，解答的关键是根据等量关系和线段的和差建立方程．
热点3：一次方程（组）的实际应用
一练基础
1．（2021·四川绵阳·中考真题）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（ ）
A．60件 B．66件 C．68件 D．72件
【答案】B
【分析】
设该分派站有x个快递员，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（10x＋6）中即可求出该分派站现有包裹数．
【详解】
解：设该分派站有x个快递员，
依题意得：10x＋6＝12x−6，
解得：x＝6，
∴10x＋6＝10×6＋6＝66，
即该分派站现有包裹66件．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？其意思为：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个．已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？若设买甜果个，买苦果个，则下列关于、的二元一次方程组中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设买甜果x个，买苦果y个，根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】
解：设买甜果个，买苦果个，由题意可得，
，
故选：．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
3．（2021·江苏·九年级专题练习）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中题目译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，还差45钱；每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？”设合伙人数为人，根据题意可列一元一次方程为_____．
【答案】
【分析】
根据题意列一元一次方程即可；
【详解】
解：根据题意列方程；
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．
4．（2021·河北路南·三模）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数．则

（1）的值为______；
（2）的值为______．
【答案】3 12
【分析】
（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上的数字互为相反数列式，即可求出x、y的值，
（2）把x，y的值代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“-3”与“2x−3”是相对面，“y”与“x”是相对面，
∵相对的面上的数字或代数式互为相反数，
∴2x−3＋（-3）＝0，x＋y＝0，
解得x＝3，y＝-3，
故答案是：3；
（2）当x＝3，y＝-3时，=，
故答案是：12．
【点睛】
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，二元一次方程组以及代数式求值，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
5．（2021·山东·青岛大学附属中学二模）某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元；
（2）如果某超市计划购进一批甲、乙两种玩具共20件，其中甲的数量不少于乙种数量的2倍，请问该超市如何采购，至少要投入多少元才能完成采购计划?
【答案】（1）甲30元/件，乙27元/件；（2）甲14件，乙6件，投入582元
【分析】
（1）设甲种玩具的进价x元/件，甲种玩具的进价y元/件，根据5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元列二元一次方程组．解方程组即可；
（2）设甲种玩具计划购进m件，乙种玩具购进（20-m）件，列一次函数n=540+3m，再根据甲的数量不少于乙种数量的2倍，列不等式，再根据函数性质即可求解．
【详解】
解：（1）设甲种玩具的进价x元/件，甲种玩具的进价y元/件，
根据题意得，
解得，
经检验符合题意，
答每件甲种、乙种玩具的进价分别是30元，27元；
（2）设甲种玩具计划购进m件，乙种玩具购进（20-m）件，
要投入的钱数n=30m+27(20-m)=540+3m，
根据题意，
解得，
∴m=14,15,16,17,18,19,
∵n=540+3m，k=3＞0，
∴n随m的增大而增大，
∴当m=14时，投入最小为n=540+3×14=582元．
【点睛】
本题考查列二元一次方程组解应用题，列一次函数，利用函数性质与一元一次不等式结合是解题关键．
二练巩固
6．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）大课间，12人跳绳队为尊重每个队员的意愿，准备把队员分成跳大绳组或跳小绳组，大绳组3人一组，小绳组2人一组，在全队同学能同时参加活动且符合小组规定人数的前提下，则不同的分组方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【分析】
根据全队12人同时参加活动且符合小组规定的人数，则大绳组有0组、两组或四组，故有三种分组方法．
【详解】
解：∵全队12人同时参加活动且符合小组规定的人数，且大绳组3人一组，小绳组2人一组，
∵12是偶数，2的倍数也是偶数，
又∵偶数＋偶数＝偶数，
∴大绳组人数必须为偶数，
即大绳组有0组、两组或四组三种分组情况，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查排列与组合和自然数奇偶性知识，根据偶数＋偶数＝偶数来确定大绳组的组数是解题的关键．
7．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）三模）某商品随季节变化降价出售，如果按标价降价10%，仍可盈利12元，如果降价后再九折出售，就要亏损24元，则这件商品的标价是________元．
【答案】400
【分析】
设标价是x元，把标价看成单位“1”，降价10%后的价格是（1－10%）x，它减去12元就是进价；降价后再九折的价格是90%×（1－20%）x，它加上24元就是进价；根据两次表示出的进价相等列出方程解答即可．
【详解】
解：设这件商品的标价为x元，
依题意得：（1﹣10%）x﹣12＝90%×（1﹣10%）x＋24，
解得：x＝400．
故答案为：400．
【点睛】
本题关键是找出单位“1”，把单位“1”的量设出来，然后把进价正确的表示出来，再由等量关系列出方程求解．
8．（2021·江苏·靖江市靖城中学一模）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数字是一个两位数；1h后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过1h，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个0的三位数．这3块里程碑上的数各是多少？
【答案】16，61，106．
【分析】
设小亮第一次看到的两位数，十位数为x，个位数为y，则1h后，看到里程碑上的两位数个位数为x，十位数为y，再过lh，看到里程碑上的数，百位数为x，十位数字为0，个位数为y，从而表示出这个三个里程碑上的数，再根据是匀速行驶，由每个小时的行程相等，列出方程，便可解答．
【详解】
解：设小亮第一次看到的两位数，十位数为x，个位数为y，
则1h后，看到里程碑上的两位数个位数为x，十位数为y，
再过lh，看到里程碑上的数，百位数为x，十位数字为0，个位数为y，
∴第一个里程碑上的数为（10x+y），
第二个里程碑上的数为（10y+x），
第三个里程碑上的数为（100x+y），
∵小亮是匀速行驶， ∴第1h行驶的路程=第2h行驶的路程，
∴（10y+x）-（10x+y）=（100x+y）-（10y+x），
化简得，y-x=11x-y， ∴y=6x，
∵x，y都为整数，且1≤x≤9，1≤y≤9，
∴x=1，y=6，
∴这3块里程碑上的数各是16，61，106．
答：这3块里程碑上的数各是16，61，106．
【点睛】
本题考查的是二元一次方程的应用，考查了求不定方程的解，考查了数学在生活中的运用，及二元一次方程的正整数解．正确理解题意并列出方程是解题的关键．
9．（2021·重庆巴南育才中学校三模）假设万象城地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早是6点开始经过________小时车库恰好停满．
【答案】
【分析】
设1个进口1小时开进辆车，1个出口1小时开出辆，根据题意列出方程组求得、，进一步代入求得答案即可．
【详解】
解：设1个进口1小时开进辆车，1个出口1小时开出辆，车位总数为，由题意得
解得：，
则小时
答：从早晨6点开始经过小时车库恰好停满．
故答案为：．
【点睛】
此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
10．（2021·吉林·长春市解放大路学校模拟预测）甲、乙两人共同制作一批手工艺品，甲先开始制作，两个小时以后乙也开始制作，乙每小时制作30个，一段时间后，甲、乙两人互相配合制作，这样每小时制作的数量是两人各自制作1小时数量和的1.6倍，b小时两人完成任务，设甲、乙两人制作手工艺品的数量和为y（件），甲制作的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．

（1）______；______；
（2）当时y与x之间的函数关系式；
（3）求甲、乙两人配合比a小时后仍各自加工完成这批手工艺品少用多少小时．
【答案】（1）5，6；（2）；（3）甲、乙两人配合少用0.6小时
【分析】
（1）利用工作总量=工作效率时间列方程运算即可；
（2）利用待定系数法列出方程组运算求解即可；
（3）利用函数关系式求出甲、乙两人配合时间，即可求解．
【详解】
（1）解：∵甲的速度个每小时
∴
解得：
甲乙合作的速度个每小时
∴
解得：
故答案为：5，6
（2）设与之间的函数关系式为．
将，代入，
得解得
∴当时，y与x之间的函数关系式为．
（3）当时，，解得．
∴．
答：甲、乙两人配合少用0.6小时．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的实际应用，认真审题从图象中获取相关信息列出方程是解题的关键．
三练拔高
11．（2021·重庆市第七中学校九年级阶段练习）每年3﹣6月都是草莓、樱桃、枇杷销售的旺季，水果批发商都会大量采购，为了获得最大利润，批发商需要统计数据，更好地囤货．4月份某水果批发商统计前半个月销量后发现，草莓、樱桃销量相同，枇杷销量比草莓多，随着气温升高，后半个月水果总销量将在前半个月基础上有所增加，后半个月樱桃与枇杷的销量之比为3：2，4月份樱桃总销量与4月份枇杷总销量之比为51：44，但草莓由于已过销售旺季，后半个月与前半个月相比，销量有所减少，后半个月草莓减少的量与后半个月三种水果的总销量之比为1：14，则樱桃后半个月新增的销量与后半个月三种水果的总销量之比为_________．
【答案】
【分析】
设前半个月草莓、樱桃销量为x，则枇杷销量为，设后半个月樱桃销量为3y，则后半个月枇杷的销量2y，设后半个月草莓销量为z，根据4月份樱桃总销量与4月份枇杷总销量之比为51：44和后半个月草莓减少的量与后半个月三种水果的总销量之比为1：14，列方程，用含x的代数式表示y和z，再用代数式表示樱桃后半个月新增的销量与后半个月三种水果的总销量之比，即可得到答案．
【详解】
解：∵前半个月草莓、樱桃销量相同，枇杷销量比草莓多，
∴设前半个月草莓、樱桃销量为x，则枇杷销量为（1＋）x＝，
∵后半个月樱桃与枇杷的销量之比为3：2，
∴设后半个月樱桃销量为3y，则后半个月枇杷的销量2y，
设后半个月草莓销量为z，
∵4月份樱桃总销量与4月份枇杷总销量之比为51：44，
∴，变形化简得y＝，
∵后半个月草莓减少的量与后半个月三种水果的总销量之比为1：14，
∴，变形化简得z＝﹣y，
∴z＝x﹣×＝，
∴樱桃后半个月新增的销量与后半个月三种水果的总销量之比为＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查一次方程组的应用，解题的关键是根据已知找等量列方程，再变形，用含x的代数式表示y、z．
12．（2021·湖北·黄石八中模拟预测）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子重量忽略不计）．
问：（1）黄金、白银每枚各重多少两？
（2）现有一袋黄金和白银共重759两，总数不超过25枚．请你算算黄金、白银各有多少枚？
【答案】（1）每枚黄金重33两，每枚白银重27两；（2）黄金有14枚，白银有11枚
【分析】
（1）设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意，找到等量关系列方程、解方程即可．
（2）设黄金有m枚，白银有n枚，然后根据题意列出方程和不等式求解即可.
【详解】
解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得：，
解得．
答：每枚黄金重33两，每枚白银重27两；
（2）设黄金有m枚，白银有n枚，
由题意得：
整理得，
∵m、n都是整数，
∴必须为整数，
∴n=11或n=22，
当n=22时，m=5不合题意，
∴当n=11时，m=14，
∴黄金有14枚，白银有11枚，
答：黄金有14枚，白银有11枚.
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，一元一次方程和一元一次不等式的结合应用，掌握相关知识是解题关键．
13．（2021·福建·模拟预测）第四届数字中国建设峰会于2021年4月25-26日在福州举行，“福建特产”助力福州打动中国，某特产公司为峰会设计手工礼品，投入元．若以2包茉莉花茶和1件脱胎漆器作为一份礼品，则刚好可制作600份礼品；若以1包茉莉花茶和3件脱胎漆器作为一份礼品，则刚好可制作400份礼品．
（1）若，求1包茉莉花茶与1件脱胎漆器的制作成本各是多少？
（2）若把元钱全部用于制作茉莉花茶，总共可以制作多少包茉莉花茶？
【答案】（1）1包茉莉花茶的制作成本为120元，1件脱胎漆器的制作成本为160元；（2）2000包
【分析】
（1）设1包茉莉花茶的制作成本为元，1件脱胎漆器的制作成本为元，根据题意列二元一次方程组，即可求解；
（2）设1包茉莉花茶的制作成本为元，1件脱胎漆器的制作成本为元，根据题意列二元一次方程组，求得与的关系，求解即可．
【详解】
解：设1包茉莉花茶的制作成本为元，1件脱胎漆器的制作成本为元，
（1）根据题意，得，解得．
答：1包茉莉花茶的制作成本为120元，1件脱胎漆器的制作成本为160元；
（2）依题意得，且，
即，整理得，代入得，，
∴，
答：总共可以制作2000包茉莉花茶．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组求解是解题的关键．
14．（2021·广西贺州·中考真题）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为，缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费，二级大费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
【答案】（1）一级水费的单价为3.2元/，二级水费的单价为6.5元/；（2）
【分析】
（1）设该市一级水费的单价为元/，二级水费的单价为元/，根据题意，列出二元一次方程组，即可求解；
（2）先判断水量超过，设用水量为，列出方程，即可求解.
【详解】
（1）设该市一级水费的单价为元/，二级水费的单价为元/，
依题意得，解得，
答：该市一级水费的单价为3.2元/，二级水费的单价为6.5元/．
（2）当水费为64.4元，则用水量超过，
设用水量为，得，，
解得：．
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，找准等量关系，列出方程（组），是解题的关键.
15．（2021·重庆·一模）阅读理解：对于任意一个四位数，若千位数字与十位数字均为奇数，百位数字与个位数字均为偶数，则称这个四位数为“均衡数”．将一个“均衡数”的千位数字与十位数字组成一个新的两位数m，原来千位数字作为m的十位数字；将一个“均衡数”的百位数字与个位数字组成另一个新的两位数n，原来百位数字作为n的十位数字．例如：“均衡数”3812，则．若各个数位上的数字都不为零且十位数字大于个位数字，则将m中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，n中的任意一个数字作为这个新的两位数的个位数字，按这个方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：时，．
（1）3456_______（填“是”或“不是”）“均衡数”，最小的“均衡数”为_______；
（2）若是一个完全平方数，请求出所有满足条件的“均衡数”．
【答案】（1）是，1212；（2）1616，3812，5814，7622，7652
【分析】
（1）根据“均衡数”的定义可得3456是“均衡数”，进一步求得最小的“均衡数”；
（2）设m=ab，n=xy（a＞b，x＞y），可得F（m，n）=2（10a+10b+x+y），由于0＜2（10a+10b+x+y）＜396，2（10a+10b+x+y）是偶数，又是一个完全平方数，可得满足条件的完全平方数有64，100，144，196，256，324，依此进行分析即可求解．
【详解】
解：（1）由“均衡数”的定义可得3456是“均衡数”，最小的“均衡数”为1212．
故答案为：是，1212；
（2）设m=ab，n=xy（a＞b，x＞y），
F（m，n）
=F（ab，xy）
=10a+x+10a+y+10b+x+10b+y
=2（10a+10b+x+y），
∵0＜a，b，x，y＜9，
∴0＜2（10a+10b+x+y）＜396，
∵2（10a+10b+x+y）是偶数，又是一个完全平方数，
∴满足条件的完全平方数有64，100，144，196，256，324，
当2（10a+10b+x+y）=64时，a=1，b=1，x=6，y=6满足题意，
当2（10a+10b+x+y）=100时，a=3，b=1，x=8，y=2满足题意，
当2（10a+10b+x+y）=144时，a=5，b=1，x=8，y=4满足题意，
当2（10a+10b+x+y）=196时，a=7，b=1，x=9，y=9不满足题意，
当2（10a+10b+x+y）=256时，a=7，b=5，x=6，y=2满足题意，
当2（10a+10b+x+y）=324时，没有解．
故所有满足条件的“均衡数”为1616，3812，5814，7622，7652．
【点睛】
此题考查了完全平方数的应用问题．注意掌握数的整除问题，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
16．（2021·福建省福州屏东中学二模）某工厂购进一条生产线．已知该生产线的三个操作平台分别排列在同一直线上，顺次是甲、乙、丙，其中甲乙平台之间的距离为40米，乙丙平台之间的距离为60米，操作甲、乙、丙平台分别需要20人70人、60人．由于时间仓促无法做到完全自动化，需要在三个平台之间建立一个原材料供给站让工人自取，有如下两个方案：
方案一：让甲、丙平台所有工人到供给站的距离之和等于乙平台所有工人到供给站的距离之和；
方案二：让所有工人到供给站的距离总和最小．
（1）若供给站建在乙、丙之间，按照方案一建站，供给站距离甲平台多少米？
（2）若按照方案二建站，供给站距离甲平台多少米？
（3）若按照方案一建站，甲平台的工人数增加人（），那么随着的增大，供给站将距离甲平台将越来越远，还是越来越近？请说明理由．
【答案】（1）供给站距离甲平台80米；（2）供给站距离甲平台40米；（3）越来越远，理由见解析
【分析】
（1）设供给站距离甲平台米，所有工人的距离之和为米，根据题意列出方程求解即可得到答案；
（2）分情况讨论，根据题意列出相应的方程求解后比较即可得到答案；
（3）根据题意列出相应的方程求解后，再判断x的值随a 的值的变化情况由此即可得到答案．
【详解】
解：（1）设供给站距离甲平台米，所有工人的距离之和为米
由题意可知：
解得
∴按方案一建站，供给站应建在距离甲平台80米处.
答：供给站应建在距离甲平台80米处；
（2）①当供给站建在甲乙平台之间即时

∴当时，取得最小值4400
②当供给站建在乙丙平台之间即时

∵随增大而增大，并且当时，
∴本阶段的值均大于4400.
∴按方案二建站，供给站应建在距离甲平台40米处，
答：供给站应建在距离甲平台40米处；
（3）供给站将离甲平台越来越远，理由如下：
由题意可知：
解得
∴随着的增大而增大
即随着的增大供给站将离甲平台越来越远.
答：随着 a 的增大，供给站将距离甲平台将越来越远.
【点睛】
本题考查了一次函数、一元一次方程的实际应用，读懂题目意思，设出相应的未知数，根据相应的等量关系列出函数关系式及方程是解决本题的关键．