4.2 三角形的基本性质-中考数学一轮复习 知识点+练习

这是一份4.2 三角形的基本性质-中考数学一轮复习 知识点+练习，文件包含42三角形的基本性质-解析版docx、42三角形的基本性质-原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
第四章 三角形
4.2三角形的基本性质
一、课标解读
1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。
2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。
3.了解三角形重心的概念
二、知识点回顾
知识点1.三角形的稳定性
三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.
知识点2. 三角形及三角形的分类
.三角形分类有两种方法：(1)按角分类；(2)按边分类．
三角形
知识点3. 三角形的重要线段
1.高
（1）定义：过三角形一个顶点作它对边所在直线的垂线段
（2）性质

AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°
（3）结论：锐角三角形的三条高相交于三角形的内部；直角三角形的三条高相交于直角的顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部．
2.中线
（1）定义：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段
（2）性质

BD＝DC＝BC
（3）结论：每一条中线都将三角形分成面积相等的两部分；三条中线的交点叫做重心．
3.角平分线
（1）定义：三角形一个内角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点连接的线段
（2）性质

∠1＝∠2＝∠BAC
（3）结论：三角形的三条角平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的内心，这个点到三角形三边的距离相等.
4.中位线
（1）定义：连接三角形两边中点的线段
（2）性质

DE∥BC且DE＝BC
（3）结论：S△ADE＝S△ABC
知识点4..三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边.
知识点5.三角形的内角和定理及其推论:
1.三角形三个内角的和等于180°;
2.直角三角形的两个锐角互余;
3.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，大于与它不相邻的任意一个内角.
三、热点训练
热点1：三角形的三边关系
一练基础
1．（2021·四川宜宾·中考真题）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解．
【详解】
根据三角形的三边关系得，即，则选项中4符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键．
2．（2021·福建省同安第一中学二模）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．4，4，8 D．8，8，8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
解：A、3+4＜8，不能构成三角形；
B、5+6=11，不能构成三角形；
C、4+4=8，不能构成三角形；
D、8+8＞8，能构成三角形．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
3．（2021·湖南师大附中高新实验中学二模）一个三角形的两边长分别是2与3，第三边的长不可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系可得不等式，计算后再进行判断即可．
【详解】
设第三边的长为，
由题意得：，
得，
第三边可以是2，3，4，不可能为5，
故选择：D．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
4．（2021·河北石家庄·一模）观察下列尺规作图的痕迹：

其中，能够说明的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中垂线、角平分线、画等长线段以及作角平分线等知识点解答即可．
【详解】
解：如图①为作BC的中垂线，即BD=DC, 由在△ABC中,AD+DC＞AC,即AD+DB＞AC，可判；
如图②为作∠ABC的角平分线，无法判定;
如图③为以AC为半径画弧交AB于D，即;
如图③为作∠ACB的平分线，无法判定;
综上，①③正确．
故选C．

【点睛】
本题考查了基本作图和三角形的三边关系，掌握基本作图方法是解答本题的关键．
5．（2021·广东花都·一模）已知1，，2分别是三角形的三边长，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：∵1，，2分别是三角形的三边长，
∴，
∴原式．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查三角形的三边关系，以及二次根式与绝对值的化简，掌握三角形的三边关系以及二次根式的性质是解题关键．
二练巩固
6．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，已知直线AB和AB上的一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：
第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；
第二步：分别以点D和点E为圆心，以为半径作弧，两弧交于点F；
第三步：作直线CF，直线CF即为所求．

下列关于的说法正确的是（ ）
A．≥ B．≤ C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，结合三角形三边关系判断即可．
【详解】
解：由作图可知，分别以点和点为圆心，以为半径作弧，两弧交于点，此时，
故选：．
【点睛】
本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．（2021·湖南娄底·中考真题）是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】
解：是三角形的三边，
，
解得：，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．
8．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）锐角△ABC中，∠B＝45°，BC＝，则AC的长可以是（　　）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作CD⊥AB于D，先利用等腰直角三角形的性质和三角函数求出BD=CD=1，然后利用勾股定理进行逐一判断四个选项是否满足题意即可.
【详解】
解：作CD⊥AB于D，如图所示：
∵∠B＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝，∠BCD＝45°，
当AC＝1时，点D与A重合，△ABC是直角三角形，选项A不符合题意；
当AC＝时，，则△ACD是等腰直角三角形，∠ACD＝45°，
∴∠ACB＝90°，△ABC是直角三角形，选项B不符合题意；
当AC＝时，AC＜CD，
∴∠ACD＞∠A，则△ABC是钝角三角形，选项C不符合题意；
当AC＝时，
∴∠ACD＜∠A，则△ABC是锐角三角形；选项D符合题意，
故选D．

【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形角与边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
9．（2021·湖南·长沙市长郡双语实验中学一模）若a，b，c是的三边的长，则化简________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断绝对值内的代数式的符号，再根据绝对值的性质进行化简即可．
【详解】
∵a，b，c是的三边，
∴，，，
∴，，，
∴

．
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查的是三角形的三边关系及去绝地值，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
10．（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为______
【答案】
【解析】
【分析】
根据三个数在数轴上的位置得到，再根据三角形的三边关系得到，求解不等式组即可．
【详解】
解：∵3，在数轴上从左到右依次排列，
∴，解得，
∵这三个数为边长能构成三角形，
∴，解得，
综上所述，的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键．
三练拔高
11．（2019·安徽·模拟预测）如图，等边的边，是上一点，，是边上一动点，将沿直线折叠，的对应点为，则的长度最小值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
作于，再由等边三角形性质，利用勾股定理计算出，再根据在中，，得到当点在上时，的值最小即可解答．
【详解】
解：作于，如图，

在等边的边，
∴BH=4，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
将沿直线折叠，的对应点为，，
，
∵在中，，即，
∴，即当点在上时，的值最小，值为2．
故选：．
【点睛】
本题考查了线段最小值的问题，涉及了等边三角形性质、勾股定理、折叠的性质．解决本题的关键是利用三角形两边之和大于第三边，从而确定在上时的长度最小．
12．（2019·湖南永州·中考模拟）等腰（非等边）三角形的边长都是方程的根，则此三角形的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用因式分解法求出方程的根，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理得出此三角形的三边长，然后利用勾股定理、等腰三角形的性质求出AD的长，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】


解得
由题意得：这个三角形的三边长分别为或
（1）当这个三角形的三边长分别为时

不满足三角形的三边关系定理，舍去
（2）当这个三角形的三边长分别为时

满足三角形的三边关系定理
如图，设这个三角形为等腰，其中
过点A作于点D
则（等腰三角形的三线合一）


即此三角形的面积为
故答案为：．

【点睛】
本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理、勾股定理等知识点，依据题意，正确求出等腰三角形的三边长是解题关键．
13．（2021·云南曲靖·九年级期末）一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________．
【答案】14
【解析】
【分析】
运用因式分解法解一元二次方程，求出两根，因为三角形是等腰三角形，分情况讨论：腰为2时和腰为6时，再利用三角形三边关系验证是否符合题意，即可求出周长；
【详解】
解：，
（x-2）（x-6）=0，
x1=2，x2=6，
当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去；
当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，
则周长为：6+6+2=14，
故答案为：14．
【点睛】
本题考查因式分解解一元二次方程和三角形的三边关系，求解后验三角形的三边关系是解题的关键．
14．（2021·四川达州·中考真题）化简求值：，其中与2，3构成三角形的三边，且为整数．
【答案】，-2
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据三角形三边关系确定a的取值范围，把不合题意的a的值舍去，最后代入求值即可求解．
【详解】
解：原式；
∵2，3，a为三角形的三边，
∴，
∴，
∵为整数，
∴，3或4，
由原分式得，，
∴且，
∴，
∴原式=．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是解题关键，在把a的值代入求值是要注意所求的a的值保证原分式有意义．
15．（2021·山东青岛·中考真题）问题提出：
最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）
问题探究：
为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．
表①
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
1
1

1
1个1

（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．
表②
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
2
1

1
2个1

2

1
（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：
表③
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
3
1

1
2个2

2
，
2
3

1
（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：
表④
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
4
1

1
3个2

2
，
2
3
，
2
4

1
（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：
表⑤
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
5
1

1
___
___
2
，
2
3
_______
_____
4
，
2
5

1
问题解决：
（1）最长边长为6的整数边三角形有___________个．
（2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数．
（3）最长边长为128的整数边三角形有__________个．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个．
【答案】问题探究：见解析；问题解决：（1）12；（2）当为奇数时，整数边三角形个数为；当为偶数时，整数边三角形个数为；（3）4160；拓展延伸：295
【解析】
【分析】
问题探究：
根据（1）（2）（3）（4）的具体推算，总结出相同的规律，按规律填好表格即可；
问题解决：
（1）由最长边长分别为1，2，3，4，5总结出能反应规律的算式，再根据规律直接写出最长边长为6时的三角形的个数；
（2）分两种情况讨论：当为奇数，当为偶数，再从具体到一般进行推导即可；
（3）当最长边长时，为偶数，再代入进行计算，即可得到答案；
拓展延伸：
分两种情况讨论：当9是底边的棱长时，由最长边长为9的三角形个数有：个，当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8，底边三角形共有：个，从而可得答案.
【详解】
解：问题探究：
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
5
3
，，
3
3个3

问题解决：
（1）最长边长为1的三角形有：个，
最长边长为2的三角形有：个，
最长边长为3的三角形有：个，
最长边长为4的三角形有：个，
最长边长为5的三角形有：个，
所以最长边长为6的三角形有：个，
故答案为：
（2）由（1）得：
最长边长为1的三角形有：个，
最长边长为3的三角形有：个，
最长边长为5的三角形有：个，

所以当为奇数时，整数边三角形个数为；
最长边长为2的三角形有：个，
最长边长为4的三角形有：个，
最长边长为6的三角形有：个，

所以当为偶数时，整数边三角形个数为.
（3）当最长边长时，为偶数，
可得此时的三角形个数为：
故答案为：
拓展延伸：
当9是底边的棱长时，
最长边长为9的三角形个数有：个，
而直三棱柱的高分别为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，
所以这样的直三棱柱共有：个，
当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8，
底边三角形共有：个，
所以这样的直三棱柱共有：个，
综上，满足条件的直三棱柱共有个.
故答案为：
【点睛】
本题考查的是学生的阅读理解能力，探究规律的方法，并运用规律解决问题，同时考查了立体图形的含义，三角形的三边关系，弄懂题意，掌握探究方法，运用规律的能力都是解题的关键.
热点2：三角形的内角和外角
一练基础
1．（2021·广东·三模）如图，Rt△ABC中，于点D则下列结论不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理和垂直解答即可.
【详解】
解：∵，
∴∠3+∠4=90°，∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠2+∠4=90°，
A.∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，故A成立，不选A；
B.∵∠3+∠4=90°，∠2+∠4=90°，∴∠2=∠3， 故B成立，不选B；
C.∵∠2+∠4=90°，∠1+∠2=90°，∴，故C成立，不选C；
D.∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∠1=90°-∠2不一定等于30°，故D不一定成立.
故答案为：D.
【点睛】
本题考查了根据三角形的内角和定理和垂直定义，解答此题的关键是能够熟练掌握垂直的定义.
2．（2021·河北·九年级专题练习）如图，ABC中，∠B＝40°，∠A＝90°，分别延长BC到D，延长AC到E，则∠DCE的度数为（ ）

A．50° B．40° C．30° D．130°
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据三角形内角和定理可得∠ACB＝50°，最后利用对顶角相等可得结论．
【详解】
解：∵∠B＝40°，∠A＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCE＝50°，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和，对顶角的定义，运用三角形内角和求出∠DCE的对顶角是解题的关键．
3．（2021·辽宁沈阳·一模）如图，将一直尺与一块三角板按如图放置，若，则∠2的度数为（ ）

A．126° B．136° C．120° D．144°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质可得∠3的度数，由两直线平行，同位角相等可得∠4的度数，根据邻补角互补可得∠2的度数．
【详解】
解：∵∠1=36°，
∴∠3=90°-36°=54°，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠3=54°，
∴∠2=180°-54°=126°，

故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，直角三角形两锐角互余．
4．（2021·广东花都·一模）在中，，，则的度数是______．
【答案】75°
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和是直接计算即可．
【详解】
．
故答案为．
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理．掌握三角形的内角和是是解答本题的关键．
5．（2021·北京西城·一模）将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则______．

【答案】75°
【解析】
【分析】
如图，设AB与EF的交点为G，先根据平行的性质，得到∠AGE=∠F=45°，再根据外角定理得到∠1=30°+45°=75°．
【详解】
如图，设AB与EF的交点为G．

∵AB//BF
∴∠AGE=∠F=45°（两直线平行，同位角相等）
∴∠1=30°+45°=75°（三角形外角定理）
故答案为：75°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，以及三角形外角定理，掌握相关的性质是解题的关键．
二练巩固
6．（2021·河南安阳·二模）如图，直线，一个含45°角的直角三角板如图所示放置，点在直线上，直角顶点在直线上，已知么，则的度数为（ ）

A．45° B．60° C．65° D．75°
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行线的性质得出∠DCA的度数，再求得∠DCB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：∵l1∥l2，
∴∠DCA=∠1=30°，
∵∠DCA +∠DCB=90°，
∴∠DCB=90°-30°=60°，
∴∠2=180°-∠B-∠DCB=180°-45°-60°=75°，
故选：D．
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
7．（2021·广西·南宁十四中三模）如图，四边形是矩形，是边延长线上一点，是上一点，，，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，据矩形的性质以及已知条件求得，根据三角形外角的性质求得，从而求得
【详解】
设，
四边形是矩形
，

是边延长线上一点，


，

，



即
故选C
【点睛】
本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，根据三角形的外角性质求解是解题的关键．
8．（2016·山西·九年级专题练习）如图，将△ABC平移到△A’B’C’的位置（点B’在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB’A’的度数为_____°．

【答案】25
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠A=25°，然后根据平移的性质得到，则．
【详解】
解：∵∠B=55°，∠C=100°，
∴∠A=180°－∠B－∠C=25°，
由平移的性质可得，
∴，
故答案为：25．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，平移的性质，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平移的性质．
9．（2021·江苏·高港实验学校二模）如图，已知直线AB∥CD，∠FCD＝110°且AE＝AF，则＝_____°．

【答案】40
【解析】
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补得出∠BFC，根据AE＝AF可得出∠E＝∠EFA，根据三角形的内角和为180°可求∠A．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠DCF＋∠BFC＝180°，
∴∠BFC＝70°，
∴∠EFA＝70°，
又∵△AEF中，AE＝AF，
∴∠E＝∠EFA＝70°，
∴∠A＝180°−∠BFC−∠EFA＝40°．
故填：40．
【点睛】
该题考查了平行线的性质及三角形内角和定理．
10．（2021·江苏·扬州中学教育集团树人学校三模）已知：直线，将一块含30°角（∠B＝30°）的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线b交于点D，若∠2＝20°，则∠1＝___°．

【答案】
【解析】
【分析】
作直线，由平行线的传递性可得，，再结合直角三角形的性质、两直线平行内错角相等，分别解得的度数即可解题．
【详解】
解：作直线






故答案为：．
【点睛】
本题考查平行线的性质、直角三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
三练拔高
11．（2021·福建省福州外国语学校三模）如图，的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．
【详解】
解：如图，、与分别相交于点、，

在四边形中，，
，，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形的外角与内角、三角形的外角性质，解题的关键是熟记多边形的内角和公式及三角形的外角定理．
12．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）

A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2 C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2（∠1＋∠2）
【答案】B
【解析】
【分析】
在△ABC、四边形BCDE和△A′DE中，分别根据内角和列式，三式联立再结合折叠的性质可得2∠A′＝∠1＋∠2，则知结果．
【详解】
解：如图，连接DE，

在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A′＋∠B＋∠C＝180°①．
在△A′DE中∠A′＋∠A′DE＋∠A′ED＝180°②；
在四边形BCDE中∠B＋∠C＋∠1＋∠2＋∠A′DE＋∠A′ED＝360°③；
①＋②﹣③得2∠A′＝∠1＋∠2，
即2∠A＝∠1＋∠2．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，多边形内角和，折叠问题的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
13．（2021·贵州黔东南·中考真题）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由三角板的特征可得∠B=45°，∠E=30°，∠EFD=90°，利用三角形的外角的性质及对顶角的性质可求解∠AGE的度数，再利用三角形外角的性质可求解∠1的度数．
【详解】
解：由题意得△ABC，△DEF为直角三角形，∠B=45°，∠E=30°，∠EFD=90°，

∴∠AGE=∠BGF=45°，
∵∠1=∠E+∠AGE，
∴∠1=30°+45°=75°，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角形外角的性质，等腰直角三角形，求解∠AGE的度数是解题的关键．
14．（2021·黑龙江平房·三模）如图，在中，，，将沿折叠得到，则等于__________________度．

【答案】50°．
【解析】
【分析】
连接DG，将∠ADG+∠AGD作为一个整体，根据三角形内角和定理来求解．
【详解】
解：连接DG，根据折叠的性质，得：

，

故答案为：50°．
【点睛】
本题考查折叠的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是作出辅助线帮助求解，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（2021·全国·九年级课时练习）如图，中，的垂直平分线分别交于两点，连接，如果，那么______．

【答案】
【解析】
【分析】
先证明△BCD为直角三角形，再运用三角函数定义求解．
【详解】
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC=2，∠AED=90°，
∵∠A=45°,
∴∠ACD=45°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴，
∴AB=，
∴tan∠BCD=，
故答案为：．　
【点睛】
本题考查三角形的综合应用，熟练掌握垂直平分线的性质、三角形的外角性质和正切函数的定义是解题关键．　
热点3：与三角形有关的重要线段
一练基础
1．（2021·福建省厦门第六中学三模）如图，在中，BC边上的高是（ ）

A．CD B．AE C．AF D．AH
【答案】C
【解析】
【分析】
根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可得出结论．
【详解】
由图可知，过点A作BC的垂线段AF，
则中，BC边上的高是AF，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
2．（2021·北京二十中模拟预测）用直角三角板作的高，下列作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据高线的定义即可得出结论．
【详解】
解：A、B、D均不是高线．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
3．（2020·福建·中考真题）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．
【详解】
∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是．
故选D．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
4．如图，，，分别是的高、角平分线、中线、则下列各式中错误的是( )

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．
【详解】
∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴CD⊥BE，∠ACE=∠ACB，AB=2BF，无法确定AE=BE．
故选B．
【点睛】
考查了三角形的角平分线、中线和高，根据是熟悉它们的定义和性质．
5．（2021·福建省同安第一中学二模）如图，是的中线，已知的周长为22，比长3，则的周长为___________．

【答案】19
【解析】
【分析】
根据中线的定义可的，再结合AB与AC之差可得与周长之差，由此得解．
【详解】
解：由题意，得，
∵是的中线，
∴．
∵的周长为22，
∴，
∴，
∴的周长为．
故答案为:19．
【点睛】
本题考查三角形中线的定义．能根据题意得出周长之差即线段AB与AC之差是解题关键．
二练巩固
6．（2021·辽宁沈北新区·一模）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则S△ABC的面积为（　　）

A． B．3 C． D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用割补法求△ABC面积等于大正方形面积-三个三角形面积即可．
【详解】
解：在网格中添加字母如图，
S△AEB=，
S△AFC=，
S△BGC=，
S正方形=，
∴S△ABC= S正方形- S△AEB- S△AFC- S△BGC=9-1-3-．
故选择C．

【点睛】
本题考查网格三角形面积，掌握用割补法求网格三角形面积的方法是解题关键．
7．（2021·浙江·温州绣山中学三模）如图，AD是△ABC的一条中线，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，交AB，AC于点E，F．若BC＝6，则EG的长为（ ）

A．2 B．3 C．3.5 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据AD是中线，得到，由G为△ABC的重心，可以得到，有EF∥BC，可以证明△AEG∽△ABD，得到，由此求解即可.
【详解】
解：∵AD是中线，
∴，
∵G为△ABC的重心，
∴，
∵EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，
∴，
∴，
故选A.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，重心的性质，三角形的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
8．（2021·陕西金台·一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=6，BC＝8，D是AB的中点，E是BC的中点，EF⊥CD于点F，则EF的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理得出AB，进而利用直角三角形的性质得出BD＝DC＝AD＝5，利用三角形面积公式解答即可．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴，
∵D是AB的中点，
∴BD=DC=AD=5，，
如图，连接DE，
∵E是BC的中点，
∴，
∵
∴，
故选：D．

【点睛】
本题考查直角三角形的性质，三角形中线的性质，理解三角形中线将三角形的面积平分是解题关键．
9．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为____________．

【答案】
【解析】
【分析】
由题意得：BF⊥AC，再根据三角形的面积公式，可得，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，
∴BF⊥AC，
∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，
∴，
∴，
∴CE：AD：BF=，
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．
10．（2021·浙江温州·中考真题）如图，是的角平分线，在上取点，使．

（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）35°
【解析】
【分析】
（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出，即可完成求证；
（2）先求出∠ADE，再利用平行线的性质求出∠ ABC，最后利用角平分线的定义即可完成求解．

【详解】
解：（1）平分，
．
，
，
，
．
（2），，
．
．
．
平分，
，
即．
【点睛】
本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．
三练拔高
11．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）如图，在中，，分别是，边上的中线，且与相交于点，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形的重心性质得到，根据三角形的面积公式得到，，据此解题．
【详解】
解：点是，边上的中线，的交点，
，，
，，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查三角形重心的概念与性质、三角形面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
12．（2021·安徽·合肥市五十中学东校三模）如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（ ）

A．114° B．142° C．147° D．156°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理计算即可；
【详解】
∵CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，
∴，
∵a∥b，
∴，
又∵BC平分∠ABD，
∴，
∴；
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．
13．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）如图，为的角平分线，于为中点，连接，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
延长BE交AC于点G，可得△ABE≌△AGE，从而E是BG的中点，得到EF是△BCG的中位线，从而EF//GC，可得到∠EFD=∠C，即可求解．
【详解】
如图，延长BE交AC于点G，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠GAE，
∵，
∴∠BEA=∠GEA=90°，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△AGE，
∴E是BG的中点，
∵F是BC的中点，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF//GC，
∴∠EFD=∠C=180°-∠BAC-∠ABC，
∵AD平分∠BAC，，
∴∠BAE =40°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=50°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBD=50°+20°=70°，
∴∠EFD=∠C=180°-80°-70°=30°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形内角和，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形内角和是解题的关键．
14．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的余弦值是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由∠A＝120°可得∠1+∠2的度数，从而求得∠CBD+∠BCE的度数，根据BM，CM分别是△ABC的外角平分线，得∠3+∠4的度数，即可求出∠M的度数，得到答案．
【详解】
解：如图：

∵∠A＝120°，
∴∠1+∠2=60°，
∴∠CBD+∠BCE=(180°-∠2)+(180°-∠1)=360°-(∠1+∠2)=300°，
∵BM，CM分别是△ABC的外角平分线，
∴∠3+∠4=∠CBD+∠BCE=(∠CBD+∠BCE)=150°，
∴∠M=30°，
∴∠M的余弦值是．
故选D．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数，涉及三角形内角和定理，角平分线的定义等知识．解题的关键是利用三角形内角和定理求出∠3+∠4的度数 ．
15．（2019·浙江杭州·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：（1）EF＝BE＋CF；（2）∠BOC＝90°＋∠A；（3）点O到△ABC各边的距离都相等；（4）设OD＝m，AE＋AF＝n，则；其中正确结论的个数 （ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
在中，和的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故①正确；由角平分线的性质得出点O到各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③，设，，则，故④正确．
【详解】
解：∵在中，和的平分线相交于点O，
∴，，，
∴，
∴；故②正确；
∵在中，和的平分线相交于点O，
∴，．
∵EF∥BC，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，故①正确；
如图：过点O作于M，作于N，连接OA，

∵在中，和的平分线相交于点O，
∴，
∴；故④正确；
∵在中，和的平分线相交于点O，
∴点O到各边的距离相等，故③正确．
故选：D．
【点睛】
此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握角平分线及等腰三角形的性质并且注意数形结合思想的应用．
16．（2020·辽宁·沈阳市虹桥初级中学九年级阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为____．
【答案】65°或25°
【解析】
【分析】
本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
【详解】
解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40°，则顶角是50°，因而底角是65°；
如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD=40°，BD⊥CD，
故∠BAD=50°，
所以∠B=∠C=25°

因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°．
故填25°或65°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因而，遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．
17．（2021·广西宜州·二模）如图，中，点，分别在，上，与交于点，若，，，则的面积______．

【答案】7.5．
【解析】
【分析】
观察三角形之间的关系，利用等高或同高的两个三角形的面积之比等于底之比，利用已知比例关系进行转化求解．
【详解】
如下图所示，连接，

∵，，，
∴ ,
∴,
,
∴,
,
设，，
∴ ，
，
由，可得，
，
解得 ，
∴，，
．
故答案为：7.5．
【点睛】
本题考查的是等高同高三角形，应用等高或同高的两个三角形的面积之比等于底之比进行求解是本题的关键．
18．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校一模）已知，，点为中点，，，若，，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】
延长AF交BC的延长线于点M，连接EM，则易得△ABM是等腰三角形，且AB=AM=2AE，根据 得EF×AM=BC×AC ，可得AE×EF=AC，平方得，分别在Rt△ABC和R t△AEF中，由勾股定理得： ， ，设，由此三式可得关于x一元二次方程，解方程即可求得x，从而可求得EF的长．
【详解】
延长AF交BC的延长线于点M，连接EM，如图
∵∠ACB=∠ACM=90°，AC=AC ，
∴△ACB≌△ACM(ASA)
∴AB=AM，BC=MC
∴
∵E点是AB的中点
∴AB=2AE，
∴
∴EF×AM=BC×AC
即EF×AM=BC×AC
∴
即AE×EF=AC
∴
在Rt△ABC和R t△AEF中，由勾股定理得： ，
设，则
即
解得：x=4或x=9
即AE=2或AE=3
当AE=2时，由AF=1及EF⊥AF，得∠AEF=30°，则∠EAF=60°，∠BAC=30°；但此时AC=2，AB=2AE=4，由∠ACB=90°，得∠ABC=30°，则∠ACB=120°，这与△ABC为直角三角形矛盾
∴AE=3
∴
故答案为：．

【点睛】
本题考查了全等三角形的判断与性质，勾股定理，三角形中线平分三角形的面积等知识，用到了等积思想，方程思想，关键和难点是构造全等三角形．