4.4 等腰三角形和直角三角形-中考数学一轮复习 知识点+练习

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第四章 三角形
4.4等腰三角形和直角三角形
一、课标解读
1.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理.
2.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理及其判定定理；探索等边三角形的性质定理及其判定定理.
3.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
4.探索勾股定理及其逆定理，并能它们解决一些简单的实际问题.
二、知识点回顾
知识点1. 角的平分线与线段的垂直平分线
1.角的平分线
性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
判定：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
2.线段的垂直平分线性质
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
知识点2. 等腰三角形的性质和判定
1.定义
有两边相等的三角形是等腰三角形.
2.性质
(1)两腰相等.如图,AB=AC;
(2)两个底角相等(简写成“等边对回等角”).
如图，已知AB=AC，则∠ABC=∠ACB ;
(3)顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一).
如图，已知AB=AC, AD l BC,则BD=CD,∠BAD=∠CAD ;
(4)是轴对称图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴.
如图，△ABC的对称轴是AD所在的直线.

3.判定
(1)有两边相等的三角形是等腰三角形(定义);
(2)等角对等边
如图，若∠ABC=∠ACB，则AB=AC
知识点3 等边三角形的性质和判定
1.定义
三边都相等的三角形是等边三角形
2.性质
(1)三边相等；
如图，AB=AC =BC ;
(2)三个内角都相等，并且每一个角都等于60º.
如图，∠A=∠B=∠C=60º
(3)是轴对称图形，共有3条对称轴;
(4)具有--般等腰三角形的所有性质.

3.判定
(1)三边都相等的三角形是等边三角形(定义);
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
如图，若∠A=∠B=∠C,则△ABC是等边三角形;
(3)有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形.
如图，若AB=AC，∠A=60º
则△ABC是等边三角形.
知识点4 直角三角形的性质和判定
1.直角三角形的性质
(1)直角三角形的两个锐角互余;
(2)直角三角形斜边_上的中线等于斜边的一半;
(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半;
(4)勾股定理:在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方
即a2+ b2=c2
2.直角三角形的判定
(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形(定义);
(2)两个锐角互余的三角形是直角三角形;
(3)勾股定理的逆定理:如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
三、热点训练
热点1：角平分线和线段垂直平分线
一练基础
1．（2021·湖北·黄石八中三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝116°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE，交BC于点M；分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交BC于点N；连接AM、AN．则∠MAN的度数为（       ）

A．52° B．50° C．58° D．64°
2．（2021·内蒙古扎兰屯·九年级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
3．（2021·广东越秀·一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是（　　）

A． B． C． D．
4．（2021·广东雷州·三模）如图，在等腰△ABD中，AB＝AD，∠A＝32°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，则∠EBD的度数为 ______．

5．（2021·四川遂宁·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 _____ ．

6．（2021·辽宁丹东·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，点F是的中点，连接、，若，则的周长为_________．

7．（2021·广东·东莞市石龙第二中学模拟预测）如图，在△ABC中，∠C＝90°．

(1)尺规作图；作∠BAC的平分线交BC于点D．（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)已知AD＝BD，求∠B的度数．

二练巩固
8．（2021·广西梧州·中考真题）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（　　）

A．10.5 B．12 C．15 D．18
9．（2021·山东济宁·中考真题）如图，已知．
（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．
（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．
（3）作射线交于点D．
（4）分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
（5）作直线，交，分别于点E，F．
依据以上作图，若，，，则的长是（ ）

A． B．1 C． D．4
10．（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为 __．

11．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝6，则BF的长为________

12．（2021·山东青岛·中考真题）已知：及其一边上的两点，．
求作：，使，且点在内部，．

13．（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．

14．（2021·湖北宜昌·中考真题）如图，在中，，．

（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________，射线是的__________；
（2）在（1）所作的图中，求的度数．
三练拔高
15．（2021·广东深圳·三模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，AB＝3，点E是边CB上一动点，过点E作EF//CA交AB于点F，D为线段EF的中点，按下列步骤作图：①以C为圆心，适当长为半径画弧交CB，CA于点M，点N；②分别以M，N为圆心，适当长为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线CG．若射线CG经过点D，则CE的长度为（　　）

A． B． C． D．
16．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）已知：的顶点，点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，交于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点E．
③画射线，交于点，则点A的坐标为（       ）

A． B． C． D．
17．（2021·广东·深圳市罗湖区翠园初级中学二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E、F，作直线EF，D为BC的中点，M为EF上任意一点，若BC=4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）

A． B．3 C．4 D．5
18．（2021·江苏·景山中学一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，BC＝17，点E是线段AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，AE的长为____．

19．（2022·辽宁·东北育才实验学校模拟预测）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝_____．

20．（2021·湖南·师大附中梅溪湖中学二模）已知△ABC中，F、D分别为边AC、BC上的点，过点F、D分别作AC、BC的垂线交于一点I且IF＝ID．

(1)求证：FC＝DC；
(2)如图1，IA为△ABC的角平分线，点F为AC中点，当AF＝2，BD＝4时，求sin∠BAC的值；
(3)如图2，若过点I作IG⊥AB于点G，且IG＝IF＝GA＝2，∠B＝30°，求△ABC的周长．
热点2：等腰三角形的性质与判定
一练基础
1．（2021·广西柳州·模拟预测）在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿B地北偏东30°方向走，恰好到达目的地C处，那么，由此可知，B，C两地相距（　　）
A．200 m B．150 m C．100 m D．250 m
2．（2021·福建湖里·二模）如图，点，在线段上，与全等，点 和点，点和点是对应点，和交于点 ，则与相等的线段是（ ）

A． B． C． D．
3．（2021·山东芝罘·模拟预测）如图，ABCD，点E在线段BC上，CD=CE．若∠D=75°，则∠B的度数为（       ）

A．50° B．40°
C．30° D．25°
4．（2021·辽宁本溪·中考真题）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）

A． B． C． D．4
5．（2021·浙江衢江·一模）一块三角板（含45°、45°角）和一把直尺摆放位置如图所示，直尺与三角板的一角相交于点A，一边与三角板的两条直角边分别相交于点D、点E，且DE＝2CD，点F在直尺的另一边上，那么∠BAF的大小为（ ）

A．10° B．15° C．20° D．30°
6．（2021·浙江杭州·中考真题）已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则（       ）


A． B． C． D．
7．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求线段的长．

8．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在中，的平分线交于点，过点作；交于点．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
二练巩固
9．（2021·河北平泉·一模）求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，是的外角，，AD∥BC．求证．

以下是排乱的证明过程：①又，
②∴，
③∵AD∥BC，
④∴，，
⑤∴．
证明步骤正确的顺序是（     ）
A．③→②→①→④→⑤ B．③→④→①→②→⑤
C．①→②→④→③→⑤ D．①→④→③→②→⑤
10．（2020·广西·模拟预测）在等腰三角形中，边上的高恰好等于边长的一半，则等于（       ）
A．90° B．90°或75° C．90°或15° D．90°或75°或15°
11．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____．
12．（2021·江苏秦淮·一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠BAD的平分线交BC于点E，则DE＝____．

13．（2018·河南周口·二模）如图，在中，，，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则的度数是________．

14．（2021·广东中山·一模）如图，已知等腰的顶角．

（1）根据要求用尺规作图：作的平分线交于点；（不写作法，只保留作图痕迹．）
（2）在（1）的条件下，证明：是等腰三角形．
15．（2021·广东·九年级专题练习）（1）如图：在中，，，根据图中的作图痕迹可知为的______；

（2）在第（1）问的条件下，请完善以下求的过程：
作于点，设为，则
列方程得：__________
解得：______，∴______．
16．（2021·福建省厦门第二中学二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=，D为斜边AB中点，将线段DB绕着点D顺时针旋转得到线段DE，交AC边于点F，连接CE．
（1）当△ADF 为等腰三角形时，求 与之间的数量关系；
（2）若AB=10，，CE=CB，求AF的长．

三练拔高
17．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC=5cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD=3cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，交AC于点F，则CF的长为（       ）cm．

A． B．4﹣ C．5﹣ D．6﹣
18．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）如图，E是正方形ABCD外一点，连接AE，BE，DE，AP⊥AE交DE于点P，连接BP，若AE＝AP＝1，PB＝，则下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线DE的距离是；③；④S正方形ABCD=．其中正确结论的序号为______．

19．（2021·浙江义乌·二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，，点D为AB的中点，一块45°的三角板底角与点D重合，并绕点D旋转，另外两边分别与AC和BC相交于点E，点F，在旋转过程中，恰好存在，此时，，则________．

20．（2021·辽宁顺城·二模）如图，在中，，，点在线段上运动（不与，重合），连接，作，与交于．在点的运动过程中，的度数为________时，的形状是等腰三角形．

21．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）如图，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，过点C作MN∥AB，点P为斜边BC上一点，点Q为直线MN上一点，连接PQ，作PR⊥PQ交直线AC于点R．
（1）当点Q在射线CM上时
①如图1，若P是BC的中点，则线段PQ，PR的数量关系为 ；
②如图2，若P不是BC的中点，写出线段CP，CQ，CR之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）若，，请直接写出CR的长．

22．（2021·浙江鄞州·一模）我们把三角形的一条高线关于与其共顶点的内角平分线的对称线段所在直线叫做该三角形的倍角高线．
（1）如图1，，分别为的高线和角平分线，若为的倍角高线．
①根据定义可得______，______（填写图中某个角）；
②若，求证：为等腰三角形．

（2）如图2，在钝角中，为钝角，，若，分别为的高线和角平分线，倍角高线交直线于点，若，，求线段的长．

（3）在中，若，，倍角高线交直线于点，当为等腰三角形，且时，求线段的长．
热点3：等边三角形的性质与判定
一练基础
1．（2021·湖南益阳·中考真题）如图，为等边三角形，，则等于（       ）

A． B． C． D．
2．（2021·广东越秀·一模）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是__________．

3．（2021·江苏丹阳·二模）如图，直线，是等边三角形，若，则的度数为__________．

4．（2021·黑龙江龙沙·三模）如图，点在内部，，若添加一个条件：______．则是等边三角形．

5．（2021·上海·九年级期末）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于________．

6．（2019·浙江杭州·模拟预测）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE=AF．

二练巩固
7．（2021·青海西宁·中考真题）如图，是等边三角形，，N是的中点，是边上的中线，M是上的一个动点，连接，则的最小值是________．

8．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________．

9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△BPD．

10．（2014·河南·模拟预测）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F
（1）求证：AD＝CE；
（2）求∠DFC的度数．

11．（2022·甘肃平凉·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，，将绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到，，，则BD=______．

12．（2022·辽宁·东北育才实验学校模拟预测）如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，过点B作MA1⊥AC于点A1，过点A1，作A1B1∥OA，交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA，交OC于点B2；…按着这个规律进行下去，点A2021的坐标是 _____．

13．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是__．

14．（2021·广东·汕头市龙湖实验中学九年级期中）如图，等边三角形的外部有一点P，且，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接．

（1）求证：．
（2）若，，求P，C两点之间的距离．
15．（2021·广东·广州市番禺执信中学二模）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：

(1)∠AEB的度数为　 　；
(2)线段AD、BE之间的数量关系是　 　．
(3)当点A、D、E不在同一直线上，∠AEB的度数会发生变化吗？　 　（填写“变化”或“不变”）．
16．（2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．

三练拔高
17．（2021·内蒙古东胜·二模）如图，已知钝角中，且，（1）以C为圆心，长为半径画弧；（2）以B为圆心，为半径画弧，交前弧于点E；（3）连接交的延长线于点D．下列叙述不一定正确的是（       ）

A．是等边三角形 B．平分 C． D．垂直平分
18．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）三模）如图，点D是等边△ABC边BC上一点，将等边△ABC折叠，使点A与点D重合，折痕为EF（点E在边AB上）．
（1）当点D为BC的中点时，AE：EB＝________；
（2）当点D为BC的三等分点时，AE：EB＝________．

19．（2021·河北兴隆·二模）如图，点是等边边上一点，的两边分别交、于、两点．已知，．

（1）若四边形是菱形，则其面积为__________；
（2）若，则__________．
20．（2021·广东花都·三模）△ABC为等腰三角形，AB＝AC，点D为△ABC所在平面内一点．

(1)若∠BAC＝120°，
①如图1，当点D在BC边上，BD＝AD，求证：DC＝2BD；
②如图2，当点D在△ABC外，∠ADB＝120°，AD＝2，BD＝4，连接CD，求CD的长；
(2)如图3，当点D在△ABC外，且∠ADB＝90°，以AD为腰作等腰三角形△ADE，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，直线DE交BC于点F，求证：点F是BC中点．
21．（2021·辽宁沈阳·中考真题）在中，，中，（），，，，点B，C，E不共线，点P为直线上一点，且．
（1）如图1，点D在线段延长线上，则________，________，（用含的代数式表示）；

（2）如图2，点A，E在直线同侧，求证：平分；

（3）若，，将图3中的绕点C按顺时针方向旋转，当时，直线交于点G，点M是中点，请直接写出的长．

22．（2021·江苏·南师附中树人学校一模）如图1，若△DEF的三个顶点D，E，F分别在△ABC各边上，则称△DEF是△ABC的内接三角形．
（1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF是△ABC的内接 　 　．
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或等边三角形
D．直角三角形
（2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）问题：如图4，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在△ABC的内接等边三角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？
①探究1：如图5，要使△DEF是等边三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我们以点D为角的顶点任作∠EDF＝60°，且DE交BC于点E，DF交AC于点F．
我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点F与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重合．在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果存在某个时刻正好DE＝DF，那么这个等边三角形DEF就存在（如图8）．理由：　 　是等边三角形．
②探究2：在BC上任取点E，作等边三角形DEF（如图9），并分别作出点E与点B、点C重合时的等边三角形DBF′和DCF″．连接FF'，FF″，证明：FF'+FF″＝BC．
③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，请作出△ABC的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）


热点4：直角三角形的性质与判定
一练基础
1．（2019·四川三台·中考模拟）如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（       ）

A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
2．（2007·江苏连云港·中考真题）如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（             ）   

A．4 B．6 C．16 D．55
3．（2021·上海浦东新·八年级期末）已知一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上中线的长度是_____．
4．（2021·北京·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在AC上，且AD=2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为________，CE的长为_______．

5．（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，P是直线BC上一点，把△BDP沿PD所在的直线翻折后，点B落在点Q处，若直线QD与BC垂直，则PB的长为___．

6．（2020·辽宁皇姑·一模）如图，在中，，，，则内部五个小直角三角形的周长的和为______．

二练巩固
7．（2022·山东青岛·模拟预测）如图，在一矩形纸条中，，将纸条沿折叠，点C的对应点为，若，则折痕的长为（       ）

A．2 B． C． D．4
8．（2021·广东花都·二模）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A恰好与点C重合，点B的对应点为点B′，若DC＝4，AF＝5，则BC的长为（　　）

A． B． C．10 D．8
9．（2021·贵州·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（        ）

A． B． C． D．
10．（2022·重庆·一模）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，长方形AKJD的面积为S3，长方形KJEB的面积为S4，下列结论：①BI＝CD；②2S△ACD＝S1；③S1＋S4＝S2＋S3；④＋＝．其中正确的结论有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2021·广东花都·二模）如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到Rt△AED，则边AC在旋转过程中所扫过的图形的面积为 __________________．

12．（2021·广东龙门·三模）如图，在矩形ABCD中，AD＜2AB，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交DC于点F，连接EF．

(1)求证：△EGF≌△EDF；
(2)若点F是CD的中点，BC＝8，求CD的长．
三练拔高
13．（2021·湖北鄂州·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（     ）

A．3 B． C． D．
14．（2021·重庆十八中模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD=8，E是AB边的中点，F是线段BC的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB´F，连接B´D，则B′D的最小值是_____．

15．（2022·山东青岛·模拟预测）如图，正方形的边长为3，E是上一点，，连接与相交于点F，过点F作，交于点G，连接，则点E到的距离为_____．

16．（2021·广东花都·二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AD＝8，AB＝4，点H、G分别是边DC、BC上的动点，其中点H不与点C重合．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为 _____________．

17．（2021·江苏淮安·二模）如图，在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A1OA0＝60°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠A2A1O＝90°，∠A2OA1＝60°，按此方法进行下去，得到 Rt△OA2A3，Rt△OA3A4…，若点A0的坐标是（1，0），则点A2021的横坐标是___________．

18．（2021·河北竞秀·一模）已知如图，△ABC是边长为8的等边三角形，以A为圆心，2为半径作半圆A，交BA所在直线于点M，N．点E是半圆A上任意一点，连接BE，把BE绕点B顺时针旋转60°到BD的位置，连接ED．

（1）求证：△EBA≌△DBC．
（2）当ED＝2时，判断BE与半圆A的位置关系，并说明理由．
（3）直接写出△BCD面积的最大值．