4.5 相似三角形（含位似）-中考数学一轮复习 知识点+练习

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第四章 三角形
4.5相似三角形（含位似）
一、课标解读
1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
2.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。
3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
4.了解相似三角形的判定定理及其证明。
5.了解相似三角形的性质定理。
6.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。
7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
二、知识点回顾
知识点1. 比例线段
1．定义：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如＝(即ad＝bc)，我们就说这四条线段成比例．
2．基本性质：
性质1：若＝，则ad＝bc (b≠0，d≠0)．
性质2：若＝，则＝ (b≠0，d≠0)．
性质3：若＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，则＝．
3．比例中项：如果＝，即b2＝ac，就把b叫做a，c的比例中项．
知识点2. 平行线分线段成比例
1．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段．如图1，若l1∥l2∥l3，则＝或＝．
2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图2，3，若DE∥BC，则＝，＝等．

知识点3 相似三角形的性质及判定
1.定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角
形，相似三角形对应边的比叫做相似比.
2.相似三角形的性质:
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例;
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比;
(3)相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
知识点4 相似三角形的判定方法
1.（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
（2）三边对应成比例的两个三角形相似.
（3）两边对应成比例且对应边的夹角相等的两个三角形相似.
（4）两角分别相等的两个三角形相似.
（5） 斜边和一直角边对应成比例.
2. 常见的相似三角形模型
（1）A字型及其变形

已知BC∥DE　 已知∠1＝∠B　 已知∠1＝∠B
（2）X字型及其变形


已知AB∥DE　　 已知∠A＝∠D
（3）旋转型

（4）垂直型
　
双垂直型　　　 　　三垂直型 一线三等角型
知识点5 相似多边形
1.概念:两个边数相等的多边形，如果它们的角对应相等，边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，对应边的比叫做相似比.
2.性质: (1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例;
(2)相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
知识点5 位似
1.位似图形的定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心，这时我们说这两个图形关于这点位似，它们的相似比又称为位似比.
2.位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
3.位似变换的坐标:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即若原图形的某一点坐标为(x，y),则其位似图形对应点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).
三、热点训练
热点1：相似图形的概念和性质
一练基础
1．（2022·福建三明·一模）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若DE＝7，EF＝10，则的值为（       ）

A． B． C． D．
2．（2021·广东·二模）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．以B为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交AB、BC于点F、G，以D为圆心，以相同的半径画弧，交AD于点M，以M为圆心，以FG的长度为半径画弧，交于点N，连接DN并延长交AC于点E．则下列式子中错误的是（　　）

A． B． C． D．
3．（2022·上海虹口·九年级期末）已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP>PB，线段AB=2厘米，那么线段AP=____________．
4．（2021·上海市徐汇中学九年级阶段练习）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝4，那么AP＝____．
5．（2018·安徽相山·中考模拟）若，则＝______．
6．（2021·四川德阳·中考真题）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为1，则该矩形的周长为 __________________．
二练巩固
7．（2022·上海杨浦·九年级期末）已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（       ）
A． B． C． D．
8．（2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）

A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
9．（2021·全国·九年级专题练习）如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是（     ）
A． B． C． D．
10．（2011·上海·中考模拟）若线段c是线段a，b的比例中项，且，，则_____________．
11．（2021·四川内江·中考真题）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 __．
12．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学一模）AD为面积为30 的锐角三角形ABC的高，∠ACB＝2∠BAD，线段AB上的点E将AB分成两条线段的比为3∶2，过点E作BC的平行线交AC于点F，若AD＝6，则CF＝_______．
三练拔高
13．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形中，为对角线上一点，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列所给的结论中，不一定正确的是（       ）．

A． B． C． D．
14．（2021·全国·九年级专题练习）数学中，把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，这个比例被称为黄金分割比例．如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分很好地体现了黄金分割比例，其中矩形ABCD是黄金矩形，若我们把一个正方形AEFD嵌入黄金矩形ABCD中（正方形的边长等于黄金矩形的宽），这样就创造了一个新的黄金矩形BEFC．如果把这个过程重复数次，接着我们要在每个正方形内画一条圆弧，让每个圆弧的半径等于它所在正方形的边长就会得到下面这张图，若，则图中弧HF的长为（     ）

A． B． C． D．
15．（2022·福建福州·一模）如图，在四边形ABCD中，AB = 5，∠A = ∠B = 90°，O为AB中点，过点O作OM⊥CD于点M．E是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CE，DE，若∠CED = 90°且 = ．现给出以下结论：
（1）△ADE与△BEC一定相似；
（2）以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，则⊙O与CD可能相离；
（3）OM的最大值是；
（4）当OM最大时，CD = ．
其中正确的是 _________ ．（写出所有正确结论的序号）

16．（2021·湖南湘潭·中考真题）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图①，点C把线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．


（1）特例感知：在图①中，若，求的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形：
①作两条相互垂直的直径、；
②作的中点P，以P为圆心，为半径画弧交于点Q；
③以点A为圆心，为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦，连接；
则五边形为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q是否为线段的黄金分割点？请说明理由．
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段的黄金分割点，请利用题中的条件，求的值．
热点2：相似三角形的性质与判定
一练基础
1．（2022·福建三明·一模）下列各组图形中，不一定相似的是（       ）
A．任意两个等腰直角三角形 B．任意两个等边三角形
C．任意两个矩形 D．任意两个正方形
2．（2021·贵州毕节·九年级阶段练习）在图（1）、（2）所示的△ABC中，AB=4，AC=6．将△ABC分别按照图中所标注的数据进行裁剪，对于各图中剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确的是（       ）

A．只有（1）中的与△ABC相似
B．只有（2）中的与△ABC相似
C．都与△ABC相似
D．都与△ABC不相似
3．（2022·江苏兴化·九年级期末）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（       ）

A． B． C． D．
4．（2021·湖北当阳·一模）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为，则它的最长边为（       ）
A． B． C． D．
5．（2021·河南伊川·九年级期中）如图，在中，，点D与点A在直线的同侧，且，，点E是线段延长线上的动点，当和相似时线段的长为（       ）

A．3 B． C．3或 D．4或
6．（2021·广东·东莞市石龙第二中学模拟预测）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，若△ABC的面积为4，则四边形BCED的面积为___．

7．（2021·广东惠阳·二模）如图，AB，CD相交于O点，△AOC∽△BOD，OC：CD＝1：3，AC＝2，则BD的长为 __．

8．（2022·江苏溧阳·九年级期末）如果两个相似三角形的周长比是1︰4，那么它们的面积比是_________．
二练巩固
9．（2022·福建福州·一模）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且AD = 1，BD = 5，AE = 2，∠AED = ∠B，则AC的长是（       ）

A．2.4 B．2.5
C．3 D．4.5
10．（2021·湖南·师大附中梅溪湖中学二模）如图，在菱形ABCD中，点F在线段CD上，连接EF，且∠CBE+∠EFC＝180°，DF＝2，FC＝3．则DB＝（　　）

A．6 B． C．5 D．
11．（2021·广东花都·三模）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB边上一点，若AE：AB＝1：3，则S△AEF：S△ADC＝（　　）

A．1：12 B．1：9 C．1：6 D．1：3
12．（2021·山东济南·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（       ）

A． B．垂直平分线段
C． D．
13．（2021·山西·太原五中九年级阶段练习）如图，、分别是的边、上的点，且，若，则的值（       ）

A． B． C． D．
14．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．
15．（2021·福建·莆田八中九年级阶段练习）如图，点D在等边三角形ABC的边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线EF分别交边AB、AC于点E、F．当CD＝2BD时，的值为___．

16．（2021·广东禅城·二模）如图1，在△ABC中，D是AB边上的一点，小明用尺规作图，做法如下：如图，①以B为圆心，任意长为半径作弧，交BA于F、交BC于G；②以D为圆心，BF为半径作弧，交DA于M；③以M为圆心，FG为半径作弧，两弧相交于N；④过点D作射线DN交AC于点E．根据上述材料，解答下列问题：

(1)由作图过程可以推导出DEBC，依据的定理是 　 　；
(2)若AD＝2，DB＝1，DE＝1.5，求BC的长度．
三练拔高
17．（2021·福建建宁·九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤
18．（2021·广东龙门·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（，0），顶点D的坐标为（0，），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，……，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的边长为（       ）

A． B． C． D．
19．（2021·广东越秀·一模）如图，点E，F分别为平行四边形ABCD的边BC，AD上的点，且CE＝2BE，AF＝2DF，AE与BF交于点H，若△BEH的面积为2，则五边形CEHFD的面积是（　　）

A．19 B．20 C．21 D．22
20．（2022·福建三明·一模） 16.如图，平行四边形ABCD中，∠ACB = 30°，AC的垂直平分线分别交AC，BC，AD于点O，E，F，点P在OF上，连接AE，PA，PB.若PA = PB，现有以下结论：
①△PAB为等边三角形；
②△PEB∽△APF；
③∠PBC - ∠PAC = 30°；
④EA = EB + EP
其中一定正确的是______（写出所有正确结论的序号）
   
21．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，E是AB的中点，点P从点D出发沿射线DC以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PF⊥DE于点F，当运动时间为______秒时，以P、F、E为顶点的三角形与△AED相似．

22．（2021·广东·汕头市潮南实验学校一模）如图，个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点、、、、分别为边、、、、的中点，△的面积为，△的面积为、、△的面积为．
①__； ②__．（用含的式子表示）

23．（2021·浙江·翠苑中学二模）（1）如图1，在中，，，，请在图1中作一条直线，使得被分成两个等腰三角形，并在图中标注出相应的角度．
（2）如图2，在两个不相似的和中，，，，直线和直线将和分别分为两个三角形，并使的两部分能分别与的两部分相似．请在图中作出直线和直线，并标注出相应的角度．

24．（2021·吉林·长春外国语学校九年级阶段练习）如图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．
（1）在图中的线段上找一点，连结，使．

（2）在图中的线段上找一点，连结，使．

（3）在图中的线段上找一点，连结，使．

热点3：相似三角形的应用
一练基础
1．（2022·福建三明·一模）如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5 m的标准视力表制作了一个测试距离为3 m的视力表.如果标准视力表中“E”的高a是72.7 mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是（     ）

A．121.17 mm
B．43.62 mm
C．43.36 mm
D．29.08 mm
2．（2021·四川内江·中考真题）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为的竹竿的影长为，某一高楼的影长为，那么这幢高楼的高度是（     ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（     ）

A． B． C． D．
4．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知零件的外径，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等，）量零件的内孔直径，若，量的，则零件的厚度为（       ）

A． B． C． D．
5．（2021·山东沂水·一模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端D观察水岸C，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么井深为______米．

6．（2021·福建省福州屏东中学九年级阶段练习）莆田湄洲岛，是亿万妈祖信徒敬仰的圣地，这里的妈祖庙更是名扬四海．在湄洲妈祖庙的正殿前方上建造了一尊巨型石雕妈祖像，面向台湾海峡，为海峡两岸同胞共同瞻仰．小颖想测量雕像的高，她先测得雕像的影长为，并在同一时刻测得一根长为的竹竿的影长是．请你帮她算一下，石雕妈祖像高是______m．

7．（2021·吉林·中考真题）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为__________．

8．（2021·江苏南通·中考真题）如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，，垂足分别为E，C．若测得，，，楼高是多少？

二练巩固
9．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（       ）mm

A． B． C． D．
10．（2021·河北·中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（       ）

A． B．
C． D．
11．（2021·广西梧州·模拟预测）某校兴趣小组为了测量教学大楼的高度，用1.5m的竹竿作为测量工具．在阳光明媚的某天，该兴趣小组移动竹竿，使得竹竿顶端的影子与楼顶的影子在地面处重合，如图，测得，，则教学楼的高是（     ）

A． B． C． D．
12．（2021·河北滦南·二模）如图，某数学活动小组为测量校园内移动信号转播塔的高度，他们先在水平地面上一点放置了一个平面镜，镜子与铁塔底端的距离，当镜子与与观测者小芳的距离时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端，已知小芳的眼睛距地面的高度，铁塔的高度为（       ）（根据光的反射原理，）

A． B． C． D．
13．（2021·全国·九年级专题练习）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云图”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云图”的水平距离为，则“步云图”的高度是（       ）m．

A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5
14．（2021·浙江温州·二模）如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示，其主体部分为矩形，由支撑杆垂直固定于底座上，且可以绕点旋转．压杆与伸缩片连接，点在上，可绕点旋转，，厘米，不使用时，，是中点，，且点在的延长线上，则的长为______厘米；使用时如图3，按压使得，此时点落在上，若厘米，则压杆到底座的距离为______厘米．

15．（2021·江苏工业园区·二模）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥，点O是正方形的中心垂直于地面，是正四棱锥的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥表示．

（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形的边长为，金字塔甲的影子是，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为______m．
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形边长为，金字塔乙的影子是，，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．
16．（2021·全国·九年级专题练习）九年级活动小组计划利用所学的知识测量操场旗杆高度．测量方案如下：如图，小卓在小越和旗杆之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小卓看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时看到旗杆顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记点C重合，这时测得小卓眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝1米，然后在阳光下，小越从D点沿DM方向走了15.8米到达F处此时旗杆的影子顶端与小越的影子顶端恰好重合，测得FG＝1.6米，FH＝3.2米，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM若测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息求出旗杆的高AB．

三练拔高
17．（2017·河北·模拟预测）如图，已知AE与BF相交于点D，AB⊥AE，垂足为点A，EF⊥AE，垂足为点E，点C在AD上，连接BC，要计算A、B两地的距离，甲、乙、丙、丁四组同学分别测量了部分线段的长度和角的度数，各组分别得到以下数据：
甲：AC、∠ACB；   
乙：EF、DE、AD；   
丙：AD、DE和∠DCB；     
丁：CD、∠ABC、∠ADB．
其中能求得A、B两地距离的数据有（　　）

A．甲、乙两组 B．丙、丁两组
C．甲、乙、丙三组 D．甲、乙、丁三组
18．（2021·河南渑池·九年级期末）20世纪90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．

19．（2021·陕西韩城·一模）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋．一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在F处竖立了一根标杆，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离米.已知米，米，米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在上，，，，．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树的高度．

20．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级阶段练习）小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如图：AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，CD是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂AE与地面BG平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端A、标杆顶端D和地面上一点G在同一直线上，此时小明发现路灯E、标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上．（路灯主杆底端B、标杆底端C和及地面上点F、点G在同一水平线上）这时小明测得FG长1.5米，路灯的正下方H距离路灯主杆底端B的距离为3米．请根据以上信息求出路灯主杆AB的高度．

21．（2021·内蒙古东胜·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：

小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔
（2）请求出丙树的高度．
22．（2020·广东开平·二模）如图，有一块三角形土地，它的底边BC＝100m，高AH＝80m．某单位要沿着底边BC修一座底面积是矩形DEFG的大楼．
（1）求地基的面积y（m2）和边EF的长x（m）的函数关系式；
（2）当地基的边长EF为多少时地基的面积最大，最大面积是多少？

23．（2018·陕西·九年级专题练习）小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在D点，人在G点正好看到树尖A．已知小明的眼睛距离地面1.70m，量得CD＝12m，CF＝1.8m，DH＝3.8m．请你求出松树的高．

24．（2020·陕西·九年级专题练习）大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范（如图①）．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C点处竖立一根标杆CD，此时，小花测得标杆CD的影长CE＝2米，CD＝2米；然后，小风从C点沿BC方向走了5.4米，到达G处，在G处竖立标杆FG，接着沿BG后退到点M处时，恰好看见紫云楼顶端A，标杆顶端F在一条直线上，此时，小花测得GM＝0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM＝1.5米，FG＝2米．
如图②，已知AB⊥BM，CD⊥BM，FG⊥BM，HM⊥BM，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB．

热点4：位似图形的性质及应用
一练基础
1．（2021·重庆十八中模拟预测）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：OE＝1：3，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．20
2．（2021·重庆·九年级专题练习）如图，△A'B′C'和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，OA'=2AA'，则△A'B'C'和△ABC的位似比为（　　）

A． B． C． D．
3．（2022·广东江城·九年级期末）如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是（       ）

A． B． C． D．
4．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝（　　）

A． B． C． D．
5．（2021·四川简阳·九年级阶段练习）如图，在直角坐标系中，OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与OAB的位似比为的位似图形OCD，则点C的坐标为 ___．

二练巩固
6．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，与位似，位似中心是点O，若，则与的周长比是（       ）

A． B． C． D．
7．（2021·重庆·九年级专题练习）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O是位似中心，若△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则CO：C ′O的值为（        ）

A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．1：3
8．（2021·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A(﹣4，2)，B(﹣6，﹣4)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．(﹣3，﹣2) B．(﹣12，﹣8)
C．(﹣3，﹣2)或(3，2) D．(﹣12，﹣8)或(12，8)
9．（2021·江苏·南通市新桥中学九年级阶段练习）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 　 　．
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 　 　．

三练拔高
10．（2021·河北·石家庄外国语学校三模）在图中，连接格点构成三角形，其中与阴影三角形成位似图形（全等图形除外）的有（     ）

A．个 B．个 C．个 D．个
11．（2020·辽宁盘锦·中考真题）三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是__________.
12．（2021·江苏建湖·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为___．

三、解答题
13．（2022·安徽怀宁·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正切值为　　．

14．（2021·甘肃·临泽二中九年级期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为2：1，并写出点A1的坐标；
（2）作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求出点B所经过的路径长．

15．（2021·广西·南宁市天桃实验学校三模）如图，的三个顶点都在平面直角坐标系的格点上，，请按要求在方格纸内作图．

（1）在图1中以为位似中心，作的位似图形，使与的位似比为；
（2）在图2的格点中标出点，使得与的面积相等，并直接写出点的坐标．