4.6 解直角三角形及其应用-中考数学一轮复习 知识点+练习

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第四章 三角形
4.6解直角三角形及其应用
一、课标解读
1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°,45°,60°角的三角函数值
2.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.
二、知识点回顾
知识点1. 锐角三角函数的概念：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.

正弦：sinA＝＝ ；余弦：cosA＝＝；正切：tanA＝＝；
知识点2. 特殊角的三角函数值：
三角函数
30°
45°
60°
图示
sinα




cosα



tanα

1

知识点3 . 解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求其余未知元素的过程叫做解直角三角形.
已知条件
解法
图示
一直角边和一锐角(a，∠A)
∠B＝90°－∠A，c＝，b＝(或b＝)

斜边和一个锐角(c，∠A)
∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA(或b＝)

两直角边(a，b)
c＝，由tanA＝求∠A，∠B＝90°－∠A

斜边和一条直角边(c，a)
b＝，由sinA＝求∠A，∠B＝90°－∠A



知识点4 相似三角形的判定方法
1.（1）仰角与俯角
在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．

(2)坡角与坡度
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角．i＝tanα＝ ．

(3)方位角
方位角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向所成的角(一般指锐角)，通常表示成北(南)偏东(西)几度．
2.解直角三角形的常见模型及辅助线的作法：
（1）母子型及其变形

（2）背靠背型及其变形


三、热点训练
热点1：锐角三角函数
一练基础
1．（2022·福建·晋江市季延中学九年级期末）在中，，，，则的值为（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先画图，再利用正弦的定义直接可得答案.
【详解】
解：如图，，，，


故选：C
【点睛】
本题考查的是锐角的正弦的定义，掌握“直角三角形中，锐角的正弦等于这个锐角的对边与斜边的比”是解题的关键.
2．（2021·黑龙江南岗·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正弦的定义列式计算即可．
【详解】
解：在△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∵BC=h，∠A=α，
∴sinα=，
∴AB=，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦是解题的关键．
3．（2018·贵州铜仁·中考模拟）在正方形网格中，在网格中的位置如图，则的值为（       ）

A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
过A点作ADBC，结合格点图形，利用勾股定理及锐角三角函数定义求解即可；
【详解】
解：如图，过A点作ADBC，在中，，则，
∴．
故答案为：A

【点睛】
本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形，熟练运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数值是解题的关键．
4．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是       (　　)

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出OA的长度，即可解决问题．
【详解】
解：点A的坐标为(4，3)，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角函数的定义，坐标与图形，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA的长度是解题的关键．
5．（2021·浙江萧山·一模）在中，，，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知给出的条件，知sinA=cosB=，逐个依次判断每个选项即可．
【详解】
解：由已知得sinA=cosB=，故C错误，D正确；
设BC=3k，AB=5k，则由勾股定理得AC=4k，
∴cosA=，故A错误；
sinB=，故B错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键．
6．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值等于（       ）

A． B．3 C．1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出△ABC三边的长，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，利用锐角三角函数得出结论．
【详解】
解：∵AC＝，AB＝，BC＝，
∴AC2＝2，AB2＝20，BC2＝18，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴tan∠BAC＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理及锐角三角函数的边角关系．利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形是解决本题的关键．
7．（2021·陕西·西安高新第一中学初中校区九年级期中）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为 __________________．

【答案】
【解析】
【分析】
作辅助线BD使∠ACB直角三角形BCD中，然后用正弦函数的定义即可．
【详解】
解：作如图所示的辅助线，则BD⊥AC，

∵BC＝，BD＝，
∴sin∠ACB＝，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查正弦的概念，根据题意得出相应边长是解题的关键．
8．（2021·广东·东莞市翰林实验学校一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝，AC＝12，则BC=___．

【答案】9
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD=∠A，根据正切的定义计算即可
【详解】
解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A，
在Rt△ACB中，
∵tanA=tan∠BCD==，
∴BC=AC=×12=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了解直角三角形：掌握正切的定义是解题的关键．
二练巩固
9．（2021·全国·九年级课时练习）如图，的三个顶点都在边长为1的格点图上，则的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据网格的特点，找到点所在网格的顶点，连接，通过勾股定理的逆定理判断是直角三角形，进而根据正弦的定义求得       的值．
【详解】
如图，连接，

根据网格的特点可知：
，
，
是直角三角形，
，
，
故选B
【点睛】
本题考查了求一角的正弦，网格中证明三角形是直角三角形，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，证明是是直角三角形解题的关键．
10．（2021·全国·九年级课时练习）如图，正方形ABCD的边长为6，AC为对角线，取AB中点E，DE与AC交于点F．则sin∠DFC＝（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接BD与AC交于点O，利用勾股定理求得DE，OD，根据正方形的性质证明△AFE∽△CFD，然后根据相似三角形的性质求得DF，进而可求．
【详解】
解：连接BD与AC交于点O，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAD＝90°，AC⊥BD，OD＝，AB∥CD，AD＝AB＝CD＝6，
∴∠DOF＝90°，∠EAF＝∠DCF，OD＝3，
∵E为AB中点，
∴AE＝AB＝＝3，
由勾股定理得，DE＝，
∵∠EAF＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，
∴△AFE∽△CFD，
∴，
∴DF＝DE＝2，
∴sin∠DFC＝，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解题关键是构造直角三角形和找出相似三角形进行求解．
11．（2021·广西·台州市书生中学模拟预测）如图，在中，，，，点是斜边上的动点且不与，重合，连接，点与点关于直线对称，连接，当垂直于的直角边时，的长为__．

【答案】1或3
【解析】
【分析】
先利用三角函数值和勾股定理求出AB=5，BC=3，然后进行讨论当和时，利用平行线和等腰三角形的性质与判定进行求解即可．
【详解】
解：，，∠C=90°
，
，
①如图1中，当时，设直线交于，
由轴对称的性质可知，直线平分，
∴平分，
，
∵AC⊥BC，，
，
，
，
；

②当于时，同法可证，
综上所述，满足条件的的值为1或3．
故答案为：1或3．

【点睛】
本题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想进行求解．
12．（2021·广东南海·二模）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知BF＝6cm，且tan∠BAF＝，则折痕AE长是________．

【答案】
【解析】
【分析】
由折叠的性质得AF＝AD，EF＝DE，由矩形的性质得AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝∠D＝90°，再由解得AB的值，由勾股定理得AF，知AD，CF的值，设EF＝DE＝xcm，则CE＝AB﹣DE＝（8﹣x）cm，然后在Rt△EFC中，由勾股定理求出x的值，在Rt△ADE中，由勾股定理得，计算求解即可．
【详解】
解：由折叠的性质得：AF＝AD，EF＝DE
∵四边形ABCD为矩形
∴AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝∠D＝90°
∵
∴
由勾股定理得（cm）
∴AD＝BC＝10（cm）
∴CF＝BC﹣BF＝4（cm）
设EF＝DE＝xcm，则CE＝（8﹣x）cm
在Rt△EFC中，由勾股定理得x2＝42+（8﹣x）2
解得：x＝5
∴DE＝5cm
在Rt△ADE中，由勾股定理得（cm）
故答案为：cm．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正切．解题的关键在于找出线段的数量关系，多次运用勾股定理求解．
13．（2021·江苏·苏州市相城区望亭中学一模）如图将绕斜边中点O旋转一定的角度得到，已知，则______．

【答案】
【解析】
【分析】
连接OC、CE，作CH⊥AB于H，OM⊥CE于M，证明A、E、C、B、F共圆，根据圆周角定理和等腰三角形的三线合一性质证得∠CAE=∠COM，利用勾股定理和等面积法求得AB、CH，证明AB∥CE得到OM=CH，解直角三角形即可求解．
【详解】
解：如图，连接OC、CE，作CH⊥AB于H，OM⊥CE于M，
∵绕斜边中点O旋转一定的角度得到，
∴OA=OB=OC=OE=OF，BC=AE，
∴A、E、C、B、F共圆，
∴∠CAE= ∠COE，
∵OE=OC，OM⊥CE，
∴∠COM= ∠COE，
∴∠CAE=∠COM，
∵AC=8，BC=6，∠ACB=90°，
∴，即OC=5，
∵CH⊥AB，
∴，
∵BC=AE，
∴∠BAC=∠ECA，
∴AB∥CE，
∴OM=CH=，
在Rt△COM中，cos∠COM==，
∴cos∠CAE=cos∠COM=，
故答案为：．

【点睛】
本题考查旋转的性质、圆的有关定义、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定、平行线间的距离相等、余弦等知识，解答的关键是证明共圆解决问题．
14．（2021·福建·厦门市松柏中学二模）如图，在中，∠BAC＝90°，将绕直角顶点A逆时针旋转一定角度后得到，当点D在边BC上时，连接CE．
（1）若旋转角为60°，求∠ACB的度数；
（2）若AB＝3，AC＝4，求sin∠DAC的值．

【答案】（1）30°；（2）
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质得出，，进而由等腰三角形的性质及三角形的内角和得出，最后再由直角三角形的两个锐角互余即可求得答案；
（2）由勾股定理求出，过点作于点，由三角形的面积求出的长，进而可求出，的长，则可得出答案．
【详解】
解：（1）将绕直角顶点旋转一定角度后得到，旋转角为60°，
，，
，
，
，
∴∠ACB的度数为30°；
（2），，，
，
如图，过点作于点，

，
，
，
，，
，
，
设与相交于点，
∵将绕直角顶点旋转一定角度后得到，
，，，
，，
，
∴，
，
又，，
，
又∵旋转，
∴，，
，，
，
，，
，
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
三练拔高
15．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在边长为的正方形中，分别为的中点，连接交于点，将沿对折，得到，延长交延长线于点．下列结论①； ②；③； ④，正确的有（          ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
①△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB；
②首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到AE⊥BF；
④利用QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；
③可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】
解：①根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°

∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠PFB，
∴QF＝QB，故正确；
②∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF，故正确；
④由①知，QF＝QB，
令PF＝k（k＞0），则PB＝2k
在Rt△BPQ中，设QB＝x，
∴x2＝（x﹣k）2+4k2，
∴x＝，
∴sin∠BQP＝，故正确；
③∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∵BE＝BC，BF＝BC，
∴BE：BF＝1：，
∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，
∴S四边形ECFG＝4S△BGE，故正确．
综上所述，共有4个结论正确．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解题关键在于熟练掌握相关知识进行求解．
16．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形为矩形，点为边一点，将沿折叠，点落在矩形内的点处，连接，且，的正弦值为，则的值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
过点F作FP⊥AB于点P，根据折叠的性质及BE=EF，可得∠AED=∠EBF，从而可得△ADE∽△PFB，由的正弦值为，设EF=25a，则PF=24a，由勾股定理求得PE=7a，从而可得BP，则由相似可得，再由折叠的性质可得点E是AB的中点，从而可求得结果．
【详解】
如图，过点F作FP⊥AB于点P
由折叠的性质可得：AE=EF，∠AED=∠FED
∵BE=EF
∴BE=AE=EF，∠EFB=∠EBF
∵∠BEF+2∠AED=∠BEF+2∠EBF=180゜
∴∠AED=∠EBF
∵四边形ABCD为矩形，PF⊥AB
∴∠A=∠FPB=90゜
∴△ADE∽△PFB
∴
∵在中，
∴设EF=25a，则PF=24a
由勾股定理求得
∴BP=BE－PE=18a
∴
∴
∴
故选：A．

【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，关键是由正弦值出发设EF与PF的长，难点是证明△ADE∽△PFB．
17．（2021·广东·可园中学二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②PC＝MP；③tan∠NMF＝；④点F是△CMP外接圆的圆心；⑤S四边形PMCG＝6S△PNM．其中正确的是（　　）

A．①④ B．②④⑤ C．②⑤ D．①②④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠的性质得到∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP，于是得到∠PME+∠CME＝180°＝90°，求得△CMP是直角三角形，①正确，符合题意；由折叠可得∠DMC＝∠MCP，易得△DMC∽△MCP，则，易得CP＝MP，故②错误，不符合题意；由图形可知∠NMF＝∠ECF，则tan∠NMF＝tan∠PCG＝＝，故③错误，不符合题意；由折叠易得∠EMC＝∠MCP，∠EMP＝∠MPC，所以PF＝FM＝FC，即点F是△CMP的外接圆的圆心，故④正确，符合题意；由图形可知，S四边形PMCG＝S梯形PMEG+S△MCE＝S梯形PMAB+S△MCD，可表示四边形PMCG的面积和△PNM的面积，可得S四边形PMCG＝5S△PNM，故⑤错误，不符合题意．
【详解】
解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠DMC＝∠EMC，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠AMP＝∠EMP，
∵∠AMD＝180°，
∴∠PME+∠CME＝×180°＝90°，
∴△CMP是直角三角形；故①正确，符合题意；
在矩形ABCD中，AD＝2AB，设AB＝a，则CD＝a，AD＝BC＝2a
将矩形ABCD对折，得到折痕MN，
∴AM＝DM＝BN＝CN＝a，
在Rt△CDM中，∠D＝90°，CM＝a，
由①知，∠CMP＝90°，
∴∠CMP＝∠D，
∵AD∥BC，
∴∠DMC＝∠MCP，
∴△DMC∽△MCP，
∴，
∴＝，即CP＝MP，故②错误，不符合题意；
由上可知，△DMC∽△MCP，
∴MC2＝CP•DM，即（a）2＝a•CP，
∴CP＝a，
∴BP＝a，
由折叠可知，PG＝BP＝a，∠G＝∠B＝90°，∠MEG＝∠A＝90°，∠MEC＝∠D＝90°，GE＝AB＝a，CE＝CD＝a，
∴点C，E，G三点共线，
∴CG＝2a，
∴tan∠PCG＝＝＝，
又∠MNC＝∠MEC＝90°，∠MFN＝∠EFC，
∴∠NMF＝∠ECF，
∴tan∠NMF＝tan∠PCG＝，故③错误，不符合题意；
由折叠可知，∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP，
又∵AD∥BC，
∴∠DMC＝∠MCP，∠AMP＝∠MPC，
∴∠EMC＝∠MCP，∠EMP＝∠MPC，
∴PF＝FM＝FC，即点F是△CMP的外接圆的圆心，故④正确，符合题意；
如图，S四边形PMCG＝S梯形PMEG+S△MCE＝S梯形PMAB+S△MCD，
∵S梯形PMAB＝•（BP+AM）•AB＝×（a+a）×a＝a2，
S△MCD＝•MD•CD＝×a•a＝a2，
∴S四边形PMCG＝a2，
又S△PNM＝•MN•PN＝a•a＝a2，
即S四边形PMCG＝5S△PNM，故⑤错误，不符合题意．
∴符合题意的有2个．
故选：A．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，求正切值，三角形的外心的判定，掌握以上知识是解题的关键．
18．（2021·江苏·扬州市梅岭中学二模）如图：在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，且四边形ABCD为矩形，，，点D与点A关于y轴对称，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且．

（1）求证：；
（2）当是等腰三角形，求DE的长；
（3）当CF的长最小时，求的内切圆圆心G的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）或；（3）点G的坐标为（-1，1）
【解析】
【分析】
（1）根据两角对应相等两三角形相似即可得证；
（2）分①和②，两种情况加以讨论即可；
（3）设，，先证得，从而得出，继而得出当时，CF的长最小，再根据切线长定理得出即可得出答案；
【详解】
（1）∵点D与点A关于y轴对称，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
∴
（2）∵点E不与点D重合，
∴点F不与点A重合
∴，
∴，
∴
①若
∵，
∴，
∴
∵，
∴设，则，由勾股定理得
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，∴
②若，则，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴
（3）设，，
∵，
∴
∴，
∴
∵
∴当时，CF的长最小，此时点E与点O重合
设切三边于M、N、P，的半径为r
则，，
∵，
∴，
∴
∴点G的坐标为（-1，1）．

【点睛】
此题属于相似形综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用二次函数求最值，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
热点2：特殊角三角函数
一练基础
1．（2021·广东斗门·一模）计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】
先运用绝对值、特殊角的三角形函数值、负整数次幂、零次幂的知识化简，然后再计算即可．
【详解】
解：
=
=
．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角形函数值、负整数次幂、零次幂等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
2．（2021·广东·汕头市潮南实验学校一模）计算：
【答案】
【解析】
【分析】
根据立方根，绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算原理计算即可．
【详解】
解：

．
【点睛】
本题考查了立方根，绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算，熟练掌握运算原理是解题的关键．
3．（2022·甘肃平凉·模拟预测）计算：
【答案】-2-．
【解析】
【分析】
先将特殊角三角函数值代入同时计算加减法与零指数幂，再计算加减法则即可．
【详解】
解：，
=-3+1-，
=-2-．
【点睛】
本题考查含有特殊角三角函数的混合运算，零指数幂，熟练掌握特殊角三角函数值，零指数幂注意事项，实数运算法则是解题关键．
二练巩固
4．（2021·福建·邵武市教师进修学校模拟预测）计算：4sin60°﹣|﹣2|﹣ +（﹣1）2021
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据特殊角三角函数，绝对值，有理数的乘方，化简二次根式的计算法则求解即可．
【详解】
解：原式=     

= -3．
【点睛】
本题主要考查了特殊角三角函数，绝对值，有理数的乘方，二次根式的化简，熟知相关近计算法则是解题的关键．
5．（2022·上海市罗星中学模拟预测）计算：
【答案】
【解析】
【分析】
先将特殊角的锐角三角函数值代入，再化简，即可求解．
【详解】
解：


．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的锐角三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．
6．（2021·安徽·合肥一六八中学模拟预测）计算：．
【答案】－3
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值分别代入，结合零指数幂的性质以及实数运算法则，计算得出答案．
【详解】
解：原式


．
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题关键．
三练拔高
7．（2021·四川内江·中考真题）计算：．
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．
【详解】
解：原式

．
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等知识点，熟知相关运算法则是解题的关键．
8．（2021·江苏·连云港市新海实验中学三模）计算：
【答案】5
【解析】
【分析】
原式利用零指数幂、算术平方根、特殊角三角函数值以及乘方的意义计算即可求出答案．
【详解】
解：
=
=
=5
【点睛】
本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
9．（2022·甘肃平凉·模拟预测）先化简再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将m的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：
=
=
=
=
当时，原式=
【点睛】
考查了分式的化简求值以及运用特殊角三角函数值计算，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
热点3：解直角三角形的实际应用
一练基础
1．（2022·浙江镇海·九年级期末）如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为，那么滑梯长为 （       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知转化为解直角三角形问题，角α的正弦等于对边比斜边求出滑梯长l．
【详解】
解：由已知得：，
∴，
故选A．
【点睛】
此题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度较问题，关键是把实际问题转化为解直角三角形．
2．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（　　）

A．30海里 B．海里 C．20海里 D．海里
【答案】D
【解析】
【分析】
根据时间、速度、距离之间的关系求出AC，根据等腰直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：如图：由题意得，AC＝60×0.5＝30海里，

∵CD∥BF，
∴∠CBF＝∠DCB＝60°，又∠ABF＝15°，
∴∠ABC＝45°，
∵AE∥BF，
∴∠EAB＝∠FBA＝15°，又∠EAC＝75°，
∴∠CAB＝90°，
∴，
∴BC＝AC＝30海里，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD．测得BC＝9m，CD＝6m，斜坡CD的坡度i＝1：，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为_____．

【答案】
【解析】
【分析】
延长AD交BC的延长线于F，作DG⊥BF于G，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DC、CG的长，根据正切的定义解答即可．
【详解】
解：如图，延长AD交BC的延长线于F，作DG⊥BF于G，

∵∠ADE＝30°，
∴∠AFB＝30°，
∵CD＝6m，斜坡CD的坡度i＝1：，
∴tan∠DCG＝＝＝，
∴∠DCG＝30°，
∴DG＝3m，CG＝3m，
∴∠DFC＝∠DCF＝30°，
∴DF＝DC，
∵DG⊥BF，
∴FG＝CG＝3m，
∴FC＝6m，
∴FB＝FC+BC＝（6+9）m，
∴AB＝BF×tan∠AFB＝（6+9）×＝（6+3）m．
故答案为：（6+3）m．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，坡比和解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
4．（2022·河南·九年级专题练习）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）

【答案】中原福塔CD的总高度约为389m．
【解析】
【分析】
设AC为xm，则CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，可得BC=AC=x，从而得到CE=x+20，然后在Rt△DCE中，利用锐角三角函数，可得到tan∠DEC=，即可求解．
【详解】
解：如图，设AC为xm，则CD=（x+120）m，

在Rt△ACB中，∠ABC=45°，
∴BC=AC=x，
∴CE=x+20，
在Rt△DCE中，tan∠DEC=，∠DEC=53.4°，
即≈1.346，
解得：x≈269.0，
∴CD=x+120=389.0≈389米，
答：中原福塔CD的总高度约为389m．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形及其应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键．
5．（2021·甘肃兰州·中考真题）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的长度（，，三点共线），在水平地面点测得，，点与大楼底部点的距离，求避雷针的长度．（结果精确到．参考数据：，，，，，）

【答案】
【解析】
【分析】
根据，然后根据即可得出答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，即，
解得：m，
∵，
∴，即，
解得：m，
∴m ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形，将实际问题转换为解直角三角形的问题是解答此题的关键．
6．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）如图，一扇窗户垂直打开，即，是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在上滑动，将窗户按图示方向向内旋转到达位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测出此时为，的长为．求滑动支架的长．

【答案】
【解析】
【分析】
题目中出现了特殊角度和，因此可以构造直角三角形，再利用特殊角的三角函数值，即可求解出对应线段的长度．
【详解】
解：如图，过点B作于点E，

由题意可知：
∵
∴
在中，
∴
∴
∵
∴
答：滑动支架的长为．
【点睛】
本题主要考查了特殊角度的三角函数值，在遇到特殊角度时，适当添加垂线，构造直角三角形是解决本题的关键．
二练巩固
7．（2021·重庆十八中模拟预测）数学实践活动课中小明同学测量某建筑物CD的高度，如图，已知斜坡AE的坡度为i＝1：2.4，小明在坡底点E处测得建筑物顶端C处的仰角为45°，他沿着斜坡行走13米到达点F处，在F测得建筑物顶端C处的仰角为35°，小明的身高忽略不计．则建筑物的CD高度约为（　　）（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）

A．28.0米 B．28.7米 C．39.7米 D．44.7米
【答案】D
【解析】
【分析】
过点F作FG⊥BD于G，FH⊥CD于H，设FG=x米，则EG=2.4x米，在Rt△FGE中，由勾股定理解得FG=5，EG=12，证明△CDE是等腰直角三角形，则CD=DE，设CD=y米，在Rt△CHF中，由三角函数定义求解即可．
【详解】
过点F作FG⊥BD于G，FH⊥CD于H
则∠CFH＝35°，四边形DGFH是矩形，
∴HF＝DG，DH＝FG，
∵斜坡AE的坡度为i＝1：2.4，
∴设FG＝x米，则EG＝2.4x米，
在Rt△FGE中，由勾股定理得：EF2＝FG2+EG2，
即：132＝x2+（2.4x）2，
解得：x＝5，
∴FG＝5，EG＝12，
∵∠CED＝45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE，
设CD＝y米，则CH＝（y﹣5）米，
Rt△CHF中，tan∠CFH＝，
即tan35°＝，则y﹣2＝tan35°×（y+12），
解得：y≈44.7，
即建筑物的CD高度约为44.7米；
故选：D．

【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键
8．（2021·广西河池·中考真题）如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为，从A处看风筝的仰角为，小明的父母从C处看风筝的仰角为．

（1）风筝离地面多少m？
（2）AC相距多少m？（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，，）
【答案】（1）50；（2）128.6
【解析】
【分析】
（1）如图，过作，根据的正弦及的长即可求得即风筝的高度；
（2）分别根据的余弦以及的正切求得，进而求得．
【详解】
（1）如图，过作


m，
风筝离地面50m
（2）




相距128.6m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题的关键．
9．（2021·广东花都·二模）一辆小汽车在某城市道路上自西向东行驶，某“玩转数学”活动小组在距路边20米的点C处放置了“检测仪器”，测得该车从北偏西60°方向的点A行驶到东北方向的点B，所用时间为6秒．
(1)求AB的长；
(2)求该车的速度约为多少米/秒？（精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈1.732）

【答案】(1)20+20
(2)9.1米/秒
【解析】
【分析】
（1）先在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数求出AD， BD，即可求解；
（2）根据路程÷时间＝速度进行计算即可．
(1)
解：由题意可知，CD＝20m，∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，CD＝20m，
∴（m），
在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，CD＝20m，
∴BD＝CD＝20m，
∴m，
答：AB的长度为m；
(2)
解：该车的速度为（米/秒），
则该车的速度约为9.1米/秒．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是准确构造直角三角形．
10．（2021·安徽·九年级专题练习）如图，兰兰站在河岸上的点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.6米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度，坡长米，求小船到岸边的距离的长?（参考数据：，结果保留1位小数）

【答案】9.4米
【解析】
【分析】
构造直角三角形，则AB和CD都为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH-AE-EH即为AC长度．
【详解】
解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得和矩形BEHG．

∵
∴
∴
∵AB=10米
∴米，米．
∴米
∵DG=1.6米，BG=EH=1米，
∴DH=DG+GH=1.6+8=9.6米，米．
在中，
∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.6米，，
∴米．
又∵，
即，
∴（米）．
∴
答：的长约是米．
【点睛】
此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．
三练拔高
11．（2021·四川巴中·中考真题）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．

【答案】（1）12m；（2）25.6m
【解析】
【分析】
（1）延长BA交CG于点E，根据直角三角形的性质求出AE，根据正切的定义求出CE，再根据正切的定义求出BE，计算即可；
（2）根据正切的定义求出DE，进而求出CD．
【详解】
解：（1）延长BA交CG于点E，

则BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=12m，
∴AE=AC=×12=6（m），CE=AC•cosα=12×=（m），
在Rt△BCE中，∠BCE=60°，
∴BE=CE•tan∠BCE==18（m），
∴AB=BE-AE=18-6=12（m）；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE=27°，
∴DE=≈36（m），
∴CD=DE-CE=≈25.6（m）．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．
12．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．托板AB＝120mm，支撑板CD＝80mm，底座DE＝90mm．托板AB与支撑板顶端C连接，CB＝40mm，AB可绕点C转动，CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）

（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839；sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，）
【答案】（1）；（2）33.4°
【解析】
【分析】
（1）作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，作CF⊥AM于F，作CN⊥DE于N，利用三角函数的比值关系分别求出和的长即可；
（2）作出旋转后图形，利用利用三角函数的比值关系列式运算即可．
【详解】
解：（1）如图2，作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，作CF⊥AM于F，作CN⊥DE于N

得矩形CFMN，Rt△ACF，Rt△CDN，∠AFC＝∠CNM＝∠FCN＝90°
由题意，可知AB＝120，CB＝40，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，
∴AC＝80，
在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝＝FM，
∠DCN＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠DCB＝80°，   ∴∠BCN＝50°，
∴∠ACF＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°≈80×0.643≈51.44，
∴AM＝AF＋FM≈51.44＋≈120.7，
答：点A到直线DE的距离约为120.7mm
（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°＋10°＝90°

在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40，
∴tan∠D，
∴∠D≈26.6°，
因此旋转的角度为：60°－26.6°≈33.4°，
答：CD旋转的角度约为33.4°．
【点睛】
本题主要考查了解三角函数的实际应用，根据题意作出图形，掌握三角函数的比值关系是解题的关键．
13．（2021·甘肃·兰州市第五十五中学二模）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度，图2是这种升降熨烫台的平面示意图，和是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，，，表示熨烫台的高度．

（1）如图2，若，．
①点O到的距离为__________，的长为__________（结果保留根号）；
②若，则熨烫台的高度h=__________；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为时，两根支撑杆的夹角是74°（如图3）．求该熨烫台支撑杆的长度．
（参考数据：，，，
【答案】（1）①40，80；②50；（2）支撑杆AB长160cm．
【解析】
【分析】
（1）过点O作OE⊥AC，垂足为E，利用等腰三角形的三线合一可得出∠AOE的度数及AC=2AE，在Rt△AEO中，通过解直角三角形可求出AE的长，再结合AC=2AE即可求出AC的长；
（2）过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF=128cm，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠OAC的度数，在Rt△ABF中，通过解直角三角形即可求出AB的长．
【详解】
解：（1）①如图2，过点O作OE⊥AC，垂足为E，

∵AO=CO=80cm，
∴∠AOE=∠AOC=×120°=60°，AC=2AE．
在Rt△AEO中，OE=OA=40（cm），
AE=AO•sin∠AOE=80×=40（cm），
∴AC=2AE=80．
答：AC的长为80cm；
②延长EO交BD于F，
∵DB∥AC，
∴∠BFO=90°，∠FBO=30°，
∵OB=20cm，
∴OF=OB=×20=10（cm），
∴h=OF+OE=10+40=50，
故答案为：40，80，50；
（2）如图，过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF=128cm，

∵AO=CO，∠AOC=74°，
∴∠OAC=∠OCA==53°，
在Rt△ABF中，AB===160（cm），
答：支撑杆AB长160cm．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）在Rt△AEO中，通过解直角三角形求出AE的长；（2）在Rt△ABF中，通过解直角三角形求出AB的长．
14．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树是直立于水平面，为测量古树的高度，小明从古树底端出发，沿水平方向行走了26米到达点，然后沿斜坡前进，到达坡顶点处，．在点处放置测角仪，测角仪支架高度为0.8米，在点处测得古树顶端点的仰角为（点、、、在同一平面内），斜坡的坡度（或坡比）．
（1）求斜坡的高；
（2）求古树的高？（已知，，）

【答案】（1）10米；（2）24.3米．
【解析】
【分析】
（1）过点E作EM⊥AB与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设DG＝x，则CG＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而即可求解；
（2）由CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM＝BG，BM＝EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．
【详解】
解：（1）过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，

∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝26米，
∴设DG＝x，则CG＝2.4x．
在Rt△CDG中，
∵DG2＋CG2＝DC2，即x2＋（2.4x）2＝262，解得x＝10，
∴DG＝10米，即：斜坡的高为10米；
（2）∵DG＝10米，
∴CG＝24米，
∴EG＝10＋0.8＝10.8米，BG＝26＋24＝50米．
∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，
∴四边形EGBM是矩形，
∴EM＝BG＝50米，BM＝EG＝10.8米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝15°，
∴AM＝EM•tan15°≈50×0.27＝13.5米，
∴AB＝AM＋BM＝13.5＋10.8≈24.3（米）．
答：建筑物AB的高度约为24.3米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点为与的交点．已知，前排光伏板的坡角．
（1）求的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角．后排光伏板的前端在上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：
三角函数锐角
13°
28°
32°

0.22
0.47
0.53

0.97
0.88
0.85

0.23
0.53
0.62

【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）解Rt△ADF求出AF，再解Rt△AEF求出AE即可；
（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，解Rt△ADF求出DF，Rt△DFG求出FG，得到AG，解Rt△AMN求出AM，根据AM-AE可求出结论．
【详解】
解：（1）在Rt△ADF中，
∴
=
=
=88cm
在Rt△AEF中，
∴
（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，

则
∴
在Rt△ADF中，
在Rt△DFG中，
∴
∴AG=AF+FG=88+75.8=
∵AN⊥GD
∴∠ANG=90°
∴
在Rt△ANM中，
∴
∴
∴的最小值为
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．