7.1 图形的对称-中考数学一轮复习 知识点+练习

这是一份7.1 图形的对称-中考数学一轮复习 知识点+练习，文件包含71图形的对称-解析版docx、71图形的对称-原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共85页， 欢迎下载使用。
第七章 图形的变化
7.1图形的对称
一、课标解读
1.通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质。
2.能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形。
3.了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。
4.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。
二、知识点回顾
知识点1.轴对称和轴对称图形

轴对称
轴对称图形
定义
如果它能够与另一个图形重合
那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点，叫做对称点
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴如:线段、角、等腰三角形、特殊的平行四边形、圆等都是轴对称图形.
区别
由两个全等图形构成.
具有特殊形状的一个图形.
联系
(1)沿对称轴对折两部分重合;
(2)把成轴对称的两个图形看成一一个整体，它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称.
性质
(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形对应线段相等，对应角相等;
(2)任何一对对应点的连线被对称轴垂直平分;
(3)对应线段或延长线的交点在对称轴上;
(4)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
知识点2. 中心对称和中心对称图形

中心对称
中心对称图形
定义
把一个图形绕着某一点旋转180°如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点
把-一个图形绕着某一个点旋转180°如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心如:线段、平行四边形及特殊的平行四边形、正2n边形(n为正整数)、圆等，都是中心对称图形.
区别
由两个全等图形构成.
具有特殊形状的一个图形.
联系
(1)沿对称轴旋转两部分重合;
(2)把成中心对称的两个图形看成一一个整体，它就是一个中心对称图形.把一个中心对称图形沿过对称中心的直线分成两个图形，这两个图形关于这个中心对称.
性质
(1)成中心对称的两个图形是全等图形;
(2)成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过@对称中心,并且被对称中心平分;
(3)成中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一条直线比)且相等.
三、热点训练
热点1：对称图形的识别
一练基础
1．（2021·山东青岛·一模）下列4个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2．下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
3．（2021·山东沂水·一模）下列选项是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（　　）
A．打喷嚏捂鼻子 B．喷嚏后慎揉眼
C．戴口罩讲卫生 D．勤洗手勤通风
4．（2021·广东·汕头市潮南实验学校一模）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ）
A． B． C． D．
5．（2021·广东花都·二模）如图，圆柱的主视图（　　）

A．是轴对称图形但不是中心对称图形 B．是中心对称图形但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
二练巩固
6．（2017·四川渠县·中考模拟）下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2021·山东·济宁学院附属中学一模）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
8．（2021·山东兰陵·九年级期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
9．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（     ）
A． B． C． D．
10．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具备对称性，下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
三练拔高
11．（2021·广西桂林·中考真题）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2021·湖北荆门·中考真题）下列图形既是中心对称又是轴对称的是（     ）
A． B． C． D．
13．（2021·广东·三模）以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、浙江大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
14．（2021·山东聊城·中考真题）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是__________．
15．（2021·浙江北仑·一模）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图1中四边形就是一个“格点四边形”．

（1）求图中四边形的面积等于________；
（2）在图2中，作出绕点B顺时针旋转90°后的；
（3）在图3中，画个格点，使的面积等于四边形的面积且为轴对称图形．
热点2：坐标系内的坐标变换
一练基础
1．（2021·山东台儿庄·二模）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，则点P'关于x轴对称点的坐标为（　　）
A．（0，﹣2） B．（0，2） C．（﹣6，2） D．（﹣6，﹣2）
2．（2021·广东·东莞市东莞中学初中部二模）已知点P（3，1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a，﹣1﹣b），则ab的值为__．
3．（2021·福建·模拟预测）点关于直线对称的点的坐标是_________．
4．（2021·湖北·武汉六中上智中学模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，那么________．
5．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）如果将一次函数的图象关于y轴对称，所得的图象经过点，则b的值为（       ）
A．1 B． C．5 D．
6．（2021·广东越秀·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点与点关于原点对称，则点的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）
7．（2021·山东黄岛·二模）如图， 的个顶点都在格点上，将先向左平移个单位长度，再作关于原点的中心对称图形，得到，则点的对应点的坐标是（        ）

A． B． C． D．
8．（2021·山东淄川·一模）若点与点是正比例函数图象上关于原点的对称点，则的值为（       ）
A． B． C．1 D．－1
二练巩固
9．（2021·福建漳平·九年级期中）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（       ）
A．点A先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（3，2）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）
D．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）
10．（2021·浙江·杭州育才中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将先沿轴翻折，再向上平移2个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为（       ）

A． B． C． D．
11．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是，则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（       ）

A． B． C． D．
12．（2021·内蒙古青山·二模）若直线l1经过点（0，3），直线l2经过点（5，2），且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（﹣3，0） D．（3，0）
13．（2021·广东海珠·一模）如图，已知坐标原点为平行四边形的对角线的中点，顶点的横坐标为4，平行轴，且长为5．若平行四边形的面积为10，则顶点的坐标为__________．

14．（2021·广西柳州·一模）如图，在中，，且点A的坐标是（2，0）

（1）写出点B的坐标是__________；
（2）将点B向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C，则点C的坐标为__________；
（3）点C与点D关于原点O对称，则点D的坐标为__________；
（4）将点A绕点O按逆时针方向旋转90°，得到点E，则的面积是__________．
（把答案填在相应的横线上，不用书写解答过程）
15．（2021·河南·一模）如图，抛物线y＝ax2﹣4x+c经过点A（2，﹣2），且当x＝1时，函数y有最小值．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点B的坐标为（﹣3，﹣4），点B关于原点的对称点为B'，点C是抛物线对称轴上一动点，若抛物线在直线BB'下方的部分与直线BC有公共点，求点C纵坐标yc的取值范围．

16．（2021·河北滦州·一模）如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x＝－5与x轴交于点D，直线与x轴及直线x＝－5分别交于点C，E．点B，E关于x轴对称，连接AB．

（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；
（2）设面积的和S＝S△CDE＋S四边形ABDO，求S的值；
（3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．
三练拔高
17．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为__________．

18．（2021·福建·武夷山市第二中学九年级期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则(n是正整数)的顶点的坐标是_______．

19．（2019·吉林汽车经济技术开发区·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）抛物线的对称轴为直线________．
（2）当时，函数值的取值范围是，求和的值．
（3）当时，解决下列问题．
①抛物线上一点到轴的距离为6，求点的坐标．
②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到的新图象记为，设的最高点、最低点的纵坐标分别为、，若，直接写出的取值范围．
热点3：与折叠（轴对称）有关的问题
一练基础
1．（2022·全国·九年级专题练习）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，则m，n的值为（　　）
A．m＝﹣6，n＝﹣3 B．m＝﹣6，n＝3 C．m＝6，n＝﹣3 D．m＝6，n＝3
2．（2019·湖南洞口·一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，动点P从点C出发沿CB方向以3cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿BA方向以2cm/s的速度向点A运动，将△APQ沿直线AB翻折得△AP′Q，若四边形APQP′为菱形，则运动时间为（　　）

A．1s B． s C． s D． s
3．（2019·山东平原·中考模拟）如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM＝DM；②∠ABN＝30°；③AB2＝3CM2；④△PMN是等边三角形．
正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021·全国·九年级专题练习）在矩形ABCD中，点A关于角B的角平分线的对称点为E，点E关于角C的角平分线的对称点为F，若AD＝AB＝3，则S△ADF＝（　　）

A．2 B．3 C． D．
5．（2021·河南·中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为__________．

6．（2020·宁夏·银川唐徕回民中学三模）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是_______．

7．（2021·四川·成都铁路中学九年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，tan∠A＝，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为_____．

二练巩固
8．（2021·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（       ）

A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3
9．（2021·广东澄海·一模）如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处．下面结论：①是的中点；②；③；④当四边形是平行四边形时，．其中正确的个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2021·天津西青·一模）如图，在菱形中，分别是边的中点，P是对角线上一动点，已知菱形边长为5，对角线长为6，则周长的最小值是（ ）

A．11 B．10 C．9 D．8
11．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）如图，中，，，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为________．

12．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，，以O为圆心，4为半径作弧交于点A，交于点B，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点D，E为上一动点，连接，，则阴影部分周长的最小值为_________．

13．（2021·河南淅川·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．

14．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为___________．

三练拔高
15．（2021·河南驻马店·二模）如图，在中，，，，为边上的一个动点（不与端点、重合），点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，与边、分别相交于点、．当的周长最小时，的周长是_____．

16．（2021·河北·模拟预测）【问题探究】在等边三角形中，于点，．
（1）如图1，为的中点，则点到的距离为______；
（2）如图2，为上一动点．则的最小值为______；
【问题解决】如图3，，两地相距，是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点到的距离为．今计划在铁路线上修一个中转站，再在间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由到再通过公路由到的总运费达到最小值，中转站应修在距地______处．

17．（2021·辽宁·沈阳实验中学二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，直线交于点D，交于点E，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，到点B停止，设的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）．

（1）求点D和点E的坐标；
（2）求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围（当三角形不存在时，默认面积为0）；
（3）当点P在边上运动，且的值最小时，直接写出运动时间t的值．
18．（2021·陕西莲湖·二模）（1）如图1，在等边中，．点P、D、E分别为边、、上（均不与端点重合）的动点．
①当点P为的中点时，在图1中，作出，使的周长最小，并直接写出的周长的最小值；
②如图2，当时，求的周长的最小值．
（2）如图3，在等腰中．，，，点P、Q、R分别为边、、上（均不与端点重合）的动点，求周长的最小值并简要说明理由．

19．（2021·江苏金坛·二模）阅读并解答下列问题：在学习完《中心对称图形》一章后，老师给出了以下一个思考题：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，，连接，，，求的最小值．
【思考交流】小明，如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接、．此时的最小值等于．
小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点，作点关于x轴的对称点，连接可以求解．
小亮：对称和平移还可以有不同的组合…．

【尝试解决】在图2中的最小值是_________．
【灵活应用】如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，，，连接，，，则的最小值是_________，此时_______．并请在图5中用直尺和圆规作出最小时的位置（不写作法，保留作图痕迹）．

【拓展提升】如图6，在平面直角坐标系中，已知点，C是一次函数图像上一点，与y轴垂直且（点D在点C右侧），连接，，，直接写出的最小值是_______，此时点C的坐标是_________．