7.4 投影与视图、立体图形的展开与折叠-中考数学一轮复习 知识点+练习

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第七章 图形的变化
7.4投影与视图、立体图形的展开与折叠
一、课标解读
1.通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念;
2.会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图，能判断简单物体的视图,并会根据视图描述简单的几何体;
3.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型;
4.通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用.
二、知识点回顾
知识点1. 投影.
1.平行投影:平行光线形成的投影叫做平行投影.
2.中心投影:由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.
3.正投影:投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，正投影是一种特殊的平行投影.知识点
知识点2.三视图
1.定义
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图.
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图.
左视图：在侧面内得到的由佐向右观察物体的视图，叫做左视图.
2.三视图的画法
(1)主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐,左视图与俯视图的宽相等;
(2)在画图时，看得见的部分的轮廓线画成实线，因被其它部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线.
3.常见几何体的三视图
几何体
主视图
左视图
俯视图
























知识点3.立体图形的展开与折叠
几何体
展开图特点
示意图

6个大小相等的正方形.
“1－4－1”型：展开图有3行，中间一行有4个正方形，其余两行均为1个正方形．


6个大小相等的正方形.
“2－3－1”型：展开图有3行，第一行有2个正方形且第一个正方形露出头，中间一行有3个正方形，第三行有1个正方形(俗称“马字头”)．


6个大小相等的正方形.
“2－2－2”型：展开图有3行，每行均有2个正方形，且依次错开．

“3－3”型：展开图有2行，每一行均有3个正方形，且第一行的尾与第二行的首相接.

三、热点训练
热点1：对物体三视图的判断
一练基础
1．（2021·山东蒙阴·一模）如图是由几个大小相同的小正方形搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由几何体的俯视图可知：左视图有3列，每列上小正方形的个数，即为图中所标的数，据此即可判定．
【详解】
解：从左面看易得第一列有2个小正方形，第二列有2个小正方形，第三列有1个小正方形．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三视图的画法，左视图是从物体的左面看到的视图，注意所有看到的棱都应表现在左视图中．
2．（2021·广东雷州·三模）下列几何体的三视图中，俯视图形状不同的是（　　）
A．圆柱 B．球
C．圆锥 D．长方体
【答案】D
【解析】
【分析】
分别从物体上面向下看，对比得到的图形即可．
【详解】
解：选项D的俯视图是矩形，选项A、B、C的俯视图均为圆．
故选：D．
【点睛】
本题考查了几何图形的俯视图．解题的关键在于得出正确的俯视图．
3．（2021·广东广州·一模）下列几何体中，主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】
解：从正面看，左边是一个矩形，右边是一个正方形．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（2021·广东·正德中学二模）如图所示的几何体的左视图为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
找到从左边看所得到的图形即可，注意所有看得到的棱用实线表示，看不到的部分用虚线表示
【详解】
解：从左边看到的图形是：

故选C
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，理解看不到的且存在的是虚线解题的关键．
5．（2022·福建三明·一模）如图所示几何体的左视图是（          ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都变现在左视图中．
【详解】
解：从左视图看，易得到一个矩形，矩形中有一条横行的虚线，
故选：D
【点睛】
本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
二练巩固
6．（2021·江苏淮安·中考真题）如图所示的几何体的俯视图是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据视图的意义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．
【详解】
解：从上面看该几何体，所看到的图形如下：

故选：A．
【点睛】
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握俯视图的画法是正确判断的前提．
7．（2021·福建·中考真题）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据从上面看到的图形即可得到答案．
【详解】
从上面看是一个正六边形，中间是一个圆，
故选：A．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线．
8．（2021·山东崂山·二模）若一个几何体由6个大小相同的小立方体搭成，如图是这个几何体的俯视图，则该几何体的左视图不可能是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据俯视图，还原几何体，再判断左视图即可．
【详解】
解：根据题意可知，俯视图表示的几何体共有五种情况，如下：
①②③④⑤，
它们左视图分别是：
①②③④⑤
故选项A不符合题意，
故选：A
【点睛】
本题考查了三视图的知识．注意左视图是指从物体的左边看物体．
9．（2021·广东南沙·一模）如图中，与图中几何体对应的三视图是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
找到从正、上和左面所看到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在三视图中；
【详解】
从正面看下面有一个长方形，右上角有一个小长方形；从左面看下面有一个长方形，左上角有一个小长方形；从上面看有一个长方形，右上角有一个小长方形；
A、俯视图和左视图错误；
B、左视图错误；
C、正确；
D、俯视图错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
10．（2021·河北邢台·一模）如图所示的几何体由六块相同的小正方体搭成，若移走一块小正方体几何体的左视图发生了改变，则移走的小正方体是（       ）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据左视图的定义，影响左视图的因素是行数及其行数中小正方体的最高层数，据此判断即可．
【详解】
根据几何体，得它的左视图如下，


∵去掉①既没有改变几何体的行数，也没有改变行数中小正方体的最高层数，从而几何体的左视图不会改变，
∴①不符合题意；
∵去掉②改变了几何体的行数，没有改变行数中小正方体的最高层数，从而几何体的左视图改变，
∴②符合题意；
∵去掉③既没有改变几何体的行数，也没有改变行数中小正方体的最高层数，从而几何体的左视图不会改变，
∴③不符合题意；
∵去掉④既没有改变几何体的行数，也没有改变行数中小正方体的最高层数，从而几何体的左视图不会改变，
∴④不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了几何体的视图，熟练掌握几何体的三视图的画法和视图的定义是解题的关键．
三练拔高
11．（2021·全国·九年级专题练习）如图是由10个大小完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体上的数字为对应位置上小正方体的数量，将数字“3”上的小正方体向数字“2”上的位置平移一个，下面说法正确的是（       ）

A．主视图与俯视图不变 B．左视图与俯视图不变
C．主视图与左视图改变 D．三种视图都不变
【答案】B
【解析】
【分析】
由将数字“3”上的小正方体向数字“2”上的位置平移一个，从前向后看得到的图形正视图发生变化，最左边由两个小正方形变为3个小正方形，可判断A、C、D，左视图从左向右看应然是两列，左边列由3个小正方形组成，右边列还是4个小正方形组成；俯视图从上向下看应是两行，上边行三个小正方形组成，下边行由1个小正方形组成靠右侧没有改变可判断B．
【详解】
解：∵将数字“3”上的小正方体向数字“2”上的位置平移一个，
正视图从前向后看得到的图形发生变化，最左边由两个小正方形变为3个小正方形，
左视图从左向右看应是两列，左边列由3个小正方形组成，右边列还是4个小正方形组成没有发生变化；
俯视图从上向下看应是两行，上边行三个小正方形组成，下边行由1个小正方形组成靠右侧没有发生变化；
A. ∵主视图改变俯视图不变，∴选项A主视图与俯视图不变不正确，不符合题意       ；
B.∵左视图与俯视图不变，∴选项B正确，符合题意；
C. ∵主视图改变，左视图不变，∴选项C主视图与左视图改变不正确，不符合题意；
D.∵ 三种视图中主视图分式改变，左视图与俯视图不变，∴选项D不正确，不符合题意．
故选择B．
【点睛】
本题考查挪动一个小正方体的三视图的变化，掌握三视图的定义是解题关键．
12．在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的最少个数为m，最多个数为n，下列正确的是（　　）

A．m＝5，n＝13 B．m＝8，n＝10 C．m＝10，n＝13 D．m＝5，n＝10
【答案】A
【解析】
【详解】
由主视图和左视图可以确定：正方体堆成的几何体由两层组成，其底面最多有9个相同的正方体组成，恰好构成了边长为3个小正方体棱长的正方形，上面一层最多在这个正方形的4个顶点处各放1个相同的正方体．因此最多有正方体n=9＋4＝13个；底层正方体最少的个数应是3个，第二层正方体最少的个数应该是2个，因此这个几何体最少有m=2+3=5个小正方体组成．
故选：A．
点睛：当一个几何体已知两个视图时，它的形状不能确定．应分为最多和最少各有多少，来判断，解题关键是利用“主视图”疯狂盖，利用“左视图”拆违章，找到正方体的个数，比较复杂，求最少时容易出错，应该吧中间的向后移一行，最右边向后移2行即可.
12．（2021·福建·九年级专题练习）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是(       )

A．3个或 4个或 5个 B．4个或 5个
C．5个或 6个 D．6个或 7个
【答案】A
【解析】
【详解】
根据主视图，左视图，画出俯视图可能情况.

所以选A.
14．（2021·安徽·九年级专题练习）由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是(　　　　   )．

A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】D
【解析】
【分析】
结合主视图，俯视图，逐行确认小正方体个数，最后计算即可.
【详解】
解：由俯视图可知最少有8个小正方体，
∵有主视图可知最左边最多有3个小正方体，中间最多有个小正方体，最右边最多有个小正方体，
∴n的最大值为6+6+9=21.
故选：D
【点睛】
此题主要考查了由三视图判断几何体，侧重对空间想象考查.一般依据“长对正，高平齐，宽相等”来确定其立体图形.
15．（2021·全国·九年级专题练习）如图是一个由若干个正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是________(多填或错填得0分，少填酌情给分)．


【答案】①②③
【解析】
【分析】
根据几何体的主视图和左视图用正方体实物搭出图形判断，或者根据主视图和左视图想象出每个位置正方体的个数进行计算.
【详解】
综合左视图跟主视图，从正面看，第1行第1列有3个正方体，第1行第2列有1个或第2行第2列有1个或都有1个，第2行第1列有2个正方体，第2行第1列有2个正方体.
故答案为: ①②③.
【点睛】
本题考查了学生的空间想象能力和三视图的综合能力，解题关键是熟练掌握三视图，充分发挥空间想象.
热点2：与三视图有关的计算
一练基础
1．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）如图所示，水平放置的长方体底面是长为和宽为的矩形，它的主视图的面积为，则长方体的体积等于（     ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由主视图的面积长高，长方体的体积主视图的面积宽，得出结论．
【详解】
解：依题意，得长方体的体积．
故选B．
【点睛】
本题考查了简单几何体的三视图，关键是明确主视图是由长和高组成的．
2．（2022·辽宁·东北育才实验学校模拟预测）如图，是某个几何体的三视图，则该几何体的全面积为（　　）

A．20π B．24π C．28π D．32π
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图可知该几何体为圆锥加圆柱，底面是直径为4的圆，即可求出该几何体的全面积．
【详解】
解：由图示可知，圆锥的高为，底面圆的直径为4，圆柱的高为4，
∴圆锥的母线为：，
∴圆锥的侧面积为：， 底面圆的面积为：，
圆柱的侧面积为：2πr×4=16π，
∴该几何体的全面积为：8π+4π+16π=28π．
故选：C．
【点睛】
本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，求解立体图形的表面积，解题的关键是根据几何体的三视图得出该几何体的结构特征．
3．（2021·江苏·七年级专题练习）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为（       ）

A．48cm3 B．72cm3 C．144cm3 D．288cm3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知，长方体的高为8cm，俯视图可知ACBD是正方形，对角线AB=6cm，根据勾股定理及正方形的四条边都相等即可求出正方形的面积，最后根据体积公式即可得出答案．
【详解】
解：如图：

从主视图可看出长方体的高为8cm，AB=6cm
从俯视图可知ACBD是正方形
AB是正方形ACBD的对角线


S正方形ACBD=
V长方体=S正方形ACBD´AE=18´8=144cm3
故选C．
【点睛】
此题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点是三视图的基本知识以及长方体体积计算公式．
4．（2021·黑龙江讷河·九年级期中）一张桌子上摆着若干个碟子，从三个方向上看所得的视图如图所示，则这张桌子上碟子的数量为（       ）

A．17 B．13 C．12 D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
从俯视图可得：碟子共有3摞，结合主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，相加可得答案．
【详解】
解：从俯视图可得：碟子共有3摞，
由几何体的主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，如下图所示：
，
则这张桌子上的碟子个数为个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的知识点是简单空间图形的三视图，分析出每摞碟子的个数是解答本题的关键．
5．（2021·山东城阳·一模）如图，棱长为5cm的正方体，无论从哪一个面看，都有三个穿透的边长为1cm的正方形孔（阴影部分），则这个几何体的表面积（含孔内各面）是_______cm2．

【答案】258
【解析】
【分析】
根据正方体6个外表面的面积、9个内孔内壁的面积和，减去“孔”在外表面的面积即可．
【详解】
解：由正方体的6个外表面的面积为5×5×6﹣1×1×3×6＝132（cm2），
9个内孔的内壁的面积为1×1×4×4×9﹣1×1×3×6＝126（cm2），
因此这个有孔的正方体的表面积（含孔内各面）为132+126＝258（cm2），
故答案为：258．
【点睛】
本题考查正方体的表面积，求出“内孔”的内壁面积是解决问题的关键．
二练巩固
6．（2021·山东菏泽·中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图可以确定该几何体是空心圆柱体，再利用已知数据计算空心圆柱体的体积．
【详解】
解：先由三视图确定该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是4，内圆直径是2，高是6．
空心圆柱体的体积为π×2×6-π×2×6=18π．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查由三视图确定几何体和求圆柱体的体积，考查学生的空间想象．
7．（2021·内蒙古玉泉·二模）我国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱称为“堑堵”，已知“堑堵”的三视图如图所示（网格图中每个小正方形的边长均为1），则该“堑堵”的表面积为（       ）

A． B． C． D．16
【答案】C
【解析】
【分析】
从三视图及网格可以看主视图是的正方形，俯视图是底边为4，高为的等腰直角三角形，而左视图为矩形，可以得出该立体图形为三棱柱；其表面积为2个底面及三个侧面的面积之和．
【详解】
如图：

两个底面面积
侧面积
表面积两个底面面积+侧面积

故选C．
【点睛】
本题考查了三视图及格点计算问题，利用三视图还原几何图形，求解出底面和侧面的面积是解题关键．
8．（2021·内蒙古新城·二模）如图是一个组合几何体，右边是它的两种视图，根据图中的尺寸，这个几何体的表面积是__（结果保留．

【答案】
【解析】
【分析】
根据视图可知两个视图分别为主视图、俯视图，根据视图中的数据即可得到答案．
【详解】
解：两个视图分别为主视图、俯视图，由主视图和俯视图中的数据可得：
这个几何体的表面积是


．
故答案为：．
【点睛】
此题考查由三视图求表面积，由几何体的三视图得到相应的数据是解题的关键．
9．（2021·内蒙古·包头稀土高新区第四中学七年级阶段练习）如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图.

（1）写出这个几何体的名称；
（2）若从正面看的长为，从上面看到的圆的直径为，求这个几何体的表面积（结果保留）．
【答案】（1）圆柱；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据该几何体的主视图与左视图是矩形，俯视图是圆可以确定该几何体是圆柱；
（2）根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的表面积即可；
【详解】
(1)由三视图判断出该几何体是圆柱.
(2∵从正面看的长为，从上面看的圆的直径为，
∴该圆柱的底面半径径为，高为，
∴该几何体的侧面积为，底面积为：2πr2=8πcm2.
∴该几何体的表面积为．
【点睛】
本题考查了由三视图判断几何体及几何体的表面积问题，解题的关键是了解圆柱的表面积的计算方法．
10．（2021·全国·九年级专题练习）某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1．

（1）由三视图可知，密封纸盒的形状是__________；
（2）根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图；
（3）请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）
【答案】（1）（正）六棱柱；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）通过三视图，发挥想象力可以得到答案；
（2）由（1）得到的答案可以得到表面展开图；
（3）分别计算出侧面积和上下底面积即可得到答案 ．　　
【详解】
解：（1）根据该几何体的三视图知道它是一个（正）六棱柱；
（2）由（1）可以得到六棱柱的表面展开图如图：

（3）由图中数据可知：六棱柱的高为12，底面边长为5，
∴六棱柱的侧面积为．
又∵密封纸盒的底面面积为：，
∴六棱柱的表面积为：．
【点睛】
本题考查三视图与展开图的综合应用，充分发挥想象力是解题关键．
三练拔高
11．（2021·河北海港·一模）如图是一个圆锥的三视图，俯视图是直径为的圆，主视图和左视图都是底为，腰为的等腰三角形，这个圆锥的体积是=（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图的特点得知母线和底面直径，得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．
【详解】
解：由三视图可知，圆锥的底面直径均为8cm，母线长为5cm，
∴圆锥的高=，
∴这个圆锥的体积=，
故选：A
【点睛】
本题考查了圆锥的体积，本题体现了数形结合的数学思想，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．
12．（2021·内蒙古呼和浩特·模拟预测）某几何体的三视图如图所示；则该几何体的表面积为（　　）

A．6+6+2 B．18+2 C．3 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出三棱柱底面三角形的腰长，再求出几何题的表面积即可．
【详解】
根据题意得,此几何体为三棱柱，底面是等腰三角形，腰长=，
表面积S=×3×2+2×3+×2××2=6+6+2，
故选A．
【点睛】
本题主要考查几何题的三视图以及几何题的表面积，由三视图得到几何题的形状，是解题的关键．
13．（2020·浙江·模拟预测）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为，则a的值为（ ）

A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
该正三棱柱底面等边三角形的高为，底面等边三角形的边长为4，由此能根据该正三棱柱的表面积求得a的值．
【详解】
解：∵由左视图知底面正三角形的高为，
∴正三角形的边长为4，
∴表面积中两正三角形的面均为，
∵正三棱柱的表面积为，
∴24=（4+4+4）a，
解得：a=2，
故选：D．
【点睛】
本题考查几何体的三视图复原几何体以及几何体的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力．
14．（2020·广西·模拟预测）如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是的正方形，若拿掉若干个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（       ）

A．9 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
拿掉若干个小立方块后保证几何体不倒掉，且三个视图仍都为33的正方形，所以最底下一层必须有9个小立方块，这样能保证俯视图仍为33的正方形，为保证主视图与左视图也为33的正方形，所以上面两层必须保留底面上一条对角线方向的三个立方块，即可得到最多能拿掉小立方块的个数.
【详解】
根据题意，拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为33的正方形，
则最多能拿掉小立方块的个数为6 +6 = 12个，
故选：C.
【点睛】
此题考查简单组合体的三视图，空间想象能力，能依据立体图形想象出拿掉小立方块后的三视图是解题的关键.
15．（2021·山东青岛·九年级专题练习）一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为，（，如图1所示），此时液面刚好过棱CD，并与棱交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图2所示，当正方体平放（正方形ABCD在桌面上）时，液体的深度是__________．

【答案】1.5
【解析】
【分析】
根据水面与水面平行可以得到CQ与BE平行，利用勾股定理即可得到BQ的长，液体正好是一个以△BCQ为底面的直棱柱，据此即可求出液体的体积，即可得到液体的深度．
【详解】
解：∵由图知：CQ∥BE，BQ=4，CQ=5，
根据勾股定理得：（dm），
液体的体积为：（dm3），
液体深度为：24÷（4×4）=1.5（dm），
故答案为：1.5
【点睛】
本题主要考查的是四边形的体积计算以及三视图的认识，正确的理解棱柱的体积计算是解题的关键．
热点3：几何体的展开与折叠
一练基础
1．（2020·湖南衡阳·中考真题）下列三棱柱展开图错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．
【详解】
解：A、B、C中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图.D围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有.故D不能围成三棱柱.
故选：D.
【点睛】
本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．
2．（2021·广西·南宁十四中三模）如图各图都是由个相同的正方形拼成，其中能折叠成正方体的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方体的11种展开图的模型即可求解．
【详解】
A.是正方体的展开图，则A能折叠成正方体，故该选项正确，符合题意；
B.第二排的第一个和第五个正方形在折叠之后两个面重合，不满足“一线不过四”，则不能构成正方体，不符合题意；
C. “田”字型，不能折叠成正方体，不符合题意；
D.左一和上一两个面折叠之后重合，不符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查了正方体的表面展开图，熟知正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知．
（1）“141”型（2）“231”型（3）“222”型
3．（2021·四川巴中·中考真题）某立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用立体图形及其表面展开图的特点解题．
【详解】
解：四个三角形和一个四边形，是四棱锥的组成，所以该立体图形的名称为四棱锥．
故选：A．
【点睛】
本题考查了几何体的展开图，熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．
4．（2021·四川·金龙镇初级中学七年级期中）一个正方体的表面展开图如图所示，则与“你”字相对的面是（       ）

A．心 B．想 C．事 D．成
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正方体及其表面展开图的特点：正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形解题．
【详解】
解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中与“你”字相对的字是“成”．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题是解题的关键．
5．（2021·广东·湛江市第二中学三模）下列平面图形都由小正方形组成，其中不能围成正方体的是（        ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方体展开图的基本形态作答即可．
【详解】
解：A、出现“U”字的，不能组成正方体，符合题意；
B、符合“一，三，二”的基本形态，不符合题意；
C、符合“三，三”的基本形态，不符合题意；
D、符合“一，四，一”的基本形态，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了正方体的展开图，能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．
6．（2021·广西百色·中考真题）下列展开图中，不是正方体展开图的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正方体的展开图特征解题．
【详解】
解：A.是正方体的展开图，故A不符合题意；
B.是正方体的展开图，故B不符合题意；
C.是正方体的展开图，故C不符合题意；
D.不是正方体的展开图，故D符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键．
7．（2021·河北路南·三模）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数．则

（1）的值为______；
（2）的值为______．
【答案】     3     12
【解析】
【分析】
（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上的数字互为相反数列式，即可求出x、y的值，
（2）把x，y的值代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“-3”与“2x−3”是相对面，“y”与“x”是相对面，
∵相对的面上的数字或代数式互为相反数，
∴2x−3＋（-3）＝0，x＋y＝0，
解得x＝3，y＝-3，
故答案是：3；
（2）当x＝3，y＝-3时，=，
故答案是：12．
【点睛】
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，二元一次方程组以及代数式求值，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
二练巩固
8．如图是一个正方体的表面展开图，在原正方体上，与“蝴蝶面”相对的面上的数字为（　　）

A．1 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以“1”与“6”相对，“3”与“5”相对，“蝴蝶面”与“4”相对，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方体相对两个面上的文字．解题的关键是掌握找正方体相对两个面上的文字的方法，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
9．（2021·浙江·九年级期末）如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先画出示意图，连接AB，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，AC=×底面圆的周长，再在Rt△ACB中利用勾股定理算出AB的长即可，
【详解】
解：将圆柱体的侧面展开并过点B作BC⊥AE于点C．

∵圆柱的底面直径为4cm，
∴AE=cm，
∴
在Rt△ACB中， ，
∴
∴蚂蚁爬行的最短的路线长是，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平面展开图，最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
10．（2021·河北邢台·一模）把如图所示的正方形展开，得到的平面展开图可以是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．
【详解】
解：将正方形展开并标上顶点可得如下图所示：

其中与C相接，与B相接，与D相接，与A相接，与相接，与相接.
故和选项B符合
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方体的表面展开图及空间想象能力，易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．
11．如图是一个正方体的平面展开图，若正方体中相对的面上的数字或代数式的乘积都小于，则整数的值是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对的面上的数字或代数式的乘积都小于0,列不等式求出x的取值范围，然后进行判断即可得解．
【详解】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形．
“4”与“2x-3”是相对面，
“-3”与“3x-1”是相对面，
“1”与“-2”是相对面，
∵相对的面上的数字或代数式的乘积都小于0，
∴4（2x-3）＜0，
-3（3x-1）＜0，
解得＜x＜，
∴x=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方体相对两个面上的文字．解题的关键是掌握找正方体相对两个面上的文字的方法，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
12．（2019·浙江龙湾·二模）如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出，宽留出则该六棱柱的侧面积是（   ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设正六棱柱的底面边长为acm，高为hcm，分别表示出挪动前后所在矩形的长与宽，由题意列出方程求出a＝2，h＝9−，再根据六棱柱的侧面积是6ah求解．
【详解】
解：设正六棱柱的底面边长为acm，高为hcm，
如图，正六边形边长AB＝acm时，由正六边形的性质可知∠BAD＝30°，
∴BD＝cm，AD＝cm，
∴AC＝2AD＝cm，

∴挪动前所在矩形的长为（2h＋2a）cm，宽为（4a＋）cm，
挪动后所在矩形的长为（h＋2a＋）cm，宽为4acm，
由题意得：（2h＋2a）−（h＋2a＋）＝5，（4a＋）−4a＝1，
∴a＝2，h＝9−，
∴该六棱柱的侧面积是6ah＝6×2×（9−）＝；
故选：A．
【点睛】
本题考查了几何体的展开图，正六棱柱的性质，含30度角的直角三角形的性质；能够求出正六棱柱的高与底面边长是解题的关键．
13．（2020·吉林长春·模拟预测）有5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，你不能选择图中，，，中的（       ）位置接正方形.

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后不能围成正方体即可．
【详解】
如图，在A、C、D的位置时能折叠成为一个封闭的正方体盒子，在B的位置时不能围成一个正方体.

故选:B.
【点睛】
此题主要考查了应用与设计作图．正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握，不能死记硬背．
14．已知一个无盖长方体的底面是边长为1的正方形，侧面是长为2的长方形，现展开铺平．如图，依次连结点A，B，C，D得到一个正方形，将周围的四个长方形沿虚线剪去一个直角三角形，则所剪得的直角三角形较短直角边与较长直角边的比是(        )

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如图只要证明△DEF∽△AGD，推出，推出，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，由题意，剪去的直角三角形是四个全等三角形，

∵DE∥AG，DG=2，AG=2+1=3，
∴∠EDF=∠DAG，∵∠E=∠AGD=90°，
∴△DEF∽△AGD，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】
本题考查图形的拼剪、长方体的展开图、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
三练拔高
15．毕业前夕，同学们准备了一份礼物送给自己的母校，现用一个正方体盒子进行包装，六个面上分别写上“祝、母、校、更、美、丽”，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上．则此包装盒的展开图（不考虑文字方向）不可能是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据立方体的平面展开图规律解决问题即可．
【详解】
理由：选项C不能围成正方体，不符合题意．

故选C．
【点睛】
本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．注意正方体的平面展开图中，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形．
16．如图为一直棱柱，其底面是三边长为5、12、13的直角三角形．若下列选项中的图形均由三个矩形与两个直角三角形组合而成，且其中一个为如图的直棱柱的展开图，则根据图形中标示的边长与直角记号判断，此展开图为何？（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
分析：三棱柱的侧面展开图是长方形，底面是三角形，据此进行判断即可．
详解：A选项中，展开图下方的直角三角形的斜边长为12，不合题意；
B选项中，展开图上下两个直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
C选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
D选项中，展开图能折叠成一个三棱柱，符合题意；
故选D．
点睛：本题主要考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
17．如图，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一棉线从顺着圆柱侧面绕3圈到，求棉线最短为_________．

【答案】
【解析】
【分析】
将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可.
【详解】
圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为2cm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2=4πcm；
又∵圆柱高为9πcm，
∴小长方形的一条边长是3πcm；
根据勾股定理求得AC=CD=DB=5πcm；
∴AC+CD+DB=15πcm；

故答案为15π．
【点睛】
本题主要考查了圆柱的计算、平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
18．（2021·浙江绍兴·一模）如图，已知圆柱底面的直径，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝．
（1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A.；B.；C.；D.
（2）求该长度最短的金属丝的长．

【答案】（1）A；（2）
【解析】
【分析】
（1）因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C，根据立体图形的表面展开图这个特点即可解题；
（2）侧面展开后，两点之间的距离为，，两点之间的距离，利用勾股定理可得，长度最短的金属丝的长=，即可得到答案．
【详解】
解：（1）因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C，A选项符合要求．
故选A．
（2）如图：

侧面展开后，两点之间的距离为，
，两点之间的距离为，
该长度最短的金属丝的长=
所以该长度最短的金属丝的长为．
【点睛】
此题主要考查圆柱的展开图、圆的周长、勾股定理，解答此题的关键是正确掌握圆柱体的展开图．
19．（2021·山东济宁·中考真题）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体（图1）．因为在平面中，，与相交于点A，所以直线与所成的就是既不相交也不平行的两条直线与所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体，求既不相交也不平行的两条直线与所成角的大小．

（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点．
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；
②在所选正确展开图中，若点M到，的距离分别是2和5，点N到，的距离分别是4和3，P是上一动点，求的最小值．

【答案】（1）；（2）①丙；②10
【解析】
【分析】
（1）连接，则为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线与所成角的大小；
（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；
②根据对称关系作辅助线即可求得的最小值．
【详解】
解：（1）连接，


∵，与相交与点，
即既不相交也不平行的两条直线与所成角为，
根据正方体性质可得：，
∴为等边三角形，
∴，
即既不相交也不平行的两条直线与所成角为；
（2）①根据正方体展开图可以判断，
甲中与原图形中对应点位置不符，
乙图形不能拼成正方体，
故答案为丙；
②如图：作M关于直线AB的对称点，
连接，与交于点P，连接MP，
则，
过点N作BC垂线，并延长与交于点E，


∵点M到的距离是5，点N到的距离是3，
∴，
∵点M到的距离是2，点N到的距离是4，
∴，
∴，
故最小值为10．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、正方体的侧面展开图、根据对称关系求最短距离、勾股定理等知识点，读懂题意，明确最小时的情况是解题的关键．
热点4：投影
一练基础
1．（2022·广东揭东·九年级期末）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案．
【详解】
解：太阳光下的影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的统一方向上可知，选项C中的图形比较符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查平行投影的意义，掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提．
2．（2021·广西田林·一模）矩形纸片在平行投影下的正投影不可能是（   ）
A．矩形 B．平行四边形 C．线段 D．点
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案．
【详解】
解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．
故长方形的正投影不可能是点，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了平行投影的性质，利用太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行是解题关键．
3．（2021·山东沂源·二模）如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正投影特点以及图中正五棱柱的摆放位置即可求解．
【详解】
光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与俯视图一致．
故选C．
【点睛】
本题考查了正投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定．
4．（2019·广西·二模）把一个正三棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正三棱柱时的正投影是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行投影特点以及图中正三棱柱的摆放位置即可求解．
【详解】
解：把一个正三棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正三棱柱时的正投影是正三角形，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定．
5．（2021·全国·九年级专题练习）小华家客厅有一张直径为高为的圆桌有一盏灯到地面垂直距离为圆桌的影子为，则点到点的距离为_______．

【答案】4
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴=.
∵AB=1.2，
∴CD=2.
又∵FC=2,
∴DF=CD+FC=2+2=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
6．（2020·辽宁望花·三模）如图，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”）．

【答案】中心．
【解析】
【分析】
根据光线发出的形式，由一点发出的光线，形成的投影是中心投影．
【详解】
由于光源是由一点发出的，因此是中心投影，
故答案为：中心．
【点睛】
此题考查中心投影的意义，将中心投影转化为相似三角形是解题的关键．
7．（2021·江苏南京·中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项
【详解】
因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，
故选D


【点睛】
本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键．
8．（2021·全国·九年级课时练习）身高1.5米的小强站在旗杆旁，测得小强和旗杆在地面上的影长分别为2米和16米，则旗杆的高度为___米．
【答案】12
【解析】
【分析】
根据同一时刻同一地点物高与影长成正比求得答案即可．
【详解】
设旗杆高度为x米，
根据题意得：
解得：x＝12，
故答案为：12．
【点睛】
考核知识点: 相似三角形的应用．理解相似三角形性质是关键.
9．（2021·四川·成都铁路中学九年级期中）如图，在A时测得某树的影长为4米，在B时测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则该树的高度为___________米.

【答案】6
【解析】
【分析】
根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得，代入数据可得答案．
【详解】
如图，在中，米，米，易得，
，即，
米.
故答案为6.

【点睛】
本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小，是平行投影性质在实际生活中的应用．
二练巩固
10．（2021·全国·九年级专题练习）在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学测量树的高度时，发现树的影子有一部分0.2米落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米”；小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比4.62米要长”．

（1）你认为小玲和小强的说法对吗？
（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度；
（3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？
【答案】（1）小玲的说法不对，小强的说法对；（2）树的高度为8米；（3）树的影子长度是4.8米．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得小玲的说法不对，小强的说法对；
（2）根据题意可得＝，DE=0.3，EH=0.18，进而可求大树的影长AF，所以可求大树的高度；
（3）结合（2）即可得树的影长．
【详解】
（1）小玲的说法不对，小强的说法对，理由如下（2）可得；
（2）根据题意画出图形，如图所示，

根据平行投影可知：＝，DE＝0.3，
∴EH＝0.3×0.6＝0.18，
∵四边形DGFH是平行四边形，
∴FH＝DG＝0.2，
∵AE＝4.42，
∴AF＝AE+EH+FH＝4.42+0.18+0.2＝4.8，
∵＝，
∴AB＝＝8（米）．
答：树的高度为8米．
（3）由（2）可知：
AF＝4.8（米），
答：树的影子长度是4.8米．
【点睛】
考查了相似三角形的应用、平行投影，解题关键是掌握并运用平行投影．
11．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？

【答案】（1）18米；（2）米
【解析】
【分析】
（1）如图1，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP＝AB，即得BQ＝AB，则AB+12+AB＝AB，解得AB＝18（m）；
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出BN即可．
【详解】
解：（1）如图1，∵PM∥BD，
∴△APM∽△ABD，
，即，
∴AP＝AB，
∵QB=AP，
∴BQ＝AB，
而AP+PQ+BQ＝AB，
∴AB+12+AB＝AB，
∴AB＝18．
答：两路灯的距离为18m；
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，
∵BM∥AC，
∴△NBM∽△NAC，
∴，即，解得BN＝3.6．
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法．
12．（2021·全国·九年级专题练习）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．

（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见详解
【解析】
【分析】
（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；
（2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出监控盲区的面积，即可得到结论．
【详解】
解：（1）设小正方形的边长为1，
∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3，
∴站在监控盲区的概率=3÷20=；
（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2，
若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2．

【点睛】
本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键．
三练拔高
13．（2021·全国·九年级专题练习）路边有一根电线杆和一块长方形广告牌，有一天，小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上点（如图），已知米，长方形广告牌的长米，高米，米，则电线杆的高度是（     ）

A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米
【答案】C
【解析】
【分析】
延长AG交DE于N，则四边形GNEF为平行四边形，所以NE=GF=2，BN=11米，然后根据实际高度和影长成正比例列式求解即可.
【详解】
如图，

延长AG交BE于N点，则四边形GNEF是平行四边形，
故NE=GF=2，BN=5+4+4-2=11米，
∴，
∴，
∴AB=8.25米．
故选C.
【点睛】
此题考查的平行投影及平行四边形的判定与性质，是较简单题目．在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．
14．如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S1，S2，S，则S1，S2，S的关系是_____（用“=、＞或＜”连起来）

【答案】S1=S＜S2
【解析】
【分析】
根据长方体的概念得到S1=S，根据矩形的面积公式得到S＜S2，得到答案．
【详解】
解：∵立体图形是长方体，∴底面ABCD∥底面EFGH．
∵矩形EFGH的投影是矩形ABCD，∴S1=S．
∵EM＞EF，EH=EH，∴S＜S2，∴S1=S＜S2．
故答案为S1=S＜S2．
【点睛】
本题考查了平行投影和立体图形，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影．
15．（2021·全国·九年级专题练习）为方便住校生晚自习后回到宿舍就寝，新安装了一批照明路灯；一天上午小刚在观看新安的照明灯时，发现在太阳光的正面照射下，照明灯的灯杆的投影的末端恰好落在2.5米高文化走廊墙的顶端，小刚测得照明灯的灯杆的在太阳光下的投影从灯杆的杆脚到文化走廊的墙脚的影长为4.6米，同一时刻另外一个前来观看照明路灯小静测得身高1.5米小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米，请同学们画出与问题相关联的线条示意图并求出新安装的照明路灯的灯杆的高度？

【答案】线条示意图见解析，新安装的照明路灯的灯杆的高度为9.4m.
【解析】
【分析】
利用同一时刻投影的性质得出,进而得出答案．
【详解】
解:如图所示:过点E作EB⊥AC于点B,

由题意可得:DC=BE=4．6m，DE=BC=2. 5m,
∵同一时刻身高1．5米小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米,

解得: AB=6.9,
∴AC=AB+BC=6.9+2.5=9.4 (m),
答:新安装的照明路灯的灯杆的高度为9.4m．
【点睛】
此题主要考查了投影的应用，利用同一时刻影子与高度的关系得出比例式是解题关键．
16．已知：如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻，AB在阳光下的投影BC＝4m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影长时，同时测出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．

【答案】（1）答案见解析     （2）7.5m
【解析】
【详解】
试题分析：解：（1）

作法：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，
则EF就是DE的投影..             
（2）∵太阳光线是平行的,
∴AC∥DF.                                                               
∴∠ACB=∠DFE.                                                     
又∵∠ABC=∠DEF=90°,
∴△ABC∽△DEF.                                                    
∴,
∵AB=5m，BC=4m,EF=6m,
∴,
∴DE=7.5(m).
考点：投影与相似三角形性质
点评：本题难度中等，主要考查学生对投影问题与相似三角形相结合解决实际问题的能力．
17．如图是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站立在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯的位置.

（1）在小亮由B沿所在的方向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为______；
（2）请你在图中画出小亮站在处的影子；
（3）当小亮离开灯杆的距离时，身高（）为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少？
【答案】（1）逐渐变短；（2）详见解析；（3）
【解析】
【分析】
(1)根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B处沿BO所在的方向行走到达O处的过程中,他在地面上的影子长度的变化情况为变短
(2)连接PA并延长交直线BO于点E,则线段BE即为小亮站在AB处的影子
(3)根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可
【详解】
(1)因为光是沿直线传播的,所以当小亮由B处沿BO所在

的方向行走到达O处的过程中,他在地面上的影子长
度的变化情况为变短;
(2)如图所示,BE即为所求

(3)先设OP=x,则当OB=4.2米时,BE=1.6米，
∴
∴x=5.8米
当OD=6米时,设小亮的影长是y米,
∴
∴
y= (米)
即小亮的影长是米．
【点睛】
本题考查中心投影，相似三角形的应用，解题关键在于掌握作图法则