(通用版)中考数学一轮复习课后巩固练习41《解答题几何综合题》(含答案)

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1.如图,☉O是△ABC的外接圆,BC是☉O直径,∠ABC=30°,过点B作☉O的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径OA的延长线交于点E,过点A作☉O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F,
(1)求证:△ACF∽△DAE;
(2)若S△AOC=,求DE的长;
(3)连接EF,求证:EF是☉O的切线.
解:(1)∵BC为☉O的直径,∴∠BAC=90°,
又∠ABC=30°,∴∠ACB=60°,又OA=OC,
∴△OAC为等边三角形,即∠OAC=∠AOC=60°,
∵AF为☉O的切线,∴∠OAF=90°,
∴∠CAF=∠AFC=30°,
∵DE为☉O的切线,∴∠DBC=∠OBE=90°,
∴∠D=∠DEA=30°,∴∠D=∠CAF,∠DEA=∠AFC,
∴△ACF∽△DAE;
(2)∵△AOC为等边三角形,
∴S△AOC=·OA2=,∴OA=1,
∴BC=2,OB=1,又∠D=∠BEO=30°,
∴BD=2,BE=,∴DE=3;
(3)过O作OM⊥EF于M,
∵OA=OB,∠OAF=∠OBE=90°,∠BOE=∠AOF,
∴△OAF≌△OBE,∴OE=OF,
∵∠EOF=120°,∴∠OEM=∠OFM=30°,
∴∠OEB=∠OEM=30°,即OE平分∠BEF,
又∠OBE=∠OME=90°,
∴OM=OB,∴EF为☉O的切线.
2.☉O是△ABC的外接圆,AB是直径,过BC的中点P作☉O的直径PG交弦BC于点D,连接AG,CP,PB.
(1)如图1;若D是线段OP的中点,求∠BAC的度数;
(2)如图2,在DG上取一点K,使DK=DP,连接CK,求证:四边形AGKC是平行四边形;
(3)如图3;取CP的中点E,连接ED并延长ED交AB于点H,连接PH,求证:PH⊥AB.
解:(1)∵AB为☉O直径,,∴PG⊥BC,即∠ODB=90°,
∵D为OP的中点,∴OD=OP=OB,∴cs∠BOD=,∴∠BOD=60°,
∵AB为☉O直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠ODB,∴AC∥PG,∴∠BAC=∠BOD=60°;
(2)证明:由(1)知,CD=BD,∵∠BDP=∠CDK,DK=DP,∴△PDB≌△KDC,∴CK=BP,∠OPB=∠CKD,
∵∠AOG=∠BOP,∴AG=BP,∴AG=CK,∵OP=OB,∴∠OPB=∠OBP,
又∠G=∠OBP,∴AG∥CK,∴四边形AGKC是平行四边形;
(3)证明:∵CE=PE,CD=BD,∴DE∥PB,即DH∥PB,∵等腰△OPB中,OP=OB,DH∥PB,∴OD=OH,
又∠DOB=∠HOP,OB=OP,∴△DOB≌△HOP,∴∠OHP=∠ODB=90°,∴PH⊥AB.