资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩9页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 考点01 平行线与相交线-2021-2022学年七年级数学下册中考真题专项汇编之期末重难考点训练（人教版） 试卷 4 次下载
- 考点03 实数-2021-2022学年七年级数学下册中考真题专项汇编之期末重难考点训练（人教版） 试卷 5 次下载
- 考点04 实数的运算专项练习-2021-2022学年七年级数学下册中考真题专项汇编之期末重难考点训练（人教版） 试卷 6 次下载
- 考点05 平面直角坐标系-2021-2022学年七年级数学下册中考真题专项汇编之期末重难考点训练（人教版） 试卷 4 次下载
- 考点06 规律题：点的坐标专项练习-2021-2022学年七年级数学下册中考真题专项汇编之期末重难考点训练（人教版） 试卷 6 次下载
考点02 平行线的性质与判定专项练习-2021-2022学年七年级数学下册中考真题专项汇编之期末重难考点训练（人教版）
展开
这是一份考点02 平行线的性质与判定专项练习-2021-2022学年七年级数学下册中考真题专项汇编之期末重难考点训练（人教版），文件包含考点02平行线的性质与判定专项练习解析版docx、考点02平行线的性质与判定专项练习原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
一．解答题（共20小题）
1．（2020秋•鼓楼区校级期末）如图，∠B＝∠C，AB∥EF，试说明：∠BGF＝∠C．请完善解题过程，并在括号内填上相应的理论依据．
解：∵∠B＝∠C，
∴AB∥ CD （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∵AB∥EF，
∴CD∥EF（ 平行于同一条直线的两条直线平行 ）．
∴∠EGC＝ ∠C （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠EGC＝∠BGF（ 对顶角相等 ），
∴∠BGF＝∠C．
【分析】根据平行线的性质填空即可．
【解答】解：∵∠B＝∠C，
∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）．
∵AB∥EF，
∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠EGC＝∠C（两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠EGC＝∠BGF（对顶角相等），
∴∠BGF＝∠C．
故答案为：CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行；∠C；两直线平行，内错角相等；对顶角相等．
2．（2020秋•仓山区期末）如图，BC∥DE，∠B+∠D＝180°，∠D＝∠E，求证：AB∥EF．
在下面的证明过程中填空（理由或数学式）．
证明：∵BC∥DE（已知），
∴∠C+∠ D ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠B+∠D＝180°（已知），
∴∠B＝∠C（ 同角的补角相等 ）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∵∠D＝∠E（已知），
∴CD∥ EF （内错角相等，两直线平行）．
∴AB∥EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
【分析】根据图形中角和直线的位置关系，利用平行线的性质和判定填空即可．
【解答】证明：∵BC∥DE（已知），
∴∠C+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠B+∠D＝180°（已知），
∴∠B＝∠C（同角的补角相等）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∵∠D＝∠E（已知），
∴CD∥EF（内错角相等，两直线平行）．
∴AB∥EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：D；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；EF．
3．（2020秋•海陵区期末）如图，∠ABC与∠DEF的两边分别交于点M、N．若∠ABC＝∠DEF，且AB∥EF．试说明BC∥DE．
【分析】根据平行线的性质和判断即可求解．
【解答】解：∵AB∥EF．（已知）
∴ABC+∠BNE＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠ABC＝∠DEF．（已知）
∴∠BNE+∠DEF＝180°．（等量代换）
∴BC∥DE．（同旁内角互补，两直线平行）
4．（2020秋•鼓楼区校级期末）在横线处填空，完成证明：
已知：如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
又∠1＝∠DMN（ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠DMN（等量代换）．
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠DBC+∠C＝180° （两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠C＝∠D（已知），
∴∠DBC+∠D＝180°（等量代换），
∴DF∥AC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
∴∠A＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）．
【分析】求出∠2＝∠DMN，根据平行线的判定得出DB∥EC，根据平行线的性质得出∠DBC+∠C＝180°，求出∠DBC+∠D＝180°，根据平行线的判定得出DF∥AC，根据平行线的性质得出即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），
又∵∠1＝∠DMN（对顶角相等），
∴∠2＝∠DMN（等量代换），
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠DBC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠DBC+∠D＝180°（等量代换），
∴DF∥AC （同旁内角互补，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等），
故答案为：对顶角相等，∠DBC+∠C＝180°，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等．
5．（2020秋•雨花区期末）如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3+∠4＝180°，试说明∠1＝∠2．（请通过填空完善下列推理过程）
解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（ 对顶角相等 ）．
∴∠3+ ∠FHD ＝180°（等量代换）．
∴FG∥BD（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
∴∠1＝ ∠ABD （ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝ ∠2 （ 角平分线的定义 ）．
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）．
【分析】求出∠3+∠FHD＝180°，根据平行线的判定得出FG∥BD，根据平行线的性质得出∠1＝∠ABD，根据角平分线的定义得出∠ABD＝∠2即可．
【解答】解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（对顶角相等），
∴∠3+∠FHD＝180°（等量代换），
∴FG∥BD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等），
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠2（角平分线的性质），
∴∠1＝∠2（等量代换），
故答案为：对顶角相等，∠FHD，同旁内角互补，两直线平行，∠ABD，两直线平行，同位角相等，∠2，角平分线的定义，等量代换．
6．（2020秋•雨花区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠3＝∠B．
（1）求证：∠AFE＝∠ACB；
（2）若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠ACB的度数．
【分析】（1）求出∠FDE＝∠2，根据三角形内角和定理求出∠FEC＝∠ECB，根据平行线的判定得出EF∥BC，根据平行线的性质得出即可；
（2）根据∠3＝∠B得∠B＝50°，根据三角形内角和定理求出∠ECB＝20°，根据角平分线定义得出∠ACB＝2∠ECB＝40°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠FDE＝180°，
∴∠FDE＝∠2，
∵∠3+∠FEC+∠FDE＝180°，∠2+∠B+∠ECB＝180°，∠B＝∠3，
∴∠FEC＝∠ECB，
∴EF∥BC，
∴∠AFE＝∠ACB；
（2）解：∵∠3＝∠B，∠3＝50°，
∴∠B＝50°，
∵∠2+∠B+∠ECB＝180°，∠2＝110°，
∴∠ECB＝20°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ECB＝40°．
7．（2020秋•兴庆区校级期末）如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°．
（1）试判断AD与BC是否平行（请在下面的解答中，填上适当的理由或数学式）；
解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝ 2∠2 （角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝ 116 °（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝ 180 °．
∴AD∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
（2）若AE⊥BC，求∠ACB的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAD＝2∠2，利用等式的性质易得∠BAD＝116°，由平行线的判定定理可得结论；
（2）由垂直的定义可得∠AEB＝90°，由三角形的内角和定理可得∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，利用角平分线的性质和三角形的内角和定理可得结果．
【解答】解：（1）∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：2∠2，116，180，同旁内角互补，两直线平行；
（2）∵AE⊥BC，∠B＝64°，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，
∵∠BAC＝2∠BAE＝52°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣64°﹣52°＝64°．
8．（2020秋•沙坪坝区校级期末）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．
求证：∠1+∠4＝180°．
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，（已知）
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC．（ 角平分线的定义 ）．
∵∠ABC＝∠ADC，（ 已知 ）
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）．
∵∠1＝∠3（已知）
∴∠2＝∠ 3 ．（等量代换）
∴AB∥CD，（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠1+∠4＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
【分析】首先根据角平分线定义可得∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC，根据等式的性质可得∠1＝∠2，再由条件∠1＝∠3可得∠2＝∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠1+∠4＝180°．
【解答】证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（角平分线的定义），
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠3，（等量代换），
∴AB∥CD，（内错角相等，两直线平行），
∴∠1+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：角平分线的定义，已知，等量代换，3，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．
9．（2020秋•麦积区期末）如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝82°，请将求∠AGD的过程填写完整．
解：因为EF∥AD
所以∠2＝∠ 3 （ 两直线平行，同位角相等 ）
又因为∠1＝∠2
所以∠1＝∠3（ 等量代换 ）
所以AB∥ DG （ 内错角相等，两直线平行 ）
所以∠BAC+∠ AGD ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
因为∠BAC＝82°
所以∠AGD＝ 98 °
【分析】根据平行线的性质推出∠1＝∠2＝∠3，推出AB∥DG，根据平行线的性质得出∠BAC+∠DGA＝180°，代入求出即可．
【解答】解：∵EF∥AD，
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠DGA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC＝82°，
∴∠AGD＝98°，
故答案为：3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；AGD；两直线平行，同旁内角互补；98．
10．（2020秋•鼓楼区校级期末）已知：图中CD∥AB，求证：∠AEC＝∠C﹣∠A．
证明：如图，过点E作EF∥CD．
又∵CD∥AB（ 已知 ），
∴EF∥AB（ 平行于同一条直线的两条直线平行 ）．
∴∠CEF+∠C＝180°，∠AEF+∠A＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∴∠CEF＝180°﹣∠C，∠AEF＝180°﹣∠A，
∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF
＝（180°﹣∠A）﹣（180°﹣∠C）（ 等量代换 ）
＝180°﹣∠A﹣180°+∠C
＝∠C﹣∠A．
即：∠AEC＝∠C﹣∠A．
【分析】证EF∥AB，由平行线的性质得∠CEF+∠C＝180°，∠AEF+∠A＝180°，进而得出结论．
【解答】解：如图，过点E作EF∥CD，
又∵CD∥AB（已知），
∴EF∥AB（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠CEF+∠C＝180°，∠AEF+∠A＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠CEF＝180°﹣∠C，∠AEF＝180°﹣∠A，
∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF
＝（180°﹣∠A）﹣（180°﹣∠C）（等量代换）
＝180°﹣∠A﹣180°+∠C
＝∠C﹣∠A．
即：∠AEC＝∠C﹣∠A．
故答案为：已知；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换．
11．（2020秋•射洪市期末）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°．
试说明：∠GDC＝∠B，在下列解答中，填空（理由或数学式）．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（ 垂直的定义 ）．
∴EF∥AD（ 同位角相等两直线平行 ）．
∴ ∠1 +∠2＝180°（ 两直线平行同旁内角互补 ）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（ 同角的补角相等 ）．
∴AB∥ DG （ 内错角相等两直线平行 ）．
∴∠GDC＝∠B（ 两直线平行同位角相等 ）．
【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一判断即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义），
∴EF∥AD （同位角相等两直线平行），
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补），
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3 （同角的补角相等），
∴AB∥DG（内错角相等两直线平行），
∴∠GDC＝∠B （两直线平行同位角相等）．
故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等．
12．（2020秋•郑州期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．
如图2：当角∠CAE＝60°时，BC∥DE．
求其它所有可能符合条件的角∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）的度数，画出对应的图形并证明．
【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
【解答】解：当AC∥DE时，如图所示：
则∠CAE＝∠E＝90°；
当BC∥AD时，如图所示：
则∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣30°﹣45°＝105°；
当BC∥AE时，
∵∠EAB＝∠B＝60°，
∴∠CAE＝∠CAB+∠EAB＝90°+60°＝150°；
综上所述：∠CAE的度数为90°或105°或150°．
13．（2020秋•市北区期末）如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA＝180°．
求证：（1）EH∥AD；
（2）∠BAD＝∠H．
【分析】（1）先证DG∥AB，得出∠1＝∠BAD，则∠BAD+∠FEA＝180°，再根据平行线的判定即可得出结论；
（2）根据平行线的性质得出∠1＝∠H，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠CDG＝∠B，
∴DG∥AB，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1+∠FEA＝180°，
∴∠BAD+∠FEA＝180°，
∴EH∥AD；
（2）由（1）得：∠1＝∠BAD，EH∥AD，
∴∠1＝∠H，
∴∠BAD＝∠H．
14．（2020春•青羊区期末）如图，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，BE∥DF，求证：BC∥AD．
【分析】根据角平分线的定义得出∠EBC＝ABC，∠FDA＝ADC，求出∠EBC＝∠FDA，根据平行线的性质得出∠EBC＝∠CFD，求出∠CFD＝∠FDA，根据平行线的判定得出即可．
【解答】证明：∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，
∴∠EBC＝ABC，∠FDA＝ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠EBC＝∠FDA，
∵BE∥DF，
∴∠EBC＝∠CFD，
∴∠CFD＝∠FDA，
∴BC∥AD．
15．（2020秋•砚山县期末）如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
【分析】推出EF∥BC，根据平行线性质求出∠ACB，求出∠FCB，根据角平分线求出∠ECB，根据平行线的性质推出∠FEC＝∠ECB，代入即可．
【解答】解：∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠ACB+∠DAC＝180°，
∵∠DAC＝120°，
∴∠ACB＝60°，
又∵∠ACF＝20°，
∴∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE＝20°，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠ECB，
∴∠FEC＝20°．
16．（2020秋•太原期末）如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．
（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，试说明AB与CD有怎样的位置关系？
【分析】（1）先根据CD∥EF得出∠2＝∠BCD，再由∠1＝∠2得出∠1＝∠BCD，进而可得出结论；
（2）根据DG∥BC，∠3＝85°得出∠BCG的度数，再由∠DCE：∠DCG＝9：10得出∠DCE的度数，由DG是∠ADC的平分线可得出∠ADC的度数，由此得出结论．
【解答】解：（1）DG∥BC．
理由：∵CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC；
（2）CD⊥AB．
理由：∵由（1）知DG∥BC，∠3＝85°，
∴∠BCG＝180°﹣85°＝95°．
∵∠DCE：∠DCG＝9：10，
∴∠DCE＝95°×＝45°．
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC＝2∠CDG＝90°，
∴CD⊥AB．
17．（2020秋•青羊区校级期末）完成下面推理过程．在括号内的横线上填空或填上推理依据．
如图，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求证：AB∥CD
证明：∵AB∥EF
∴∠APE＝ ∠PEF （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵EP⊥EQ
∴∠PEQ＝ 90° （ 垂直的定义 ）
即∠QEF+∠PEF＝90°
∴∠APE+∠QEF＝90°
∵∠EQC+∠APE＝90°
∴∠EQC＝ ∠QEF
∴EF∥ CD （ 内错角相等，两直线平行 ）
∴AB∥CD（ 平行于同一直线的两直线互相平行 ）
【分析】根据平行线的性质得到∠APE＝∠PEF，根据余角的性质得到∠EQC＝∠QEF根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵AB∥EF
∴∠APE＝∠PEF（两直线平行，内错角相等）
∵EP⊥EQ
∴∠PEQ＝90°（垂直的定义）
即∠QEF+∠PEF＝90°
∴∠APE+∠QEF＝90°
∵∠EQC+∠APE＝90°
∴∠EQC＝∠QEF
∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）
∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线互相平行），
故答案为：∠PEF，两直线平行，内错角相等，90°，∠QEF，内错角相等，两直线平行，CD，平行于同一直线的两直线互相平行．
18．（2020秋•绿园区期末）[感知]如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：
解；（1）如图①，过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠PFD＝130°（已知），
∴∠2＝180°﹣130°＝50°（等式的性质），
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°（等式的性质）．
即∠EPF＝90°（等量代换）．
[探究]如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．
[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，则∠G的度数是 35 °．
【分析】[探究]过点P作PM∥AB，根据AB∥CD，PM∥CD，进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数．
[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数．
【解答】[探究]如图②，过点P作PM∥AB，
∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性质）．
[应用]如图③所示，
∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，
∴∠AEG＝AEP＝25°，∠GFC＝PFC＝60°，
过点G作GM∥AB，
∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°．
故答案为：35．
19．（2020秋•仓山区期末）如图，AD，BC相交于点O，∠MCD＝∠BCM＝α，∠B＝4α．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠A＝∠B，求∠BOD的度数；（用含α的式子表示）
（3）若点E在AB上，连接OE，EP平分∠OEB交CM于点P，如备用图所示，求证：∠COE＝2∠EPC+∠B．
【分析】（1）通过计算∠BCD＝∠B，由平行线的判定内错角相等两直线平行即可证明AB∥CD．
（2）由计算即可求出∠BCD＝7α．
（3）通过作辅助线，由平行线的性质以及三角形的有关性质即可证明∠COE＝2∠EPC+∠B．
【解答】证明：（1）∵∠MCD＝∠BCM＝α，
∴∠BCM＝3α，
∴∠BCD＝∠BCM+∠MCD＝4α＝∠B，
∴AB∥CD．
解：（2）过O做OF，使OF∥AB∥CD
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠A＝∠B＝3α，
∵AB∥OF，
∴∠B＝∠BOF，
CD∥OF，
∴∠FOD＝∠D，
∠BOD＝∠BOF+∠FOD＝∠B+∠D＝4α+3α＝7α．
证明：（3）过点P作AB、CD的平行线PQ，
∵AB∥PQ∥CD，
∴∠QPC＝∠PCD＝α，
∴∠BEP＝∠EPQ＝∠OEB，
∵∠COE＝∠OEP+∠ENO，
且∠ENO＝∠B+∠BEN＝∠BNP，
∴∠COE＝∠B+∠BEN+∠OEP＝∠B+∠OEB，
又∵EP平分∠OEB，
∴∠COE＝2∠EPC+∠B．
20．（2020秋•禅城区期末）阅读下面内容，并解答问题
在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．
（1）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：“ EG⊥GF ”，并写出证明过程；
（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择 A或B 题，并写出解答过程．
A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．
B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系，并证明它．
【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
（2）A、利用基本结论，∠M＝∠BEM+∠DFM求解即可．
B、利用基本结论∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP求解即可．
【解答】解：（1）结论：EG⊥FG；
理由：如图1中，∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠GEF＝，，
∴∠GEF+∠GFE＝＝＝＝90°，
在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，
∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，
∴EG⊥FG．
故答案为：EG⊥GF；
（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，
∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，
∴∠BEM+∠MFD＝（∠BEG+∠DFG）＝45°，
∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD＝45°，
B．结论：∠EOF＝2∠EPF．
理由：如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，
∴∠EOF＝2∠EPF，
故答案为：A或B．
一．解答题（共20小题）
1．（2020秋•鼓楼区校级期末）如图，∠B＝∠C，AB∥EF，试说明：∠BGF＝∠C．请完善解题过程，并在括号内填上相应的理论依据．
解：∵∠B＝∠C，
∴AB∥ CD （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∵AB∥EF，
∴CD∥EF（ 平行于同一条直线的两条直线平行 ）．
∴∠EGC＝ ∠C （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠EGC＝∠BGF（ 对顶角相等 ），
∴∠BGF＝∠C．
【分析】根据平行线的性质填空即可．
【解答】解：∵∠B＝∠C，
∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）．
∵AB∥EF，
∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠EGC＝∠C（两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠EGC＝∠BGF（对顶角相等），
∴∠BGF＝∠C．
故答案为：CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行；∠C；两直线平行，内错角相等；对顶角相等．
2．（2020秋•仓山区期末）如图，BC∥DE，∠B+∠D＝180°，∠D＝∠E，求证：AB∥EF．
在下面的证明过程中填空（理由或数学式）．
证明：∵BC∥DE（已知），
∴∠C+∠ D ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠B+∠D＝180°（已知），
∴∠B＝∠C（ 同角的补角相等 ）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∵∠D＝∠E（已知），
∴CD∥ EF （内错角相等，两直线平行）．
∴AB∥EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
【分析】根据图形中角和直线的位置关系，利用平行线的性质和判定填空即可．
【解答】证明：∵BC∥DE（已知），
∴∠C+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠B+∠D＝180°（已知），
∴∠B＝∠C（同角的补角相等）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∵∠D＝∠E（已知），
∴CD∥EF（内错角相等，两直线平行）．
∴AB∥EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：D；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；EF．
3．（2020秋•海陵区期末）如图，∠ABC与∠DEF的两边分别交于点M、N．若∠ABC＝∠DEF，且AB∥EF．试说明BC∥DE．
【分析】根据平行线的性质和判断即可求解．
【解答】解：∵AB∥EF．（已知）
∴ABC+∠BNE＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠ABC＝∠DEF．（已知）
∴∠BNE+∠DEF＝180°．（等量代换）
∴BC∥DE．（同旁内角互补，两直线平行）
4．（2020秋•鼓楼区校级期末）在横线处填空，完成证明：
已知：如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
又∠1＝∠DMN（ 对顶角相等 ），
∴∠2＝∠DMN（等量代换）．
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠DBC+∠C＝180° （两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠C＝∠D（已知），
∴∠DBC+∠D＝180°（等量代换），
∴DF∥AC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
∴∠A＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）．
【分析】求出∠2＝∠DMN，根据平行线的判定得出DB∥EC，根据平行线的性质得出∠DBC+∠C＝180°，求出∠DBC+∠D＝180°，根据平行线的判定得出DF∥AC，根据平行线的性质得出即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），
又∵∠1＝∠DMN（对顶角相等），
∴∠2＝∠DMN（等量代换），
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠DBC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠DBC+∠D＝180°（等量代换），
∴DF∥AC （同旁内角互补，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等），
故答案为：对顶角相等，∠DBC+∠C＝180°，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等．
5．（2020秋•雨花区期末）如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3+∠4＝180°，试说明∠1＝∠2．（请通过填空完善下列推理过程）
解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（ 对顶角相等 ）．
∴∠3+ ∠FHD ＝180°（等量代换）．
∴FG∥BD（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
∴∠1＝ ∠ABD （ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝ ∠2 （ 角平分线的定义 ）．
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）．
【分析】求出∠3+∠FHD＝180°，根据平行线的判定得出FG∥BD，根据平行线的性质得出∠1＝∠ABD，根据角平分线的定义得出∠ABD＝∠2即可．
【解答】解：∵∠3+∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（对顶角相等），
∴∠3+∠FHD＝180°（等量代换），
∴FG∥BD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠ABD（两直线平行，同位角相等），
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠2（角平分线的性质），
∴∠1＝∠2（等量代换），
故答案为：对顶角相等，∠FHD，同旁内角互补，两直线平行，∠ABD，两直线平行，同位角相等，∠2，角平分线的定义，等量代换．
6．（2020秋•雨花区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠3＝∠B．
（1）求证：∠AFE＝∠ACB；
（2）若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠ACB的度数．
【分析】（1）求出∠FDE＝∠2，根据三角形内角和定理求出∠FEC＝∠ECB，根据平行线的判定得出EF∥BC，根据平行线的性质得出即可；
（2）根据∠3＝∠B得∠B＝50°，根据三角形内角和定理求出∠ECB＝20°，根据角平分线定义得出∠ACB＝2∠ECB＝40°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠FDE＝180°，
∴∠FDE＝∠2，
∵∠3+∠FEC+∠FDE＝180°，∠2+∠B+∠ECB＝180°，∠B＝∠3，
∴∠FEC＝∠ECB，
∴EF∥BC，
∴∠AFE＝∠ACB；
（2）解：∵∠3＝∠B，∠3＝50°，
∴∠B＝50°，
∵∠2+∠B+∠ECB＝180°，∠2＝110°，
∴∠ECB＝20°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ECB＝40°．
7．（2020秋•兴庆区校级期末）如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°．
（1）试判断AD与BC是否平行（请在下面的解答中，填上适当的理由或数学式）；
解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝ 2∠2 （角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝ 116 °（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝ 180 °．
∴AD∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
（2）若AE⊥BC，求∠ACB的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠CAD＝2∠2，利用等式的性质易得∠BAD＝116°，由平行线的判定定理可得结论；
（2）由垂直的定义可得∠AEB＝90°，由三角形的内角和定理可得∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，利用角平分线的性质和三角形的内角和定理可得结果．
【解答】解：（1）∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式的性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：2∠2，116，180，同旁内角互补，两直线平行；
（2）∵AE⊥BC，∠B＝64°，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，
∵∠BAC＝2∠BAE＝52°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣64°﹣52°＝64°．
8．（2020秋•沙坪坝区校级期末）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．
求证：∠1+∠4＝180°．
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，（已知）
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC．（ 角平分线的定义 ）．
∵∠ABC＝∠ADC，（ 已知 ）
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）．
∵∠1＝∠3（已知）
∴∠2＝∠ 3 ．（等量代换）
∴AB∥CD，（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠1+∠4＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
【分析】首先根据角平分线定义可得∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC，根据等式的性质可得∠1＝∠2，再由条件∠1＝∠3可得∠2＝∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠1+∠4＝180°．
【解答】证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（角平分线的定义），
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠3，（等量代换），
∴AB∥CD，（内错角相等，两直线平行），
∴∠1+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：角平分线的定义，已知，等量代换，3，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．
9．（2020秋•麦积区期末）如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝82°，请将求∠AGD的过程填写完整．
解：因为EF∥AD
所以∠2＝∠ 3 （ 两直线平行，同位角相等 ）
又因为∠1＝∠2
所以∠1＝∠3（ 等量代换 ）
所以AB∥ DG （ 内错角相等，两直线平行 ）
所以∠BAC+∠ AGD ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
因为∠BAC＝82°
所以∠AGD＝ 98 °
【分析】根据平行线的性质推出∠1＝∠2＝∠3，推出AB∥DG，根据平行线的性质得出∠BAC+∠DGA＝180°，代入求出即可．
【解答】解：∵EF∥AD，
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠DGA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC＝82°，
∴∠AGD＝98°，
故答案为：3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；AGD；两直线平行，同旁内角互补；98．
10．（2020秋•鼓楼区校级期末）已知：图中CD∥AB，求证：∠AEC＝∠C﹣∠A．
证明：如图，过点E作EF∥CD．
又∵CD∥AB（ 已知 ），
∴EF∥AB（ 平行于同一条直线的两条直线平行 ）．
∴∠CEF+∠C＝180°，∠AEF+∠A＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∴∠CEF＝180°﹣∠C，∠AEF＝180°﹣∠A，
∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF
＝（180°﹣∠A）﹣（180°﹣∠C）（ 等量代换 ）
＝180°﹣∠A﹣180°+∠C
＝∠C﹣∠A．
即：∠AEC＝∠C﹣∠A．
【分析】证EF∥AB，由平行线的性质得∠CEF+∠C＝180°，∠AEF+∠A＝180°，进而得出结论．
【解答】解：如图，过点E作EF∥CD，
又∵CD∥AB（已知），
∴EF∥AB（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠CEF+∠C＝180°，∠AEF+∠A＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠CEF＝180°﹣∠C，∠AEF＝180°﹣∠A，
∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF
＝（180°﹣∠A）﹣（180°﹣∠C）（等量代换）
＝180°﹣∠A﹣180°+∠C
＝∠C﹣∠A．
即：∠AEC＝∠C﹣∠A．
故答案为：已知；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换．
11．（2020秋•射洪市期末）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°．
试说明：∠GDC＝∠B，在下列解答中，填空（理由或数学式）．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（ 垂直的定义 ）．
∴EF∥AD（ 同位角相等两直线平行 ）．
∴ ∠1 +∠2＝180°（ 两直线平行同旁内角互补 ）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（ 同角的补角相等 ）．
∴AB∥ DG （ 内错角相等两直线平行 ）．
∴∠GDC＝∠B（ 两直线平行同位角相等 ）．
【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一判断即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义），
∴EF∥AD （同位角相等两直线平行），
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补），
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3 （同角的补角相等），
∴AB∥DG（内错角相等两直线平行），
∴∠GDC＝∠B （两直线平行同位角相等）．
故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等．
12．（2020秋•郑州期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．
如图2：当角∠CAE＝60°时，BC∥DE．
求其它所有可能符合条件的角∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）的度数，画出对应的图形并证明．
【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
【解答】解：当AC∥DE时，如图所示：
则∠CAE＝∠E＝90°；
当BC∥AD时，如图所示：
则∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣30°﹣45°＝105°；
当BC∥AE时，
∵∠EAB＝∠B＝60°，
∴∠CAE＝∠CAB+∠EAB＝90°+60°＝150°；
综上所述：∠CAE的度数为90°或105°或150°．
13．（2020秋•市北区期末）如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA＝180°．
求证：（1）EH∥AD；
（2）∠BAD＝∠H．
【分析】（1）先证DG∥AB，得出∠1＝∠BAD，则∠BAD+∠FEA＝180°，再根据平行线的判定即可得出结论；
（2）根据平行线的性质得出∠1＝∠H，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠CDG＝∠B，
∴DG∥AB，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1+∠FEA＝180°，
∴∠BAD+∠FEA＝180°，
∴EH∥AD；
（2）由（1）得：∠1＝∠BAD，EH∥AD，
∴∠1＝∠H，
∴∠BAD＝∠H．
14．（2020春•青羊区期末）如图，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，BE∥DF，求证：BC∥AD．
【分析】根据角平分线的定义得出∠EBC＝ABC，∠FDA＝ADC，求出∠EBC＝∠FDA，根据平行线的性质得出∠EBC＝∠CFD，求出∠CFD＝∠FDA，根据平行线的判定得出即可．
【解答】证明：∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，
∴∠EBC＝ABC，∠FDA＝ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠EBC＝∠FDA，
∵BE∥DF，
∴∠EBC＝∠CFD，
∴∠CFD＝∠FDA，
∴BC∥AD．
15．（2020秋•砚山县期末）如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
【分析】推出EF∥BC，根据平行线性质求出∠ACB，求出∠FCB，根据角平分线求出∠ECB，根据平行线的性质推出∠FEC＝∠ECB，代入即可．
【解答】解：∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠ACB+∠DAC＝180°，
∵∠DAC＝120°，
∴∠ACB＝60°，
又∵∠ACF＝20°，
∴∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE＝20°，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠ECB，
∴∠FEC＝20°．
16．（2020秋•太原期末）如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．
（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3＝85°，且∠DCE：∠DCG＝9：10，试说明AB与CD有怎样的位置关系？
【分析】（1）先根据CD∥EF得出∠2＝∠BCD，再由∠1＝∠2得出∠1＝∠BCD，进而可得出结论；
（2）根据DG∥BC，∠3＝85°得出∠BCG的度数，再由∠DCE：∠DCG＝9：10得出∠DCE的度数，由DG是∠ADC的平分线可得出∠ADC的度数，由此得出结论．
【解答】解：（1）DG∥BC．
理由：∵CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC；
（2）CD⊥AB．
理由：∵由（1）知DG∥BC，∠3＝85°，
∴∠BCG＝180°﹣85°＝95°．
∵∠DCE：∠DCG＝9：10，
∴∠DCE＝95°×＝45°．
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC＝2∠CDG＝90°，
∴CD⊥AB．
17．（2020秋•青羊区校级期末）完成下面推理过程．在括号内的横线上填空或填上推理依据．
如图，已知：AB∥EF，EP⊥EQ，∠EQC+∠APE＝90°，求证：AB∥CD
证明：∵AB∥EF
∴∠APE＝ ∠PEF （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵EP⊥EQ
∴∠PEQ＝ 90° （ 垂直的定义 ）
即∠QEF+∠PEF＝90°
∴∠APE+∠QEF＝90°
∵∠EQC+∠APE＝90°
∴∠EQC＝ ∠QEF
∴EF∥ CD （ 内错角相等，两直线平行 ）
∴AB∥CD（ 平行于同一直线的两直线互相平行 ）
【分析】根据平行线的性质得到∠APE＝∠PEF，根据余角的性质得到∠EQC＝∠QEF根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵AB∥EF
∴∠APE＝∠PEF（两直线平行，内错角相等）
∵EP⊥EQ
∴∠PEQ＝90°（垂直的定义）
即∠QEF+∠PEF＝90°
∴∠APE+∠QEF＝90°
∵∠EQC+∠APE＝90°
∴∠EQC＝∠QEF
∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）
∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线互相平行），
故答案为：∠PEF，两直线平行，内错角相等，90°，∠QEF，内错角相等，两直线平行，CD，平行于同一直线的两直线互相平行．
18．（2020秋•绿园区期末）[感知]如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度数．小明想到了以下方法：
解；（1）如图①，过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠PFD＝130°（已知），
∴∠2＝180°﹣130°＝50°（等式的性质），
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°（等式的性质）．
即∠EPF＝90°（等量代换）．
[探究]如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数．
[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，则∠G的度数是 35 °．
【分析】[探究]过点P作PM∥AB，根据AB∥CD，PM∥CD，进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数．
[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数．
【解答】[探究]如图②，过点P作PM∥AB，
∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性质）．
[应用]如图③所示，
∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，
∴∠AEG＝AEP＝25°，∠GFC＝PFC＝60°，
过点G作GM∥AB，
∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°．
故答案为：35．
19．（2020秋•仓山区期末）如图，AD，BC相交于点O，∠MCD＝∠BCM＝α，∠B＝4α．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠A＝∠B，求∠BOD的度数；（用含α的式子表示）
（3）若点E在AB上，连接OE，EP平分∠OEB交CM于点P，如备用图所示，求证：∠COE＝2∠EPC+∠B．
【分析】（1）通过计算∠BCD＝∠B，由平行线的判定内错角相等两直线平行即可证明AB∥CD．
（2）由计算即可求出∠BCD＝7α．
（3）通过作辅助线，由平行线的性质以及三角形的有关性质即可证明∠COE＝2∠EPC+∠B．
【解答】证明：（1）∵∠MCD＝∠BCM＝α，
∴∠BCM＝3α，
∴∠BCD＝∠BCM+∠MCD＝4α＝∠B，
∴AB∥CD．
解：（2）过O做OF，使OF∥AB∥CD
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠A＝∠B＝3α，
∵AB∥OF，
∴∠B＝∠BOF，
CD∥OF，
∴∠FOD＝∠D，
∠BOD＝∠BOF+∠FOD＝∠B+∠D＝4α+3α＝7α．
证明：（3）过点P作AB、CD的平行线PQ，
∵AB∥PQ∥CD，
∴∠QPC＝∠PCD＝α，
∴∠BEP＝∠EPQ＝∠OEB，
∵∠COE＝∠OEP+∠ENO，
且∠ENO＝∠B+∠BEN＝∠BNP，
∴∠COE＝∠B+∠BEN+∠OEP＝∠B+∠OEB，
又∵EP平分∠OEB，
∴∠COE＝2∠EPC+∠B．
20．（2020秋•禅城区期末）阅读下面内容，并解答问题
在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．
（1）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：“ EG⊥GF ”，并写出证明过程；
（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择 A或B 题，并写出解答过程．
A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．
B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系，并证明它．
【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
（2）A、利用基本结论，∠M＝∠BEM+∠DFM求解即可．
B、利用基本结论∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP求解即可．
【解答】解：（1）结论：EG⊥FG；
理由：如图1中，∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠GEF＝，，
∴∠GEF+∠GFE＝＝＝＝90°，
在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，
∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，
∴EG⊥FG．
故答案为：EG⊥GF；
（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，
∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，
∴∠BEM+∠MFD＝（∠BEG+∠DFG）＝45°，
∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD＝45°，
B．结论：∠EOF＝2∠EPF．
理由：如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，
∴∠EOF＝2∠EPF，
故答案为：A或B．
相关试卷
考点14 从统计图中获取信息专项练习-2021-2022学年七年级数学下册中考真题专项汇编之期末重难考点训练（人教版）： 这是一份考点14 从统计图中获取信息专项练习-2021-2022学年七年级数学下册中考真题专项汇编之期末重难考点训练（人教版），文件包含考点14从统计图中获取信息专项练习解析版docx、考点14从统计图中获取信息专项练习原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
考点13 数据收集、整理与描述-2021-2022学年七年级数学下册中考真题专项汇编之期末重难考点训练（人教版）： 这是一份考点13 数据收集、整理与描述-2021-2022学年七年级数学下册中考真题专项汇编之期末重难考点训练（人教版），文件包含考点13数据收集整理与描述解析版docx、考点13数据收集整理与描述原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
考点11 解不等式与不等式组专项练习-2021-2022学年七年级数学下册中考真题专项汇编之期末重难考点训练（人教版）： 这是一份考点11 解不等式与不等式组专项练习-2021-2022学年七年级数学下册中考真题专项汇编之期末重难考点训练（人教版），文件包含考点11解不等式与不等式组专项练习解析版docx、考点11解不等式与不等式组专项练习原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
