数学八年级下册16.1 二次根式导学案

16.1 二次根式（巩固篇）（专项练习）

一、单选题

类型一、求二次根式的值 

1．估计的值在（    ）

A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间

2．数轴上表示6-的点A的位置应在（　　）

A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间

3．a是任意实数，下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

类型二、求二次根式的参数 

4．已知是正整数，则满足条件的最大负整数m为（    ）

A．-10 B．-40 C．-90 D．-160

5．若成立，那么a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

6．若a、b为实数，且，则直线y＝axb不经过的象限是（　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

类型三、二次根式有意义的条件 

7．若式子有意义，则实数m的取值范围是 

A． B．且

C． D．且

8．等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（  ）

A． B． C． D．

9．下列判断正确的是　　

A．带根号的式子一定是二次根式

B．一定是二次根式

C．一定是二次根式

D．二次根式的值必定是无理数

类型四、利用二次根式的性质化简 

10．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）

A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b

11．把根号外的因式移入根号内的结果是（　　）

A． B． C． D．

12．如果，那么（　　　）

A． B． C． D．

类型五、复合二次根式的化简

13．化简二次根式得（  ）

A． B． C． D．

14．化简为（　　）

A． B． C． D．1

15．设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

类型一、求二次根式的值 

16．当时，二次根式的值是______.

17．已知点的坐标满足，，且，则点的坐标是__________

18．观察分析下列数据：，则第17个数据是 _______ .

类型二、求二次根式的参数 

19．单项式与是同类项，则______．

20．若为实数，且满足，则的值是________．

21．若 =2是二次根式的运算，则m+n=________．

类型三、二次根式有意义的条件 

22．若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____．

23．若a、b为实数，且b＝+4，则a+b＝_____．

24．若，则_____．

类型四、利用二次根式的性质化简 

25．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．

26．若 是整数，则最小正整数n的值为________．

27．若点P(x,y)在第二象限内，则化简的结果是______.

类型五、复合二次根式的化简

28．把二次根式（x-1）中根号外的因式移到根号内，结果是__．

29．______.

30．化简_______．

31．如果y＝+1，则2x＋y的值是_______．

三、解答题

32．若实数a，b，c满足|a-|+=+．

（1）求a，b，c；

（2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．

33．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬个单位到达点，再直爬向点停止，已知点表示，点表示，设点所表示的数为．

（1）求的值

（2）求的值

（3）直接写出蚂蚁从点到点所经过的整数中，非负整数有          个

34．已知，求的值

35．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简－＋.

36．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式了的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：

若设a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），

则有a＝m2+2n2，b＝2mn．

这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）若a+b＝（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　   　，b＝　   　；

（2）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；

（3）化简：．

参考答案

1．D

【分析】

寻找小于26的最大平方数和大于26的最小平方数即可.

【详解】

解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36，故，即：

，故选择D.

【点拨】本题考查了二次根式的相关定义.

2．B

【分析】

3=＜＜=4.

【详解】

解：由＜＜可得，＜6-＜6-，整理得2＜6-＜3，

故选择B.

【点拨】本题考查了二次根式的概念.

3．C

【分析】

根据二次根式的定义逐个判断即可．

【详解】

∵二次根式必须满足

∴只有②③④可以确定被开方数非负

一定是二次根式的个数是3个

故选C

【点拨】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．

4．A

【详解】

依题意可得，-10m＞0且是完全平方数，因此可求得m＜0，所以满足条件的m的值为-10.

故选A.

5．A

【分析】

由根号可知等号左边的式子为正，所以右边的式子也为正,所以可得答案.

【详解】

得-a≥0，所以a≤0，所以答案选择A项.

【点拨】本题考查了求解数的取值范围，等号两边的值相等是解答本题的关键.

6．D

【分析】

依据即可得到 进而得到直线不经过的象限是第四象限．

【详解】

解：∵

∴ 解得,

∴ ，

∴直线不经过的象限是第四象限．

故选D．

【点拨】本题主要考查了一次函数的性质，解决问题的关键是掌握二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．

7．D

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件即可求出答案．

【详解】

由题意可知：

∴m≥﹣2且m≠1

故选D．

【点拨】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件．

8．B

【分析】

根据二次根式有意义的条件即可求出的范围．

【详解】

由题意可知： ,

解得：,

故选．

【点拨】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.

9．C

【分析】

直接利用二次根式的定义分析得出答案．

【详解】

解：A、带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误；

B、，a≥0时，一定是二次根式，故此选项错误；

C、一定是二次根式，故此选项正确；

D、二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误；

故选C．

【点拨】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键．

10．C

【详解】

试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：

∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，

∴.

故选C．

考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴．

11．B

【分析】

本题需注意的是的符号，根据被开方数不为负数可得出，因此需先将的负号提出，然后再将移入根号内进行计算．

【详解】

解：

．

故选B．

【点评】

正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．需注意二次根式的双重非负性，．

12．D

【分析】

根据二次根式的非负性，构造不等式求解即可.

【详解】

∵是二次根式，

∴≥0，

∴≥0，

解得 ，

故选D.

【点拨】本题考查了二次根式的非负性，熟练将二次根式的非负性转化成对应的不等式是解题的关键.

13．A

【分析】

根据二次根式有意义的条件可推测，利用积的算术平方根以及商的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来即可．

【详解】

∵，

∴，

∴．

故选Ａ．

【点拨】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的意义以及化简方法为解题关键．

14．C

【分析】

将根号里面的式子变形成完全平方式，再开平方化简求值

【详解】

＝.

故选C.

【点拨】考查了代数式的变形，把根号里的代数式化成一个完全平方式，然后再化简求值，注意开平方时代数式为非负数．

15．A

【分析】

将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解．

【详解】

解：两侧同时平方，得到

∴

∴,

，

∴xyz＝，

故选择：A．

【点拨】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键．

16．

【分析】

把代入后化简即可求解.

【详解】

把代入得，

.

故答案为.

【点拨】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的运算法则把二次根式化为最简二次根式是解决问题的关键.

17．

【分析】

先根据二次根式求出y,再根据要求求出x即可.

【详解】

∵

∴y=4

∵，

∴x=-3

∴P为.

【点拨】本题考查的是坐标，熟练掌握绝对值和二次根式是解题的关键.

18．

【解析】

分析：将原数变形为：1×，2×，3×，4×…，根据规律可以得到答案．

详解：将原数变形为：1×，2×，3×，4×…，所以第17个数据是：17×＝51．

故答案为：51．

点睛：本题考查了算术平方根，解题的关键是将所得二次根式变形，找到规律解答．

19．1

【分析】

先根据同类项的定义列出方程，再结合二次根式的性质求出，的值，然后代入代数式计算即可．

【详解】

解：由题意知，即，

∴，，，

则，

故答案为1．

【点拨】此题考查了同类项的定义和二次根式的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项的定义，难度一般．

20．-1

【分析】

根据绝对值和二次根式的非负性求出x，y，代入求值即可；

【详解】

∵，

∴，

解得：，

∴；

故答案是-1．

【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的求解和代数式求值，准确利用绝对值和二次根式的非负性求解是解题的关键．

21．7

【详解】

试题解析：依题意得：m=2，

所以n-1=4，

解得n=5，

所以m+n=2+5=7．

故答案是：7．

22．x≥-3且x≠2

【分析】

直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．

【详解】

解：∵代数式有意义，

∴x+3≥0，且x-2≠0，

∴实数x的取值范围是：x≥-3且x≠2．

故答案为x≥-3且x≠2．

【点拨】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．

23．5或3

【分析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的值，b的值，根据有理数的加法，可得答案．

【详解】

由被开方数是非负数，得

，

解得a＝1，或a＝﹣1，b＝4，

当a＝1时，a+b＝1+4＝5，

当a＝﹣1时，a+b＝﹣1+4＝3，

故答案为5或3．

【点拨】本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

24．1002．

【分析】

根据绝对值的性质和二次根式的性质，即可解答

【详解】

∵，

∴．

由，得，

∴，

∴．

∴．

故答案是：1002．

【点拨】此题考查绝对值的非负性，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则

25．2．

【分析】

直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．

【详解】

由数轴可得：0＜a＜2，

则a+=a+=a+（2﹣a）=2．

故答案为2．

【点拨】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的取值范围是解题的关键．

26．5

【分析】

因为是整数，且，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．

【详解】

解：∵是整数，且，
∴5n是完全平方数，
∴满足条件的最小正整数n为5．
故答案是：5．

【点拨】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则．除法法则．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．

27．

【分析】

根据点P(x,y)在第二象限内，可得x<0,y>0,再根据二次根式的性质进行化简．

【详解】

解：∵点P(x,y)在第二象限内

∴x<0,y>0

∴=-x.

故答案为-x.

【点拨】本题考查二次根式的性质、象限点的坐标特征，解题关键是：当a≥0时，=a；当a<0时，=-a .

28．-

【分析】

根据二次根式有意义的条件可以判断x-1的符号，即可化简．

【详解】

解：(x-1)

故答案是：-．

【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，正确根据二次根式有意义的条件，判断1-x＞0，从而正确化简|1-x|是解决本题的关键．

29．1．

【分析】

根据完全平方公式的结构，把每个被开方数化成完全平方的形式，即可化简求值.

【详解】

原式

=，

.

故答案为1

【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，正确把被开方数化成完全平方的形式是关键.

30．

【分析】

设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．

【详解】

解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，

则

．

故答案为：．

【点拨】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．

31．9

【详解】

解：由题意得x=4，y=1，则2x＋y=9.

32．（1）a=，b=2， c=3；（2）.

【分析】

（1）利用二次根式的性质进而得出c的值，再利用绝对值以及二次根式的性质得出a，b的值；

（2）利用等腰三角形的性质分析得出答案．

【详解】

解：（1）由题意可得：c-3≥0，3-c≥0，

解得：c=3，

∴|a-|+=0，

则a=，b=2；

（2）当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和：+=2＜3，不能构成三角形，舍去；

当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，

则等腰三角形的周长为：+3+3=+6，

综上，这个等腰三角形的周长为：+6．

【点拨】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及等腰三角形的性质，正确得出c的值是解题关键．

33．（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）根据数轴两点间的距离公式得到，然后解方程即可得到的值；

（2）把的值代入，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义计算；

（3）先找出点到点所有整数和非负整数，然后根据概率公式求解．

【详解】

解：（1）由题意可得，

所以；

（2）把代入得

；

（3）从点到点所经过的整数有，0，1，2，其中非负整数有0，1，2，

所以蚂蚁从点到点所经过的整数中，非负整数有3个．

【点拨】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义和二次根式的意义，熟悉相关性质是解题的关键．

34．2019

【分析】

根据二次根式的性质求出m≥2019，再化简绝对值，根据平方运算，可得答案．

【详解】

∵                           

∴m≥2019 

∴  

∴原方程可化为 

 ∴

∴

∴

【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简绝对值是解题关键．

35．3a+b﹣c．

【详解】

试题分析:根据二次根式的性质可得:,根据三角形三边关系可得:a+b-c＞0,b+c-a＞0,c-b-a<0,然后化简绝对值.

试题解析:∵a,b,c是△ABC的三边长,

∴a+b＞c,b+c＞a,b+a＞c,

∴原式=|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|,

=a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）,

=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c,

=3a+b﹣c.

36．（1）a＝m2+7n2，b＝2mn；（2）a的值为为12或28；（3）+1．

【分析】

（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；

（2）利用（1）中结论得到6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后利用a＝m2+3n2计算对应a的值；

（3）设

＝t，两边平方得到t2＝4﹣+4++2，然后利用（1）中的结论化简得到t2＝6+2，最后把6+2写成完全平方形式可得到t的值．

【详解】

解：（1）设a+b＝（m+n）2＝m2+7n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），

则有a＝m2+7n2，b＝2mn；

故答案为m2+7n2，2mn；

（2）∵6＝2mn，

∴mn＝3，

∵a、m、n均为正整数，

∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，

当m＝1，n＝3时，a＝m2+3n2＝1+3×9＝28；

当m＝3，n＝1时，a＝m2+3n2＝9+3×1＝12；

即a的值为为12或28；

（3）设

＝t，

则t2＝4﹣+4++2

＝8+2

＝8+2

＝8+2（﹣1）

＝6+2

＝（+1）2，

∴t＝+1．

【点拨】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．