初中人教版8.3 实际问题与二元一次方程组学案

这是一份初中人教版8.3 实际问题与二元一次方程组学案，共19页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
8.3 实际问题与二元一次方程组（3）（知识讲解）【学习目标】 能据实际情况列二元一次方程组； 能据几何等量关系列二元一次方程组； 将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系。【要点梳理】要点一、常见的一些等量关系（二）1.数字问题    已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 几何问题根据几何图形条件找出等量关系列方程. 要点二、实际问题与二元一次方程组1.列方程组解应用题的基本思路    2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．特别说明：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.【典型例题】类型一、据实际情况列二元一次方程组1、为了参加学校举办的“新城杯”足球联赛，新城中学七（1）班学生去商场购买了A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费400元，七（2）班学生购买了品牌A足球3个、B品牌足球1个，共花费450元．（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？（2）为了进一步发展“校园足球”，学校准备再次购进A、B两种品牌的足球，学校提供专项经费850元全部用于购买这两种品牌的足球，学校这次最多能购买多少个足球？【答案】（1）购买一个A种品牌足球需要100元，购买一个B种品牌足球需要150元；（2）学校这次最多能购买8个足球．【分析】（1）设购买一个A种品牌足球需要x元，购买一个B种品牌足球需要y元，根据“购买A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费400元；购买A品牌足球3个、B品牌足球1个，共花费450元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设可以购买m个A种品牌足球，n个B种品牌足球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数即可求出m，n的值，将m，n值相加取其最大值即可得出结论．解：（1）设购买一个A种品牌足球需要x元，购买一个B种品牌足球需要y元，依题意，得：，解得：．答：购买一个A种品牌足球需要100元，购买一个B种品牌足球需要150元．（2）设可以购买m个A种品牌足球，n个B种品牌足球，依题意，得：100m+150n＝850，∴n＝．∵m，n均为非负整数，∴或或，∴m+n＝6或m+n＝7或m+n＝8．答：学校这次最多能购买8个足球．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．举一反三：【变式1】长江是我们的母亲河，金港新区为了打造沿江风景，吸引游客搞活经济，将一段长为180米的沿江河道整治任务交由A、B两工程队先后接力完成．A工作队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．求A、B两工程队分别整治河道多少米？⑴根据题意，七⑴班甲同学列出尚不完整的方程组如下．根据甲同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全甲同学所列的方程组；，x表示________________________，y表示_________________________；⑵如果乙同学直接设A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，列出了一个方程组，求A、B两工程队分别整治河道多少米．请你帮助他写出完整的解答过程．【答案】（1）20；180（2）A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米．【分析】(1) x 表示A工程队整治河道的米天数，y表示B工程队整治河道的天数.故可以知道方框分别是20和180.(2)根据天数关系和工作量关系可以列出方程组，并解之.解：(1)根据题意得： x 表示A工程队整治河道的天数，y表示B工程队整治河道的天数.故可以知道方框分别是总天数20和总长度180.(2)设A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y.,方程组的解为，     答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米．【点拨】本题考核知识点：二元一次方程组应用. 解题关键点：设好未知数，根据题意找出相等关系列方程组，并正确解方程组.【变式2】雅西高速，西昌到成都全长420km；一辆小汽车和一辆大客车分别从西昌和成都两地同时出发，相向而行，经过2.5h相遇，相遇时小汽车比大客车多行70km；（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲：       乙：①理顺甲、乙两名同学所列方程组的思路，请你分别指出未知数x、y表示的意义甲：x表示_______________．    y表示_______________．乙：x表示_______________．    y表示_______________．②补全甲、乙两人所列的方程组（2）求小汽车和大客车的速度.（写出完整的解答过程）【答案】（1）①见解析；②420，70；420，70；（2）小汽车行驶的速度为98km/h，大客车行驶的速度为70km/h．【分析】（1）根据方程理解未知数的意义并补全方程组即可；
（2）根据乙组方程求解即可．解：（1）①甲：x表示相遇时小汽车行驶了xkm；y表示相遇时大客车行驶了ykm．乙：x表示小汽车行驶的速度为xkm/h；y表示大客车行驶的速度为ykm/h．②甲:　乙：（2）设小汽车行驶的速度为xkm/h，大客车行驶的速度为ykm/h．解得：答：小汽车行驶的速度为98km/h，大客车行驶的速度为70km/h．【点拨】本题考查了二元一次方程组的实际应用，理解题意正确建立方程组是解题关键．类型二、据几何图形列二元一次方程组2、学校为了提高绿化品位，美化环境，准备将一块周长为76m的长方形草地，设计分成长和宽分别相等的9块小长方形，（放置位置如图所示），种上各种花卉．经市场预测，绿化每平方米造价约为108元．（1）求出每一个小长方形的长和宽．（2）请计算完成这项绿化工程预计投入资金多少元？【答案】（1）每个小长方形的长和宽分别是10米、4米；（2）完成这块绿化工程预计投入资金为38880元．【分析】（1）弄清题意，找出等量关系：2[5个小长方形的宽+（一个小长方形的长+两个小长方形的宽）]=周长和5个长方形的宽等于2个长方形的长，列二元一次方程组解答．（2）直接求出每个小长方形的面积，然后求出答案即可．解：（1）设小长方形的宽为x米，长为y 米．则，解得：，答：每个小长方形的长和宽分别是10米、4米；（2）（元），答：完成这块绿化工程预计投入资金为38880元．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．要弄清小长方形长、宽和大长方形周长之间的关系．举一反三：【变式1】已知A、B两个边长不等的正方形纸片并排放置(如图所示) (1)若m＝8，n＝3，则甲、乙两个正方形纸片的面积之和为: ______________        (2)用m、n表示甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:___________________(3)若A、B两个正方形纸片的面积之和为： ，且右下图中阴影部分的面积为：，则m=___________n=_______________________                      【答案】(1) 36.5； (2) ； (3) ，【分析】（1）设A的边长为x，B的边长为y，列出等式组解得x、y的值，再根据面积公式计算即可.（2）由题意列出m、n的关系式，根据不等式关系进行化简即可.（3）根据题意，列出S阴影面积与A、B面积的关系式，进行化简求值即可.解：(1)设A的边长为x，B的边长为y，则 ①+②得：2x=11x=5.5即A和B的面积之和为36.5.（2） 解得：x=, y=A、B面积之和= = (3)=由题意得：解得：【点拨】本题考查二元一次方程的运用，熟练掌握计算法则是解题关键.【变式2】正方形网格（边长为1的小正方形组成的网格纸，正方形的顶点称为格点）是我们在初中阶段常用的工具，利用它可以解决很多问题．（1）如图①中，△ABC是格点三角形（三个顶点为格点），则它的面积为     ；（2）如图②，在4×4网格中作出以A为顶点，且面积最大的格点正方形（四个顶点均为格点）；（3）人们发现，记格点多边形（顶点均为格点）内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S＝ma＋nb－1，其中m，n为常数．试确定m，n的值．【答案】（1）5;（2）画图见解析;（3）.【分析】（1）如图，根据△ABC的面积=矩形ADEF的面积-△ADB的面积-△BCE的面积-△ACF的面积计算；（2）根据格点多边形的定义，结合网格的特点画图即可；（3）求出（2）中所画出的正方形的面积，然后数出（1）和（2）中多边形内的格点数和多边形边上的格点数，代入S＝ma＋nb－1，列出二元一次方程组求解解：（1）△ABC的面积=4×3-×3×2-×2×2-×4×1= 5； （2）如图，画出的正方形的面积最大.    （3）由图1可知S=5，a=4，b=4，由图2可知：S=10，a=9，b=4，则有： 解得：.【点拨】本题考查了应用设计与作图，割补法求图形的面积，二元一次方程组的应用，正确列出关于m，n的方程组是解答本题的关键.类型三、数字问题3、列二元一次方程组解应用题.已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字的和为12，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小18，求原来的两位数．【答案】原来的两位数为75.【解析】试题分析：设原两位数的十位数字为x，根据把这个两位数的数字对调后，得到的新两位数比原两位数小18，可得出方程，解出即可．试题解析：设个位数字为,十位数字为. 根据题意得： 解得:             答：原来的两位数为75.   举一反三：【变式1】一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数.【答案】16【分析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程组，求出x，y，即可得到这个两位数.解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，由题意得，解得，所以这个两位数是16.【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，掌握两位数的表示方法，列出方程组是解题的关键．【变式2】一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为10．若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小28，求原来的两位数．【答案】原来的两位数是46．【分析】设原来的两位数个位数字为x，十位数字为y．等量关系：①十位上的数字与个位上的数字之和为10；②把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小28．解：设原来的两位数个位数字为x，十位数字为y．则
，
解得 ．
则原来的两位数是：10y+x =10×4+6=46．
答：原来的两位数是46．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
本题涉及一个常识问题：两位数=10×十位数字+个位数字，并且在求两位数或三位数时，一般是不能直接设这个两位数或三位数的，而是设它各个数位上的数字为未知数．类型四、表格或图示信息题4、某服装店用6000元购进A,B两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润3800元(毛利润=售价−进价)，这两种服装的进价，标价如表所示．(1)求这两种服装各购进的件数；(2)如果A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元? 类型价格A型B型进价(元/件)60100标价(元/件)100160【答案】（1）A种服装购进50件，B种服装购进30件；（2）2440元【分析】（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由总价=单价×数量，利润=售价-进价建立方程组求出其解即可；
（2）分别求出打折后的价格，再根据少收入的利润=总利润-打折后A种服装的利润-打折后B中服装的利润，求出其解即可．解：（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由题意，得，解得：，答：A种服装购进50件，B种服装购进30件；
（2）由题意，得：
3800-50（100×0.8-60）-30（160×0.7-100）
=3800-1000-360
=2440（元）．
答：服装店比按标价售出少收入2440元．【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．举一反三：【变式1】在“五一”期间，小明､小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与爸爸的对话(如图)，请根据图中的信息，解答下列问题：(1)他们共去了几个成人，几个学生？(2)请你帮他们算算，用哪种方式购票更省钱？【答案】（1）他们一共去了8个成人，4个学生；（2）按团体票购票更省钱【分析】（1）本题有两个相等关系：学生人数+成人人数=12人，成人票价+学生票价=400元，据此设未知数列方程组求解即可；（2）计算出按照团体票购买需要的钱数，然后与400元作对比即得答案．解：(1)设去了x个成人，y个学生，依题意得，，解得，答：他们一共去了8个成人，4个学生； (2)若按团体票购票，共需16×40×0.6＝384(元)，∵384＜400，∴按团体票购票更省钱．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．【变式2】随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价）．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 时间（分钟）里程数（公里）车费（元）小明8812小刚121016（1）求x，y的值；（2）如果小华也用该打车方式，打车行驶了11公里，用了14分钟，那么小华的打车总费用为多少？【答案】（1）x=1，y=；（2）小华的打车总费用为18元.分析：（1）根据表格内容列出关于x、y的方程组，并解方程组．（2）根据里程数和时间来计算总费用．解：(1)由题意得，解得；（2）小华的里程数是11km，时间为14min．则总费用是：11x+14y=11+7=18（元）．答：总费用是18元．类型五、开放型题5、由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)，答案：6.5吨.【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可．解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨．根据题意,得，解得.则x+y=4+2.5=6.5(吨).答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．类型六、其他问题6、请用两种方法解答下面的应用题：在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿和凳子腿数加起来共有60个，有几个椅子和几个凳子？【答案】房间里有12个椅子，4个凳子.【分析】设房间里有x个椅子，y个凳子，根据椅子和凳子共16个结合腿数＝4×椅子数+3×凳子数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：方法一：设房间里有x个椅子，y个凳子，根据题意得：，解得：．答：房间里有12个椅子，4个凳子；方法二：设房间里有x个椅子，（16﹣x）个凳子，根据题意得：4x+3（16﹣x）＝60，解得：x＝12，∴16﹣x＝4，答：房间里有12个椅子，4个凳子；【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．举一反三：【变式1】小明和体育老师一起玩投篮球游戏，两人商定：小明投中1个得2分，老师投中2个得1分．结果两人一共投中了20个球，计算发现两人共得16分，问：小明和老师各投中了几个球？【答案】老师投中16个，小明投中4个【分析】根据题意列出一元一次方程或二元一次方程组即可求解．解：解法一：（一元一次方程）设老师投中个，则小明投中个，根据题意，得解得所以答：老师投中16个，小明投中4个．解法二：（二元一次方程组）设老师投中个，小明投中个，根据题意，得解得答：老师投中16个，小明投中4个．【点拨】本题考查一次方程或方程组的应用．包括审、设、列、解、验、答等步骤．在充分理解题意的基础上，选择适当的量设未知数，列方程（组）、解方程（组）、检验并作答．【变式2】根据题意列方程组：（只列方程组）两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完.每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？【答案】【分析】设每节火车皮平均装货物x吨，每辆汽车平均装货物y吨，然后根据题意，列二元一次方程组即可.解：设每节火车皮平均装货物x吨，每辆汽车平均装货物y吨，则【点拨】此题考查的是二元一次方程组的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键.