初中数学人教版九年级下册第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.2 反比例函数的图象和性质学案

这是一份初中数学人教版九年级下册第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.2 反比例函数的图象和性质学案，共35页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
26.2 反比例函数的图象和性质（1）（知识讲解）
【学习目标】
1. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．
2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．
3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．
【要点梳理】
要点一、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
　 （1）设所求的反比例函数为： ()；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数的值；
（4）把求得的值代回所设的函数关系式 中.
要点二、反比例函数的图象和性质

　　1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
特别说明：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；
　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；
特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.
【典型例题】
类型一、反比例函数的图象
1． 已知函数y1＝－x2 和反比例函数y2的图象有一个交点是 A（，－1）．
（1）求函数y2的解析式；
（2）在同一直角坐标系中，画出函数y1和y2的图象草图；
（3）借助图象回答：当自变量x在什么范围内取值时，对于x的同一个值，都有y1＜y2？
【答案】（1）；（2）作图见解析；（3）x＜0，或x＞.
分析：（1）利用A点在二次函数的图象上，进而利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）根据二次函数的性质以及反比例函数的性质画出草图即可；
（3）利用函数图象以及交点坐标即可得出x的取值范围．
解：（1）把点A（，-1）代入y1=−x2，
得-1=−a，
∴a=3．
设y2=，把点A（，-1）代入，
得  k=−，
∴y2=−．
（2）画图；   
                              
（3）由图象知：当x＜0，或x＞时，y1＜y2．
点睛：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及二次函数的性质和比较函数的大小关系，利用数形结合得出是解题关键．
举一反三：
【变式1】作出函数y＝的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)当x＝－2时，求y的值；
(2)当2＜y＜3时，求x的取值范围；
(3)当－3＜x＜2时，求y的取值范围．
【答案】（1）y=-6；（2）4＜x＜6；（3）y＜－4或y＞6.
【分析】
（1）把x=-2代入解析式求得y的值；
（2）求得当y=2和y=3时函数值，根据函数图象的性质即可确定；
（3）求得当x=-3和x=2时函数值，根据函数图象的性质即可确定．

解：(1)当x＝－2时，y＝＝－6；
(2)当y＝2时，x＝＝6，当y＝3时，x＝＝4，
则x的范围是4＜x＜6；
(3)当x＝－3时，y＝＝－4，
当x＝2时，y＝6，
则y的范围是y＜－4或y＞6.
【点拨】本题考查了反比例函数的图象的性质，对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
【变式2】.已知函数y＝，小明研究该函数的图象及性质时，列出y与x的几组对应值如下表：
请解答下列问题：

（1）根据表格中给出的数值，在平面直角坐标系xOy中，指出以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）写出该函数的两条性质：①　 　；②　 　．

【答案】（1）见解析；（2）该函数的两条性质：①图象关于y轴对称，②图象在x轴的上方．
【分析】
（1）利用描点法画出函数的图象；
（2）根据函数图象得到该函数的性质．
解：（1）如图：

（2）该函数的两条性质：①图象关于y轴对称，②图象在x轴的上方．
故答案为图象关于y轴对称，图象在x轴的上方
【点拨】本题考查了反比例函数的图象，正确画出函数的图象是解题的关键．
类型二、由双曲线判定解析式
2． y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：(1)写出这个反比例函数的表达式；(2)根据函数表达式完成上表．

【答案】（1）y＝－.（2）见解析。
【分析】
（1）设反比例函数的表达式为y=，找出函数图象上一个点的坐标，然后代入求解即可；
（2）将x或y的值代入函数解析式求得对应的y或x的值即可．
解：(1)设反比例函数的表达式为y＝，
把x＝－1，y＝2代入，
得k＝－2，
所以反比例函数表达式为y＝－.
(2)将y＝代入，得x＝－3；
将x＝－2代入，得y＝1；
将x＝－代入，得y＝4；
将x＝代入，得y＝－4，
将x＝1代入，得y＝－2；
将y＝－1代入，得x＝2，
将x＝3代入，得y＝－.

【点拨】本题主要考查的是反比例函数的定义、函数图象上点的坐标与函数解析式之间的关系，求得函数的解析式是解题的关键．
举一反三：
【变式1】1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈!这就是有趣的“瞎转圈”现象.经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米是其两腿迈出的步长之差厘米的反比例函数，其图象如图所示.

请根据图象中的信息解决下列问题:
（1）求与之间的函数表达式；
（2）当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为______米；
（3）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米?
【答案】（1）；（2）；（3）步数之差最多是厘米，
【分析】
（1）用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）即求当时的函数值；
（3）先求得当时的函数值，再判断当时的函数值的范围.
解：（1）设反比例函数解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
反比例函数解析式为；
（2）将代入得；
（3）反比例函数，
在每一象限随增大而减小，
当时，，
解得：，
当时，，
步数之差最多是厘米.
【点拨】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答本题的关键.
【变式2】.如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝﹣的图象在第二象限交于点C，如果点A为的坐标为（2，0），B是AC的中点．
（1）求点C的坐标及k、b的值．
（2）求出一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点的坐标，并直接写出当时，x的取值范围．

【答案】（1）C（﹣2，4）；；（2）另一个交点坐标为（4，﹣2），x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．
【分析】
（1）由A（2，0）利用平行线等分线段定理，可求出点C的横坐标，代入反比例函数关系式，可求其纵坐标；用两点法确定一次函数的关系式，即待定系数法确定函数的关系式，求出k、b的值；
（2）可将两个函数的关系式联立成方程组，解出方程组的解，若有两组解，说明两个函数的图象有两个交点，根据图象可以直观看出一次函数值大于反比例函数值时，自变量的取值范围．
解：（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
∵CD∥OB，
∴，
又∵B是AC的中点．
∴AB＝BC，
∴OA＝OD
∵A（2，0），
∴OA＝OD＝2，
当x＝﹣2时，y＝﹣＝4，
∴C（﹣2，4）
把A（2，0），C（﹣2，4）代入y＝kx+b得：
解得：，
∴一次函数的关系式为：y＝﹣x+2；
因此：C（﹣2，4），k＝﹣1，b＝2．
（2）由题意得：
解得：；
∵一个交点C（﹣2.4）
∴另一个交点E（4，﹣2）；
当时，即：y一次函数＞y反比例函数，
由图象可以直观看出自变量x的取值范围：x＜﹣2或0＜x＜4．
因此：另一个交点坐标为（4，﹣2），x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．

【点拨】反比例函数图象上的点坐标的特征，待定系数法求函数的关系式，解方程组以及数形结合思想的应用是解题关键．
类型三、由双曲线对称性求点的坐标
3． 有这样一个问题：探究函数的图象和性质．小奥根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．下面是小奥的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是_________；
（2）下表是与的几组对应值，则的值为______，的值为______；

…







1
2
3
4
5
…

…








2



…
（3）如右图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；

（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是．结合函数图象，写出该函数的其他两条性质：①_________，②_________．
【答案】（1）；（2），；（3）见解析；（4）①时，随的增大而增大，②函数图象关于原点对称
【分析】
（1）由x在分母上，可得出；
（2）将对应的x，y值代入求解即可；
（3）连点成线，画出函数图象；
（4）观察函数图象，找出函数的两条性质即可．
解：（1）∵x在分母上，
∴．
故答案为：；
（2）当时，，解得，，取；
当时，
故答案为：，；
（3）函数图象如下：

（4）根据函数图象可知：（1）当时，y随x的增大而增大；（2）函数图象关于原点对称．
故答案为：①时，随的增大而增大，②函数图象关于原点对称
【点拨】本题考查的知识点是反比例函数图象及性质，正比例函数图象及性质，题目比较基础，易于解决．
举一反三：
【变式1】在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字2、3、4、6的乒乓球，它们的形状、大小、颜色、质地完全相同，耀华同学先从盒子里随机取出一个小球，记为数字x，不放回，再由洁玲同学随机取出另一个小球，记为数字y，
（1）用树状图或列表法表示出坐标(x，y)的所有可能出现的结果；
（2）求取出的坐标(x，y)对应的点落在反比例函数y＝图象上的概率．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
(1)首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果；
(2)由(1)中的列表求得点(x，y)落在反比例函数y=的图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：(1)列表如下

2
3
4
6
2

(3，2)
(4，2)
(6，2)
3
(2，3)

(4，3)
(6，4)
4
(2，4)
(3，4)

(6，4)
6
(2，6)
(3，6)
(4，6)

则共有12种可能的结果；
(2)各取一个小球所确定的点(x，y)落在反比例函数y=的图象上的有(6，2)，(4，3)，
(3，4)，(2，6)四种情况，
∴点(x，y)落在反比例函数y=的图象上的概率为=．
【点拨】本题考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数图象上点的坐标特征．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式2】.在平面直角坐标系中，把横纵坐标都是整数的点称为“整点”．
（1）直接写出函数图象上的所有“整点”A1，A2，A3，…的坐标；
（2）在（1）的所有整点中任取两点，用树状图或列表法求出这两点关于原点对称的概率．

【答案】（1）A1（﹣3，﹣1），A2（﹣1，﹣3），A3（1，3），A4（3，1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）根据题意，可以直接写出函数y=图象上的所有“整点”；（2）根据题意可以用树状图写出所有的可能性，从而可以求得两点关于原点对称的概率．
试题解析：（1）由题意可得，函数y=图象上的所有“整点”的坐标为：A1（﹣3，﹣1），A2（﹣1，﹣3），A3（1，3），A4（3，1）；
（2）所有的可能性如下图所示，

由图可知，共有12种结果，关于原点对称的有4种，
∴P（关于原点对称）=．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．
类型四、由双曲线位置求参数取值范围
4． 已知反比例函数y=，（k为常数，k≠1）．
（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；
（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
（3）若k=13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）k=3；（2）k＜1；（3）不在；理由见解析．
【分析】
（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据反比例函数图象的性质得到：k-1＜0，由此求得k的取值范围；
（3）把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证．
解：（1）∵点A（1，2）在这个函数的图象上，
∴k﹣1=1×2，
解得k=3；
（2）∵在函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1；
（3）∵k=13，有k﹣1=12，
∴反比例函数的解析式为．
将点B的坐标代入，可知点B的坐标满足函数关系式，
∴点B在函数的图象上，
将点C的坐标代入，由5≠，可知点C的坐标不满足函数关系式，
∴点C不在函数的图象上．
举一反三：
【变式1】如图，是反比例函数的图象的一支．根据给出的图象回答下列问题：

（1）该函数的图象位于哪几个象限？请确定m的取值范围；
（2）在这个函数图象的某一支上取点A（x1，y1）、B（x2，y2）．如果y1＜y2，那么x1与x2有怎样的大小关系？
【答案】（1）函数图象位于第二、四象限，m＜5．
（2）①当y1＜y2＜0时，x1＜x2；
②当0＜y1＜y2，x1＜x2．
试题分析：（1）根据反比例函数图象的对称性可知，该函数图象位于第二、四象限，则m﹣5＜0，据此可以求得m的取值范围；
（2）根据函数图象中“y值随x的增大而增大”进行判断．　
解：（1）∵反比例函数图象关于原点对称，图中反比例函数图象位于第四象限，
∴函数图象位于第二、四象限，则m﹣5＜0，解得，m＜5．
∴m的取值范围是m＜5．
（2）由（1）知，函数图象位于第二、四象限，
∴在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
①当y1＜y2＜0时，x1＜x2；
②当0＜y1＜y2，x1＜x2．
【变式2】.已知反比例函数的图象有一支在第一象限．
（1）求常数m的取值范围；
（2）若它的图象与函数y=x的图象一个交点的纵坐标为2，求当﹣2＜x＜﹣1时，反比例函数值y的取值范围．
【答案】（1）m＞5；（2）﹣4＜x＜﹣2
【分析】
（1）反比例函数在第一象限，m-5＞0；
（2）把交点的纵坐标代入正比例函数解析式，即可求得完整的交点坐标，代入反比例函数解析式，就能求得反比例函数解析式，代入题中所给的x的值，就能求出y的取值．
解：（1）∵反比例函数的图象有一支在第一象限，
∴m﹣5＞0，即m＞5，
因此m的取值范围为m＞5；
（2）由题意可知，反比例函数的图象经过点（2，2），
∴2×2=m﹣5，得m=9，
∴，
当x=﹣2时，y=﹣2，
当x=﹣1时，y=﹣4，
故根据反比例函数图象知，
当﹣2＜x＜﹣1时，y的取值范围是﹣4＜x＜﹣2．
【点拨】本题考查了：（1）反比例函数的性质：当k＞0，函数图象在一三象限；当k＜0，函数图象在二四象限；（2）相应的自变量对应一定的函数值．
类型五、判断反比例函数的增减性
5． 参照学习函数的过程方法，探究函数的图像与性质，因为，即，所以我们对比函数来探究列表：

…
-4
-3
-2
-1


1
2
3
4
…


…


1
2
4
-4
-2
-1


…


…


2
3
5
-3
-2
0


…

描点：在平面直角坐标系中以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示：

（1）请把轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；
（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当时，随的增大而______；（“增大”或“减小”）
②的图象是由的图象向______平移______个单位而得到的；
③图象关于点______中心对称.（填点的坐标）
（3）函数与直线交于点，，求的面积.
【答案】（1）如图所示，见解析；（2）①增大；②上，1；③；（3）1.
【分析】
（1）按要求把轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线顺次连接起来即可；
（2）①观察图像可得出函数增减性；②由表格数据及图像可得出平移方式；③由图像可知对称中心；
（3）将与联立求解，得到A、B两点坐标，将△AOB分为△AOC与△BOC计算面积即可.
解：（1）如图所示：

（2）①由图像可知：当时，随的增大而增大，故答案为增大；
②由表格数据及图像可知，的图象是由的图象向上平移1个单位而得到的，故答案为上，1；
③由图像可知图像关于点（0,1）中心对称.
（3），解得：或
∴A点坐标为（-1,3），B点坐标为（1，-1）
设直线与y轴交于点C，当x=0时，y=1，
所以C点坐标为（0,1），如图所示，

S△AOB= S△AOC+ S△BOC
=
=
=
所以△AOB的面积为1.
【点拨】本题考查反比例函数的图像与性质，描点作函数图像，掌握反比例函数的图像与性质是关键.
举一反三：
【变式1】已知反比例函数的图象过点．
求这个反比例函数的表达式；
这个函数的图象分布在哪些象限？随的增大如何变化？
点，和是否在这个函数的图象上？
【答案】(1)；(2)见解析;（3）见解析.
【分析】
（1）利用待定系数易得反比例函数解析式为；
（2）根据反比例函数的性质求解；
（3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
解：设反比例函数解析式为，
把代入得，
所以反比例函数解析式为；
因为，
所以这个函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，随的增大而增大；当时，；当时，，
所以点，点在比例函数的图象上，点不在．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式:设出含有待定系数的反比例函数解析式把已知条件(自变量与函数的对应值)带入解析式,得到待定系数的方程;解方程,求出待定系数;写出解析式.也考查了反比例函数的性质.
【变式2】.己知函数为反比例函数．
（1） 求k的值，并判断点A(－2, )是否在该反比例函数的图像上；
（2）该反比例函数图像在第 象限，在每个象限内，y随x的增大而 ；
（3）当时，y的取值范围为 ．
【答案】（1）不在；（2）二、四，增大；（3）1＜y＜4．
【分析】
（1）由反比例函数的定义可得：，从而可得答案；
（2）由＜，可得函数图像的分布，从而可得答案；
（3）分别计算出当时的函数值，再利用，当＜时，随的增大而增大，从而可得答案．
解：（1） 函数为反比例函数，

由①得：
由②得：

反比例函数为：
当时，
不在的图像上．
（2）＜，
的图像在二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，
故答案为：二、四，增大；
（3）当时，
当时，
由，当＜时，随的增大而增大，
所以：当时，y的取值范围为：
故答案为：
【点拨】本题考查的是反比例函数的定义与性质，掌握反比例函数的定义与性质是解题的关键．
类型六、由反比例函数判定其位置
6． 已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣3，﹣6）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）点B（4，），C（2，﹣5）是否在这个函数的图象上？
（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自变量x的增大如何变化？
【答案】（1）y＝；（2）点B（4，）在这个函数的图象上，点C（2，﹣5）不在这个函数的图象上；（3）这个函数的图象位于一、三象限，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）把点B（4，），C（2，-5）分别代入反比例函数解析式即可；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结论．
解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣3，﹣6）．
∴﹣6＝，解得，k＝18
则反比例函数解析式为y＝；
（2）点B（4，），C（2，﹣5），
∴4×＝18，2×（﹣5）＝-10，
∴点B（4，）在这个函数的图象上，
点C（2，﹣5）不在这个函数的图象上；
（3）∵k＝18＞0，
∴这个函数的图象位于一、三象限，
在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小．
【点拨】本题考查的是反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】我们已经学习过反比例函数y=的图像和性质，请你回顾研究它的过程，运用所学知识对函数的图像和性质进行探索，并解决下列问题：
（1）该函数的图像大致是(　　)
A．　　　　B．
C．　　　　D．
（2）写出该函数两条不同类型的性质：
①　　　　；
②　　　　．
（3）写出不等式－＋4＞0的解集．
【答案】（1）C；（2）答案不唯一，写出两条即可，如：在第三象限内，y随x的增大而增小；在第四象限内，y随x的增大而减大；函数图像关于y轴成轴对称图形；（3）x＜－或x＞．
【分析】
（1）对于函数的图象，无论x取非零实数时，y的值总小于零，可得图象；
（2）可以从函数的增减性方面进行说明，也可以从函数图象位于的象限说明；函数图象关于y轴成轴对称图形；
（3）先求出y=-4时x的值，再根据图形确定不等式 的解集．
解：（1）∵函数，
∴函数的图象是：C
故答案为：C．
（2）答案不唯一，写出两条即可，
如：在第三象限内，y随x的增大而增小，
在第四象限内，y随x的增大而减大，
函数图像关于y轴成轴对称图形；
（3）当y=-4时， ，
解得：，
根据函数的图象和性质得，不等式的解集是：或．
x＜－或x＞
【点拨】本题考查函数的意义以及反比例函数的图象和性质，特别注意利用图象得出性质，再利用性质解决问题．
【变式2】.已知反比例函数的图像经过点（2，-3）．
（1）求这个函数的表达式．
（2）点（-1，6），（3，2）是否在这个函数的图像上？
（3）这个函数的图像位于哪些象限？函数值y随自变量的增大如何变化？
【答案】（1）y=-；（2）(-1，6)在函数图像上，(3，2)不在函数图像上；（3）二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
【分析】
（1）根据待定系数法求得即可；
（2）根据图象上点的坐标特征，把点(﹣1，6)，(3，2)代入解析式即可判断；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结论．
解：（1）设反比例函数的解析式为y(k≠0)．
∵反比例函数的图象经过点(2，﹣3)，
∴k=2×(﹣3)=﹣6，
∴反比例函数的表达式y；
（2）把x=﹣1代入y得：y=6，
把x=3代入y得：y=﹣2≠2，
∴点(﹣1，6)在函数图象上，点(3，2)不在函数图象上．
（3）∵k=﹣6＜0，
∴双曲线在二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．
【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法以及反比例函数的性质是解答本题的关键．
类型七、由反比例函数增减性求参数
7． 已知反比例函数．
（1）如果这个函数的图像经过点（2，-1），求k的值；
（2）如果在这个函数图像所在的每个象限内， y的值随x的值增大而减小，求k的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）将点（2，-1）代入反比例函数解析式即可求出k值；
（2）由这个函数图象所在的每个象限内y的值随x的值增大而减小，可确定2k+1>0，进而可得k的取值范围．
解：（1）把x=2，y=-1代入的左右两边解得；
（2）∵在这个函数图像所在的每个象限内， y的值随x的值增大而减小，
∴2k+1>0，
解得：．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的解析式以及图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
举一反三：
【变式】已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，2）．
（1）求它的解析式；
（2）在直角坐标中画出该反比例函数的图象；
（3）若﹣3＜x＜﹣2，求y的取值范围．
【答案】（1）y＝；（2）图象见解析；（3）2＜y＜3．
【分析】
（1）根据反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，2），可以求得k的值，从而可以得到该函数的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以画出该函数的图象；
（3）根据反比例函数的性质可以写出当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围．
解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，2），
∴2＝，得k＝﹣6，
即该反比例函数的解析式为y＝；
（2）该函数的图象如下图所示；
（3）由图象可知，当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵﹣3＜x＜﹣2，
∴2＜y＜3，
即当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围是2＜y＜3．

【点拨】本题考查的知识点是反比例函数的图象，属于基础题目，比较容易掌握．
类型八、由反比例函数求函数值或自变量取值范围
8． 已知反比例函数y＝的图象经过点A（2，﹣4）．
（1）求k的值．
（2）若点B（m，﹣6）在这个反比例函数的图象上，则m＝_______．
（3）点A（x1，y1）B（x2，y2）均在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2，比较y1，y2的大小关系．
【答案】（1）k＝9；（2）；（3）当0＜x1＜x2或x1＜x2＜0，y1＜y2；当x1＜0＜x2，y2＜y1．
【分析】
（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法确定函数关系式；
（2）根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，列式求解即可；
（3）分类讨论：当0＜x1＜x2或x1＜x2＜0，则y1＜y2；当x1＜0＜x2，则y2＜y1．
解：（1）依题意得：1﹣k＝2×（﹣4）＝﹣8，所以k＝9；
（2）∵点B（m，﹣6）在这个反比例函数的图象上，
∴﹣6m＝﹣8，
∴m＝，
故答案为；
（3）∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，
当0＜x1＜x2或x1＜x2＜0，y1＜y2；
当x1＜0＜x2，y2＜y1．
【点拨】本题考查反比例函数的图象与性质、其中涉及反比例函数解析式的求法、反比例函数图象的增减性、分类讨论思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
举一反三：
【变式1】若反比例函数的图象如图所示．

求常数的取值范围；
在每一象限内，随的增大而________；
若点、、在该函数的图象上，试比较、、的大小．（直接写出结果，结果用“”连接起来）
【答案】(1)k>2;(2)减小; ．
【分析】
（1）根据题图与反比例函数的性质即可求解；
（2）根据反比例函数的性质求解即可；
（3）根据反比例函数的性质求解即可.
解：(1)由图象知：反比例函数y=的图象位于第一、三象限，
∴k−2>0，解得：k>2，
∴常数k的取值范围为k>2；
(2)∵反比例函数y=中k−2>0，
∴反比例函数在每一象限内，y随x的增大而减小,
故答案为：减小；
∵点、、在该函数的图象上，
∴，，
∴．
【点拨】本题考点：反比例函数的性质.
【变式2】.】.画出反比例函数y＝的图象，并根据图象回答问题：
(1)根据图象指出当y＝－2时x的值；
(2)根据图象指出当－2