类型3题型1圆的基本性质证明与计算-2022年中考数学二轮复习重难题型突破试卷（教师版+学生版）

类型一圆的基本性质证明与计算

【典例1】如图．点A，B，C，D，E均在⊙O上．∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（　　）

A．45° B．60° C．75° D．90°

【答案】D

【解析】

【分析】

首先连接BE,由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数,然后由圆周角定理,求得∠BOD的度数.

【详解】

解：连接BE,

∵∠BEC＝∠BAC＝15°,∠CED＝30°,

∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°,

∴∠BOD＝2∠BED＝90°.

故选:D.

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理的应用,做题的时候分清楚每一个角是解此类题的关键.

【典例2】如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（　　）

A．70° B．110° C．130° D．140°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据圆内接四边形的对角互补计算即可．

【详解】

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，

∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，

故选：B．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

【典例3】如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　）

A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°

【答案】D

【解析】

【分析】

根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．

【详解】

解：∵OA⊥BC，

∴∠AOB＝∠AOC＝90°，

∴∠DBC＝90°﹣∠BEO

＝90°﹣∠AED

＝90°﹣α，

∴∠COD＝2∠DBC

＝180°﹣2α，

∵∠AOD+∠COD＝90°，

∴β+180°﹣2α＝90°，

∴2α﹣β＝90°，

故选：D．

【点睛】

本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．

【典例4】如图，在中，，以点O为圆心，2为半径的圆与交于点C，过点C作交于点D，点P是边上的动点．当最小时，的长为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【解析】

【分析】

延长CO交于点E，连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线份线段成比例分别求出CD，PO的长即可．

【详解】

延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，如图，

∵CD⊥OB，

∴∠DCB=90°,

又，

∴∠DCB=∠AOB，

∴CD//AO

∴

∵OC=2，OB=4，

∴BC=2,

∴，解得，CD=；

 ∵CD//AO，

∴，即，解得，PO=

 故选：B．

【点睛】

此题主要考查了轴对称---最短距离问题，同时考查了平行线分线段成比例，掌握轴对称性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键．

【典例5】如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（）

A．4 B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

连接BO，根据圆周角定理可得，再由圆内接三角形的性质可得OB垂直平分AC，再根据正弦的定义求解即可．

【详解】

如图，连接OB，

∵是的内接三角形，

∴OB垂直平分AC，

∴，，

又∵，

∴，

∴,

又∵AD=8，

∴AO=4，

∴，

解得：，

∴．

故答案选B．

【点睛】

本题主要考查了圆的垂径定理的应用，根据圆周角定理求角度是解题的关键．

【典例6】如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据是的直径，弦，由垂径定理得，再根据证得，即可证明，即可得出．

【详解】

解：是的直径，弦，

，．

又

在和中，

，

故选：B

【点睛】

本题考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定，扇形的面积，等积变换，解此题的关键是证出，从而将阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积，题目比较典型，难度适中．

【典例7】如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2．则BO的长是_________．

【答案】4

【解析】

【分析】

连结OC，设⊙O的半径为r，由DC2=CE•CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到，则，然后证明，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值即可．

【详解】

解：连结，如图，设的半径为，

，

，

而，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，即，

，

即OB=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理．

【典例8】如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为　　．

【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．

【解答】解：∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，

∴AE＝AB，EG＝BC；

根据圆周角的性质可得：∠MFG＝∠MEG．

∵sin∠MFG＝sin∠MEG＝＝，

∴sin∠MFG＝．

故答案为：．

【点评】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．

【典例9】如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．

【详解】

∵和∠ABC所对的弧长都是，

∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，

∴在Rt△ACB中，AB=

根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，

∴=，

故选A．

【点睛】

本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．

【典例10】如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是(   )

A．AE>BE

B.＝

C．∠D＝∠AEC

D．△ADE∽△CBE

【答案】：D

命题点2　圆周角定理

【典例11】如图，点O为优弧所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D______．

【答案】：27°

重难点1　垂径定理及其应用

【典例12】已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2.

(1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝_______；

图1   　　   图2   　　    图3      　　图4

探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝_____；

(2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点．

①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝__________；

②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝___________．

【答案】：（1）8 ,  （2） 

【思路点拨】　由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．

【变式训练1】如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为(   )

A．4               B．2             C.          D．2

【答案】：D

【变式训练2】　【分类讨论思想】已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是__________________

【答案】：2cm或14cm

1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．

2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．

3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长．

重难点2　圆周角定理及其推论

【典例14】已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4.

(1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；

(2)如图2，若∠A＝45°：

①求BC的长；

②若点C是的中点，求AB的长；

(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．

图1                   图2               　　图3

【答案】（1）4（2）4.,8（3）4.

【点拨】　连接OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解．

【解析】　解：(1)连接OB，OC.

∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．

∴BC＝OB＝4.

(2)①连接OB，OC.

∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形．

∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.

②∵点C是的中点，∴∠ABC＝∠A＝45°.

∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直径．∴AB＝8.

(3)在优弧上任取一点D，连接BD，CD，连接BO，CO.

∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.

∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.

【变式训练3】　如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(     )

A．58°                B．60°             C．64°             D．68°

【答案】：A

【变式训练4】　将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为(    )

A．15°               B．28°            C．29°                 D．34°

【答案】C

1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧．

2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决．

3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补．

在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边．

注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒．

重难点3　圆内接四边形

【典例14】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为(    )

A．50°             B．60°            C．80°             D．90°

【答案】C

【思路点拨】　延长AE交⊙O于点M，由垂径定理可得＝2，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE与∠EAD互余，由此得解．

【变式训练5】如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(    )

A．80°              B．120°              C．100°               D．90°

【答案】B

【变式训练6】　如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝____________

【答案】n°

1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质．

2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ

能力提升

1．如图，在⊙O中，如果＝2，那么(   )

A．AB＝AC              B．AB＝2AC           C．AB＜2AC            D．AB＞2AC

【答案】C

2．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB的长为(   )

A．2               B．2             C．4              D．4

【答案】D

3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于点B，C，分别作O′E⊥OC于点E，O′D⊥OB于点D.若OB＝8，OC＝6，则⊙O′的半径为(    )

A．7                B．6             C．5               D．4

【答案】C

4．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是(   )

A．25°             B．27.5°              C．30°               D．35°

【答案】D

5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为(    )

A．15°              B．35°              C．25°              D．45°

【答案】A                                

6．如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，则∠C的度数为(    )

A．30°              B．43°            C．47°             D．53°

【答案】C

7．如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2 cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是________cm.

【答案】10cm

8．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.

(1)求证：DE＝DB；

(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．

【答案】：(1)证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，

∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.

∴＝.

∴∠DBC＝∠BAE.

∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE,

∴∠DBE＝∠DEB.

∴DE＝DB.

(2)连接CD.

∵＝，∴CD＝BD＝4.

∵∠BAC＝90°，∴BC是直径．

∴∠BDC＝90°.

∴BC＝＝4.

∴△ABC外接圆的半径为2.

9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为(    )

A．5               B．4            C．3             D．2

提示：过点D作DF⊥AC于点F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解．

【答案】D

10．如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，且DE交AC于点F，DB交AC于点G.若＝，则＝_____________．

【答案】

11．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60 cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30 cm，∠B1D1C1＝120°.

(1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm；

(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为(10－10)cm.

【答案】,

12．如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H.

(1)如果⊙O的半径为4，CD＝4，求∠BAC的度数；

(2)若点E为的中点，连接OE，CE.求证：CE平分∠OCD；

(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由．

【答案】：(1)∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴CH＝CD＝2.

在Rt△COH中，sin∠COH＝＝，∴∠COH＝60°.

∴∠BAC＝∠COH＝30°.

(2)证明：∵点E是的中点，∴OE⊥AB.

又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC.

又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.

∴∠OCE＝∠DCE，即CE平分∠OCD.

(3)圆周上到直线AC的距离为3的点有2个．

因为上的点到直线AC的最大距离为2，上的点到直线AC的最大距离为6，2＜3＜6，根据圆的轴对称性，到直线AC的距离为3的点有2个．