类型5题型2新运算型-2022年中考数学二轮复习重难题型突破试卷(教师版+学生版)
展开类型二新运算型
1.定义:形如a+bi的数称为复数(其中a和b为实数,i为虚数单位,规定i2=﹣1),a称为复数的实部,b称为复数的虚部.复数可以进行四则运算,运算的结果还是一个复数.例如(1+3i)2=12+2×1×3i+(3i)2=1+6i+9i2=1+6i﹣9=﹣8+6i,因此,(1+3i)2的实部是﹣8,虚部是6.已知复数(3﹣mi)2的虚部是12,则实部是( )
A.﹣6 B.6 C.5 D.﹣5
【答案】C.
解析:∵(3﹣mi)2=32﹣2×3×mi+(mi)2=9﹣6mi+m2i2=9+m2i2﹣6mi=9﹣m2﹣6mi,
∴复数(3﹣mi)2的实部是9﹣m2,虚部是﹣6m,∴﹣6m=12,∴m=﹣2,
∴9﹣m2=9﹣(﹣2)2=9﹣4=5.故选:C.
2.对于有理数,规定新运算:x※y=ax+by+xy,其中a 、b是常数,等式右边的是通常的加法和乘法运算.已知:2※1=7,(-3)※3=3 ,则※b= .
【答案】.
3.规定a*b=5a+2b﹣1,则(﹣4)*6的值为 .
【答案】﹣9.
4.对于有理数a,b,定义a*b=3a+2b,则将[(x+y)*(x-y)]*3x化简,得 .
【答案】21x+3y.
5.定义一种新运算:a*b=,那么4*(-1)= .
【答案】2.
6.规定一种新的运算:,则 .
【解答】解:把代入式子计算即可:.
7.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密);接收方由密文→明文(解密).已知加密规则为:明文对应密文, .例如:明文1,2,3,4对应的密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )
A.4,6,1,7 B.4,1,6,7 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7
【解答】解:根据对应关系,可以求得;代入得;在代入得;代入得.故选C.
8.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是( )
A.对应点连线与对称轴垂直
B.对应点连线被对称轴平分
C.对应点连线被对称轴垂直平分
D.对应点连线互相平行
【解答】:D
9.定义为一次函数的特征数.
(1)若特征数是的一次函数为正比例函数,求的值;
(2)设点分别为抛物线与轴的交点,其中,且的面积为4,为原点,求图象过两点的一次函数的特征数.
【解答】解:(1)特征数为的一次函数为,
,.
(2)抛物线与轴的交点为,
与轴的交点为.
若,则;
若,则.
当时,满足题设条件.
此时抛物线为.
它与轴的交点为,与轴的交点为,
一次函数为或,
特征数为或.
10.设关于的一次函数与,则称函数(其中)为此两个函数的生成函数.
(1)当时,求函数与的生成函数的值;
(2)若函数与的图象的交点为,判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上,并说明理由.
【解答】解:(1)当时,
(2)点在此两个函数的生成函数的图象上,
设点的坐标为,
∵,
∴当时,,
,
即点在此两个函数的生成图象上.
11.阅读材料:如图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出
一种计算三角形面积的新方法:,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题:
如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及;
(3)是否存在一点P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)设抛物线的解析式为:
把A(3,0)代入解析式求得
所以
设直线AB的解析式为:
由求得B点的坐标为
把,代入中
解得:,所以
(2)因为C点坐标为(1,4)
所以当x=1时,y1=4,y2=2,所以CD=4-2=2
(平方单位)
(3)假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为x,△PAB的铅垂高为h,
则
由S△PAB=S△CAB,得:
化简得:,解得,
将代入中,解得P点坐标为
12.联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念.
定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.
举例:如图1,若PA=PB,则点P为△ABC的准外心.
应用:如图2,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=AB,求∠APB的度数.
探究:已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上,试探究PA的长.
【解答】解:①若PB=PC,连接PB,则∠PCB=∠PBC,
∵CD为等边三角形的高,∴AD=BD,∠PCB=30°,
∴∠PBD=∠PBC=30°,∴PD=DB=AB,
与已知PD=AB矛盾,∴PB≠PC,
②若PA=PC,连接PA,同理可得PA≠PC,
③若PA=PB,由PD=AB,得PD=BD,
∴∠APD=45°,故∠APB=90°;
探究:解:∵BC=5,AB=3,∴AC=,
①若PB=PC,设PA=x,则,∴,即PA=,
②若PA=PC,则PA=2,
③若PA=PB,由图知,在Rt△PAB中,不可能.
故PA=2或.
12.如图,定义:若双曲线y=(k>0)与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点,则线段AB的长度为双曲线y=(k>0)的对径.
(1)求双曲线y=的对径;
(2)若双曲线y=(k>0)的对径是10,求k的值;
(3)仿照上述定义,定义双曲线y=(k<0)的对径.
【解答】解:过A点作AC⊥x轴于C,如图,
(1)解方程组,得,
∴A点坐标为(1,1),B点坐标为(-1,-1),
∴OC=AC=1,∴OA=OC=,
∴AB=2OA=,∴双曲线y=的对径是;
(2)∵双曲线的对径为,即AB=,OA=,
∴OA=OC=AC,∴OC=AC=5,∴点A坐标为(5,5),
把A(5,5)代入双曲线y= (k>0)得k=5×5=25,
即k的值为25;
(3)若双曲线y=(k<0)与它的其中一条对称轴y=-x相交于A、B两点,
则线段AB的长称为双曲线y=(k>0)的对径.
13.如图,A、B是⊙O上的两个定点,P是⊙O上的动点(P不与A,B重合),我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角.
(1)已知∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角.
①若AB是⊙O的直径,则∠APB= ;
②若⊙O的半径是1,AB=,求∠APB的度数.
(2)已知O2是⊙O1外一点,以O2为圆心做一个圆与⊙O1相交于A、B两点,∠APB是⊙O1上关于A、B的滑动角,直线PA、PB分别交⊙O2于点M、N(点M与点A、点N与点B均不重合),连接AN,试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系.
【解答】解:(1)①∵AB是⊙O的直径,∴∠APB=90°.
②∵OA=OB=1, AB=,∴OA2+OB2=1+1=2=AB2
∴△AOB是直角三角形
∴∠AOB=90°.
∴∠APB=∠AOB=45°
图1 图2
(2)当P在优弧AB上时,如图1,这时∠MAN是△PAN的外角,
因而∠APB=∠MAN-∠ANB;
当P在劣弧AB上时,如图2,这时∠APB是△PAN的外角,
因而∠APB=∠MAN+∠ANB;
14.在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如,图中的一次函数的
图象与x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三角形.
(1)求函数y=x+3的坐标三角形的三条边长;
(2)若函数y=x+b(b为常数)的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积.
【解答】解:(1) ∵ 直线y=x+3与x轴的交点坐标为(4,0),与y轴交点坐标为(0,3),
∴函数y=x+3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.
(2) 直线y=x+b与x轴的交点坐标为(,0),与y轴交点坐标为(0,b),
当b>0时,,得b =4,此时,坐标三角形面积为;
当b<0时,,得b =-4,此时,坐标三角形面积为.
综上,当函数y=x+b的坐标三角形周长为16时,面积为.
15.我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 , ;
(2)如图1,已知格点(小正方形的顶点),,,请你画出以格点为顶点,为勾股边且对角线相等的勾股四边形;
(3)如图2,将绕顶点按顺时针方向旋转,得到,连结,.
求证:,即四边形是勾股四边形.
【解答】解:(1)正方形、长方形、直角梯形.(任选两个均可)
(2)答案如图所示.或.
(3)证明:连结
,
,
,即四边形是勾股四边形
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