类型6题型1非动态探究题-2022年中考数学二轮复习重难题型突破试卷（教师版+学生版）

类型一 非动态探究题

【典例1】综合与实践

问题情境：

如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．

猜想证明：

（1）试判断四边形的形状，并说明理由；

（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；

解决问题：

（3）如图①，若，，请直接写出的长．

【答案】（1）四边形是正方形，理由详见解析；（2），证明详见解析；（3）．

【解析】

【分析】

（1）由旋转可知：，,再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明；

（2）过点作，垂足为，先根据等腰三角形的性质得到，再证可得，再结合、即可解答；

（3）过E作EG⊥AD，先说明∠1=∠2，再设EF=x、则BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中运用勾股定理求得x，进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和EG的长，最后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可．

【详解】

解：（1）四边形是正方形

理由：由旋转可知：，，

又，

四边形是矩形．

∵．

四边形是正方形；

（2）．

证明：如图，过点作，垂足为，

则，

．

四边形是正方形，

，．

，

．

．

∵，

；

【典例2】数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，P为边延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N.当CP=6时，EM与EN的比值是多少？

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，分别于F，G，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得EM与EN的比值.

(1) 请按照小明的思路写出求解过程.

(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.

【答案】

（1）解：过作直线平行于交，分别于点，，

则，，.

∵，∴.

∴，.

∴.

（2）证明：作∥交于点，

则，.

∵，

∴.

∵，，

∴.∴.

∴.

【典例3】已知：在△AOB与△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°．

（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM，则线段AD与OM之间的数量关系是　          　，位置关系是　           　；

（2）如图2，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，将图1中的△COD绕点O逆时针旋转到使△COD的一边OD恰好与△AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点．请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．

【思路点拨】

（1）AD与OM之间的数量关系为AD=2OM，位置关系是AD⊥OM；

（2）（1）中的两个结论仍然成立，利用中位线定理得到FC=2OM，利用SAS得到三角形AOD与三角形FOC全等，利用全等三角形的对应边相等得到FC=AD，等量代换得到AD=2OM；由OM为三角形BCF的中位线，利用中位线定理得到OM与CF平行，利用两直线平行同位角相等得到∠BOM=∠F，由全等三角形的对应角相等得到∠F=∠OAD，等量代换得到∠BOM=∠OAD，根据∠BOM与∠AOM互余，得到∠OAD与∠AOM互余，即可确定出OM与AD垂直，得证；

（3）（1）中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化，理由为：如图3所示，延长DC交AB于E，连结ME，过点E作EN⊥AD于N，由三角形COD与三角形AOB都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到四个角为45度，进而得到三角形MCE与三角形AED为等腰直角三角形，根据EN为直角三角形ADE斜边上的中线得到AD=2EN，再利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形OMEN为矩形，可得出EN=OM，等量代换得到AD=2OM．

【答案与解析】

解：（1）线段AD与OM之间的数量关系是AD=2OM，位置关系是AD⊥OM；

（2）（1）的两个结论仍然成立，理由为：

证明：如图2，延长BO到F，使FO=BO，连结CF，

∵M为BC中点，O为BF中点，

∴MO为△BCF的中位线，

∴FC=2OM，

∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°，

∴∠AOB+∠BOD=∠AOF+∠AOC，即∠AOD=∠FOC，

在△AOD和△FOC中，

，

∴△AOD≌△FOC（SAS），

∴FC=AD，

∴AD=2OM，

∵MO为△BCF的中位线，

∴MO∥CF，

∴∠MOB=∠F，

又∵△AOD≌△FOC，

∴∠DAO=∠F，

∵∠MOB+∠AOM=90°，

∴∠DAO+∠AOM=90°，即AD⊥OM；

（3）（1）中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化，理由为：

证明：如图3，延长DC交AB于E，连结ME，过点E作EN⊥AD于N，

∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，

∴∠A=∠D=∠B=∠BCE=∠DCO=45°，

∴AE=DE，BE=CE，∠AED=90°，

∴DN=AN，

∴AD=2NE，

∵M为BC的中点，

∴EM⊥BC，

∴四边形ONEM是矩形．

∴NE=OM，

∴AD=2OM．

故答案为：AD=2OM；AD⊥OM．

（3）如图：过E作EG⊥AD

∴GE//AB

∴∠1=∠2

设EF=x，则BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x

在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15

∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9

∴BE=9,AE=12

∴sin∠1= ,cos∠1=

∴sin∠2= ,cos∠2=

∴AG=7.2,GE=9.6

∴DG=15-7.2=7.8

∴DE=．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本题的关键．

【典例4】正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A重合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C重合），另一条直角边与边CD的延长线交于点F．

（1）如图①，求证：AE=AF；

（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边MN与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EG，求证：EG=BE+DG；

（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明你的理由．

【答案与解析】

解：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD．

∵∠EAF=90°，

∴∠EAF=∠BAD，

∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD，

∴∠BAE=∠DAF．

在△ABE和△ADF中

，

∴△ABE≌△ADF（ASA）

∴AE=AF；

（2）如图②，连接AG，

∵∠MAN=90°，∠M=45°，

∴∠N=∠M=45°，

∴AM=AN．

∵点G是斜边MN的中点，

∴∠EAG=∠NAG=45°．

∴∠EAB+∠DAG=45°．

∵△ABE≌△ADF，

∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，

∴∠DAF+∠DAG=45°，

即∠GAF=45°，

∴∠EAG=∠FAG．

在△AGE和AGF中，

，

∴△AGE≌AGF（SAS），

∴EG=GF．

∵GF=GD+DF，

∴GF=GD+BE，

∴EG=BE+DG；

（3）G不一定是边CD的中点．

理由：设AB=6k，GF=5k，BE=x，

∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，

∴CG=CF﹣GF=k+x，

在Rt△ECG中，由勾股定理，得

（6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2，

解得：x1=2k，x2=3k，

∴CG=4k或3k．

∴点G不一定是边CD的中点．

【典例4】已知，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．

（l）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CE，②CE=BC﹣CD；

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE、BC、CD三条线段之间的关系；

（3）如图3，当点O在线段BC的反向延长线上时，且点A、E分别在直线BC的两侧，点F是DE的中点，连接AF、CF，其他条件不变，请判断△ACF的形状，并说明理由．

【答案与解析】

（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE，

∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，

∴∠ACB+∠ACE=90°

∴∠ECB=90°，

∴BD⊥CE，CE=BC﹣CD．

（2）如图2中，结论：CE=BC+CD，理由如下：

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，

∴CE=BC+CD．

（3）如图3中，结论：△ACF是等腰三角形．理由如下：

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ACE=∠ABD=135°，

∴∠DCE=90°，

又∵点F是DE中点，

∴AF=CF=DE，

∴△ACF是等腰三角形．

【典例5】如图(a)、(b)、(c)，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形，BE，CD相交于点O．

(1)①如图(a)，求证：△ADC≌△ABE；

  ②探究：

图(a)中，∠BOC＝________；

图(b)中，∠BOC＝________；

图(c)中，∠BOC＝________；

(2)如图(d)，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边．BE，CD的延长相交于点O．

①猜想：图(d)中，∠BOC＝________________；(用含n的式子表示)

②根据图(d)证明你的猜想．

【答案与解析】

 (1)证法一：

∵△ABD与△ACE均为等边三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．

∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

即∠DAC＝∠BAE．

∴△ADC≌△ABE．

证法二：∵△ABD与△ACE均为等边三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，

且∠BAD＝∠CAE＝60°．

∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到．

∴△ABE≌△ADC．

②120°，90°，72°．

(2)①．

②证法一：依题意，知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角，AB＝AD，AE＝AC，

∴∠BAD＝∠CAE＝．

∴∠BAD－∠DAE＝∠CAE－∠DAE，

即∠BAE＝∠DAC．

∴△ABE≌△ADC．

∴∠ABE＝∠ADC．

∵∠ADC+∠ODA＝180°，

∴∠ABO+∠ODA＝180°．

∴∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC＝360°．

∴∠BOC+∠DAB＝180°．

∴∠BOC＝180°－∠DAB＝．

证法二：延长BA交CO于F，证∠BOC＝∠DAF＝180°-∠BAD．

证法三：连接CE．证∠BOC＝180°－∠CAE．

【典例6】如图(a)，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝9，BC＝12，AB＝a，在线段BC上任取一点P(P不与B，C重合)，连接DP，作射线．PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．

    (1)试确定CP＝3时，点E的位置；

    (2)若设CP＝x(x＞0)，BE＝y(y＞0)，试写出y关于自变量x的函数关系式；

(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围．

【答案与解析】

   解：(1)作DF⊥BC，F为垂足．

    当CP＝3时，四边形ADFB是矩形，则CF＝3．

    ∴点P与点F重合．

又∵BF⊥FD，

∴此时点E与点B重合．

    (2)(i)当点P在BF上(不与B，F重合)时，(见图(a))

∵∠EPB+∠DPF＝90°，∠EPB+∠PEB＝90°，

∴∠DPF＝∠PEB．

    ∴Rt△PEB∽△ARt△DPF．

∴．    ①

又∵ BE＝y，BP＝12-x，FP＝x-3，FD＝a，代入①式，得

∴，整理，

得    ②

(ii)当点P在CF上（不与C，F重合）时，（见上图(b))同理可求得．

由FP＝3-x得．

∴

(3)解法一：当点E与A重合时，y＝EB＝a，此时点P在线段BF上．

由②式得．

整理得．   ③

∵在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，

    ∴方程③有两个不相等的正实根．

    ∴△＝(-15)2－4×(36+a2)＞0．

    解得．

又∵a＞0，

∴．

    解法二：当点E与A重合时，

∵∠APD＝90°，

∴点P在以AD为直径的圆上．设圆心为M，则M为AD的中点．

    ∵在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，

    ∴线段BC与⊙M相交．即圆心M到BC的距离d满足．    ④

又∵AD∥BC，

∴d＝a．

∴由④式得．

【典例7】点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC＝k·AB．连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直线m于点F．

(1)如图(a)，当k＝1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明；

说明：

①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)；

    ②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角)，在图(b)中补全图形，完成证明．

(2)如图(c)，若∠ABC＝90°，k≠l，探究线段EF与EB的关系，并说明理由．

【答案与解析】

解：(1)EF＝EB．

证明：如图(d)，以E为圆心，EA为半径画弧交直线m于点M，连接EM．

∴EM＝EA，∴∠EMA＝∠EAM．

∵BC＝k·AB，k＝1，

∴BC＝AB．

∴∠CAB＝∠ACB．

∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB，∠FAB＝∠ABC．

∴∠MAC＝∠CAB．

∴∠CAB＝∠EMA．

∵∠BEF＝∠ABC，

∴∠BEF＝∠FAB．

∵∠AHF＝∠EHB，

∴∠AFE＝∠ABE．

    ∴△AEB≌△MEF．

    ∴EF＝EB．

探索思路：如上图(a)，∵BC＝k·AB，k＝1，

∴BC＝AB．

∴∠CAB＝∠ACB．

∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB．

添加条件：∠ABC＝90°．

证明：如图(e)，在直线m上截取AM＝AB，连接ME．

∵  BC＝k·AB，k＝1，

∴  BC＝AB．

∵  ∠ABC＝90°，

∴  ∠CAB＝∠ACB＝45°．

∵  m∥n，

∴  ∠MAE＝∠ACB＝∠CAB＝45°，∠FAB＝90°．

    ∵  AE＝AE，∴△MAE∽△BAE．

    ∴  EM＝EB，∠AME＝∠ABE．

    ∵  ∠BEF＝∠ABC＝90°，

∴  ∠FAB+∠BEF＝180°．

又∵  ∠ABE+∠EFA＝180°，

∴  ∠EMF＝∠EFA．

∴  EM＝EF．

∴  EF＝EB．

    (2)EF＝EB．

说明：如图(f)，过点E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足为M，N．

∴  ∠EMF＝∠ENA＝∠ENB＝90°．

    ∵  m∥n，∠ABC＝90°，

    ∴  ∠MAB＝90°．

∴  四边形MENA为矩形．

∴  ME＝NA，∠MEN＝90°．

∵∠BEF＝∠ABC＝90°．

∴∠MEF＝∠NEB．

∴△MEF∽△NEB．

∴，

∴

在Rt△ANE和Rt△ABC中，

，

∴．