易错04 实数中有关规律探究问题易错-2021-2022学年七年级数学下册期末突破易错挑战满分（人教版）

2021-2022学年七年级数学下册期末突破易错挑战满分（人教版）

易错04 实数中有关规律探究问题易错

【典型例题】

1．（2021·全国九年级）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：

（1），，，……

，，，……

由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．

（2）已知，，则_____；______．

（3），，，……

小数点的变化规律是_______________________．

（4）已知，，则______．

【答案】

解：（1），，，……

，，，……

由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．

故答案为：两；右；一；

（2）已知，，则；；

故答案为：12.25；0.3873；

（3），，，……

小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；

（4）∵，，

∴，

∴，

∴y=-0.01．

【点睛】

此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．

【专题训练】

一、解答题

1．（2021·全国八年级）观察与猜想：

2

3

（1）与分别等于什么？并通过计算验证你的猜想；

（2）计算（n为正整数）等于什么？

【答案】

（1）4，

验证：4，

5

验证：5；

（2）n．

【点睛】

本题考查了算术平方根，读懂题目信息，理解算术平方根的定义是解题的关键．

2．（2019·河北保定市·八年级期中）先观察下列等式，再回答下列问题：

    ①；

    ②

    ③

(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；

(2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n的等式表示（n为正整数）．

【答案】

(1)=1+−=，

验证：====

 (2)=1+−=1+ (n为正整数).

点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，即，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.

3．（2019·吉林松原市·）观察下表后回答问题

（1）表格中_____        _，___       ___；

（2）由上表你发现什么规律?

（3）根据你发现的规律填空:

已知，则           ； ___       ___；

已知则                  ．

【答案】

（1），

（2）被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的向左或向右移动1位

（3）①∵

∴，；

②∵

∴．

【点睛】

本题考查了无理数的估算问题，掌握图中的规律、无理数估算的方法是解题的关键．

4．（2020·甘肃张掖市·临泽二中七年级月考）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先观察下列等式找出规律，并解答问题．

①13=12；

②13+23=32；

③13+23+33=62；

④13+23+33+43=102；…

（1）等式⑤是　　                              ．

（2）13+23+33+…+n3=　　                     （n为正整数）．

（3）求（﹣11）3+（﹣12）3+（﹣13）3+…+（﹣20）3的值．

【答案】

解：（1）观察规律可得等式⑤是13＋23＋33＋43＋53＝152；

故答案为：13＋23＋33＋43＋53＝152．

（2）13＋23＋33＋…＋n3＝（1＋2＋3＋4＋…＋n）2＝n2（n＋1）2（n为正整数）．

故答案为：n2（n＋1）2．

（3）（−11）3＋（−12）3＋（−13）3＋…＋（−20）3

＝（−1）3＋（−2）3＋（−3）3＋…＋（−20）3−[（−1）3＋（−2）3＋（−3）3＋…＋（−10）3]

＝−（1＋2＋3＋…＋20）2＋（1＋2＋3＋4＋…＋10）2

＝−2102＋552

＝−44100＋3025

＝−41075．

【点睛】

本题考查有理数的混合运算、数字的变化规律，解答本题的关键是找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．

5．（2020·新乐市实验学校八年级月考）我们知道．在计算值时，可设①

则②，

②①，得，所以

（1）试利用上述方法求的值．

（2）的值．

（3）求的值．

【答案】

（1）设，①，

，②，

②①得：，

；

（2）设，①，

，

①②得：，

；

（3）设，①，

，②，

①②得：，

．

【点睛】

本题主要考查了实数的规律计算，准确分析计算是解题的关键．

6．（2020·临沂河东工业园实验学校七年级月考）观察下列各式：=1－，=－，=－．

（1）请根据以上式子填空：

①=　　　　，②=　　　　（n是正整数）

（2）由以上几个式子及你找到的规律计算：

+++．．．．．．．．．．．．+

【答案】

（1）仔细观察，发现，则，

故答案为：①，②；

（2）根据，

则+++．．．．．．．．．．．．+

=

=

=．

【点睛】

本题考查数字规律的探索、有理数的混合运算，解答的关键是发现式子的变化规律，根据规律变形原式，从而使计算简单化．

7．（2020·四川成都市·双楠实验学校七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：

设①，

则②，

②–①得：．

请仿照小明的方法解决以下问题：

（1）______．

（2）______．

（3）求的和（，是正整数，请写出计算过程）．

【答案】

（1）设①，

则②，

②－①得，

∴．

故答案为：．

（2）设①，

则②，

②－①得，

所以，

即．

故答案为：．

（3）设①，

则，

②－①得，

时，

所以，

即．

【点睛】

本题考查与实数运算相关的规律，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

8．（2020·湖北十堰市·七年级期中）观察下列各式：，，，；…

回答下面的问题：

（1）猜想：=_________；（直接写出你的结果）

（2）根据（1）中的结论，直接写出13+23+33+．．．．．．+93+103的值是_________；

（3）计算：213+223+233+．．．．．．+293+303的值．

【答案】

解：（1）根据题意可得出：=；

（2）将n=10代入，

原式；

（3）原式==172125．

【点睛】

本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的运算是解题的关键．

9．（2021·全国七年级）定义一种新运算，观察下列式子：

；

；

；

；； 

（1）计算：的值；

（2）猜想：________；

（3）若，求的值．

【答案】

解：（1）∵；

；

；

；；

∴；

（2）由（1）可得：．

故答案为：．           

（3），

解得：．

【点睛】

此题考查有理数的混合运算以及解一元一次方程，理解运算方法是解决问题的关键．

10．（2021·辽宁沈阳市·七年级期末）阅读材料：求的值．

解：设①，将等式①的两边同乘以2，

得②，

用②－①得，

即．

即．

请仿照此法计算：

（1）请直接填写的值为______；

（2）求值；

（3）请直接写出的值．

【答案】

解：（1）；

故答案为：15；

（2）设①，把等式①两边同时乘以5，得

②，

由②①，得：，

∴，

∴；

（3）设①，

把等式①乘以10，得：

②，

把①+②，得：，

∴，

∴，

∴

．

【点睛】

本题考查了数字的变化规律，熟练掌握运算法则，熟练运用有理数乘法，以及运用消项的思想是解题的关键．