人教版四年级下册9 数学广角 ——鸡兔同笼图文ppt课件

第9单元　数学广角——鸡兔同笼

“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题,它在培养学生逻辑推理能力的同时,使学生体会代数方法的一般性。解决这类问题时,教材展示了学生逐步解决问题的过程。“假设法”有利于培养学生的逻辑推理能力,列方程则有助于学生体会代数方法的一般性。因此在解决“鸡兔同笼”问题时,学生选用哪种方法均可,不强求用某一种方法。

1.了解“鸡兔同笼”问题,感受古代数学问题的趣味性。

2.经历自主探究解决问题的过程,体验解决问题策略的多样化。

3.了解列表法、假设法等解决问题的方法,在解决问题的过程中培养逻辑推理能力,增强应用意识和实践能力。

经历解决问题的过程,体验分析解决问题的方法。

1.采取直观形象的方式,让学生探讨不同的方法。

2.适当把握教学要求。

体会数学知识在日常生活中的广泛应用,培养学生的探究意识和能力,激发学生学数学、用数学的兴趣。

【重点】　掌握解决问题的不同思路和方法。

【难点】　能运用不同方法解决实际问题。

“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题,最早出现在《孙子算经》中。其解法包括:列表法、假设法、方程法。由于本单元还没学习到方程法,因此,要引导学生通过猜测、列表和假设等方法来逐步解决问题,培养学生猜测、有序思考及逻辑推理能力。

1.利用古题激发学习兴趣。

“鸡兔同笼”问题是我国古代著名的数学问题,教材主题图借助富有情趣的古代课堂情境,生动地引出《孙子算经》中记载的“鸡兔同笼”问题,并通过古代课堂上学生冥思苦想的画面和小精灵的提问激发学生解决古代数学问题的兴趣。

2.体现解决问题的策略和方法多样化。

“鸡兔同笼”的原题数据比较大,不利于首次接触该类问题的学生进行探究,因此教材先将《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题数据变小编排了例1,通过化繁为简的思想,帮助学生先探索出解决该类问题的一般方法后,再解决《孙子算经》中数据比较大的原题。

例1教学依次呈现让学生经历从猜测到列表法,再到“假设法”解决问题的探究过程。“阅读材料”中还介绍了古人的巧妙解法,拓宽学生的解题思路。让学生在经历、体验解决问题的过程中,感受解决问题的策略和方法的多样化。

3.拓宽对“鸡兔同笼”问题的认识,明确其在生活中的应用。

配合“鸡兔同笼”问题,教材在“做一做”和练习中安排了一些类似的习题,比如“龟鹤”问题,生活中的一些实际问题,如购物、租船等,让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用,并巩固用列表法、假设法等解题策略。

数学广角——鸡兔同笼

本小节内容包括教材P103~107的例1和练习二十四。“鸡兔同笼”问题是我国古代著名的数学问题,教材在本单元安排“鸡兔同笼”问题,一方面欲通过生动有趣的古代数学问题感受我国古代数学文化;另一方面引导学生通过猜测、列表、假设等方法来解决问题,培养学生猜测、有序思考及逻辑推理能力。

1.了解“鸡兔同笼”问题的结构特点,渗透化繁为简的思想,掌握用列表法、假设法、方程法解决问题,初步形成解决此类问题的一般性策略。

2.经历猜测的过程,尝试用列表、假设的方法解决“鸡兔同笼”问题,引导学生有序思考,使学生体会解题策略的多样性。

3.在解决问题的过程中,培养学生的迁移思维能力,感受古代数学问题的趣味性。

【重点】　渗透化繁为简的思想,体会假设法的逻辑性和一般性。

【难点】　理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的算理。

【教师准备】　PPT课件。

方法一

出示主题图:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?

师:这道题是以文言文的方式表述的,雉就是野鸡,哪位同学看懂它的意思了?

预设 生:笼子里有若干只鸡和兔。从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。鸡和兔各有几只?

师:你能从题中得到哪些信息?要求什么问题?

预设 生:我知道了鸡和兔子一共有35只,一共有94只脚。问我们鸡有多少只,兔子有多少只。

揭示课题: 同学们,这是大约一千五百年前,我国古代数学名著《孙子算经》中记载的一道数学趣题——鸡兔同笼。

(板书课题:鸡兔同笼)

情境图的呈现,一方面借助古代数学问题感知我国古代数学文化的源远流长,在感受数学文化的同时,激发民族自豪感和爱国热情,恰当地激发学生探究问题的兴趣;另一方面为下一环节,引导学生化繁为简的解题策略做好铺垫。

方法二

(出示主题图)大约在1500年前,《孙子算经》中记载了这样一个有趣的问题。书中说:“今有雉(野鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”

师:这段话意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。问笼中鸡和兔各有几只? 这就是我们通常所说的鸡兔同笼问题,如何解决这个1500年前古人提出的数学问题,就是我们这节课要研究的内容。(板书课题:鸡兔同笼)

以谈话的方式导入新课,激发学生探究兴趣,引出课题。

教学例1,用假设法解决鸡兔同笼问题。

1.尝试解决,交流想法。

师:既然“鸡兔同笼”问题能流传至今,就应该有它独特的思考方式和解题方法。同学们想一想,算一算鸡和兔各有多少只。

预设 生1:我猜有10只兔子,25只鸡,一共有10×4+25×2=90只脚,好像不太对。

生2:我猜有20只兔子,15只鸡,那么就有20×4+15×2=110只脚,不对。

2.感受化繁为简的必要性。

师:大家在刚才猜了好几组数据,经过验证都不正确,为什么猜不对呢?

预设 生:数据大了不好猜。

师:我们可以把数字改小些,先从简单的问题入手。

(课件出示例1)

笼子里有若干只鸡和兔。从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚。鸡和兔各有几只?

师:从题中你们能获取哪些信息?和生活常识联系在一起,你还能说出哪些信息?

预设 生1:鸡和兔共8只,鸡和兔共有26只脚。

生2:鸡有2只脚,兔有4只脚。

渗透化繁为简的思想,引导学生理解题意,找出隐藏条件,帮学生初步理解“鸡兔同笼”问题的结构特点。

3.猜想验证。

师:有了这些信息,我们先来猜猜,笼子里可能会有几只鸡?几只兔?猜测需要抓住哪个条件?

预设 生:鸡和兔一共有8只。

师:是不是抓住这个条件就一定能马上猜准确呢?好,老师这里有一张表格,请大家来填一填,看看谁能又快又准确地找出答案来,开始。

　　(学生独立填写表格内容)

学生汇报。

预设 生1:

　　师:这个方法挺好,能帮我们解决鸡兔同笼的问题,我们把这种方法叫做列表法。(板书:列表法)

师:老师刚才发现,很多同学都完成得非常快,很了不起!那么同学们,你们觉得用列表法解决“鸡兔同笼”问题怎么样呢?

预设 生1:列表法能很清晰地解决这个问题。

生2:因为数字比较简单,所以列表法还可以用,但是数字变大时,列表法就会比较麻烦,会浪费很多时间。

师:说得非常好,那我们就来尝试研究一下更简洁的方法吧。同学们再来观察自己刚才列的表格,看看这些数量之间是否存在着一些数学规律,请将你的想法跟同组的同学相互交流一下。

学生小组交流汇报。

预设 生1:鸡的数量每减少1只,兔的数量就增加1只,脚的数量也跟着增加2只。

生2:兔的数量每减少1只,鸡的数量就增加1只,脚的数量反而减少2只。

列表法虽然烦琐,但这是一种重要的解决问题的策略和方法,是学习假设法的基础,因此也是本课的重要教学内容之一。让学生以填表的方式初步体验鸡兔同笼情况下,随着鸡或兔只数的调整,脚的总数量的变化规律,为下面的学习做好铺垫。

4.数形结合理解假设法。

师:同学们的想法非常好,我们一起继续来看这张表格,通过分析表格来将同学们的想法表述得更加清晰。

(1)假设全是鸡。

师:我们先看表格中左起的第一列,8和0是什么意思?

　　预设 生:就是有8只鸡和0只兔,也就是假设笼子里全是鸡。

师:那笼子里是不是全是鸡呢?这也就是把什么当什么来算了?

预设 生:不是,我们是把一只4只脚的兔当成一只2只脚的鸡来算的。

师:这样算会有什么结果呢?

预设 生:每少算一只兔就会少算2只脚。

师:假设全是鸡,一共是16只脚。实际有26只脚,这样笼子里就少了10只脚,这说明什么呢?

预设 生:每只鸡比兔少2只脚,少了10只脚说明笼子里有5只兔。

师:你们能列出算式吗?

(学生尝试列算式)

师以画图法进行演示:

8×2=16(只)。(如果把兔全当成鸡,一共就有8×2=16只脚)

26-16=10(只)。(把兔看成鸡来算,4只脚的兔当成2只脚的鸡算,每只兔就少算了2只脚,10只脚是少算的兔的脚数)

4-2=2(只)。(假设全是鸡,就是把4只脚的兔当成2只脚的鸡。所以4-2表示一只兔当成一只鸡,就要少算2只脚)

10÷2=5(只)。(那把多少只兔当成鸡算,就会少10只脚呢?就看10里面有几个2,也就是把几只兔当成了鸡来算,所以10÷2=5就是兔的只数)

8-5=3(只)。(用鸡兔的总只数减去兔的只数就是鸡的只数,8-5=3只鸡)

(2)假设全是兔。

师:我们再回到表格中,看看右起第一列中的0和8是什么意思?

　　预设 生:就是有0只鸡和8只兔,也就是假设笼子里全是兔。

师:笼子里是不是全是兔呢?这个时候是把什么当什么算的?

预设 生:把里面的鸡当成兔来计算的。

师:那把一只2只脚的鸡当成一只4只脚的兔来算,会有什么结果呢?

预设 生:就会多算2只脚。

师:请同学们像老师那样画一画,算一算。

学生汇报:

8×4=32(只)。(如果把鸡全看成兔,一共就有8×4=32只脚)

32-26=6(只)。(把鸡当成兔来算,2只脚的鸡当成4只脚的兔算,每只鸡就多了2只脚,6只脚是多算了鸡的脚数)

4-2=2(只)。(假设全是兔,就是把2只脚的鸡当成4只脚的兔。所以4-2表示一只鸡当成一只兔,多算了2只脚。)

6÷2=3(只)。(那要把多少只鸡当成兔来算,就会多算6只脚呢?就看6里面有几个2,也就是把几只鸡当成了兔来算,所以6÷2=3就是现在鸡的只数了)

8-3=5(只)。(用鸡兔的总只数减去鸡的只数就是兔的只数,8-3=5只兔)

(3)提出假设法概念。

师:刚才我们通过假设都是鸡或都是兔来解决例1的,所以把这种方法叫做假设法。这是解决“鸡兔同笼”问题的一种基本方法,也是算术方法中较为普遍的一般方法。

(板书:假设法)

5.巩固练习。

独立解决古代的“鸡兔同笼”问题。

【参考答案】　假设全是鸡　35×2=70(只)　94-70=24(只)　4-2=2(只)　兔:24÷2=12(只)　鸡:35-12=23(只)

此环节是本课的重点,也是本课的难点,假设法的算理对于大部分学生来说,都是比较难以理解和掌握的。采用画图法,数形结合地引导学生根据图较为完整、准确地说明算理,学会思考,学会解释,可以让学生更加直观地感受假设法的优越性。

练习1

1.完成教材第105页“做一做”。

学生独立完成,完成后集体订正。

2.完成教材第106页练习二十四第1,3题。

学生独立完成,完成后集体订正。

【参考答案】　做一做:1.16只龟　24只鹤　2.男生8人　女生4人

练习二十四:1.假设30颗钢珠全是小钢珠。30×7=210(g)　266-210=56(g)　大钢珠:56÷(11-7)=14(颗)　小钢珠:30-14=16(颗)　3.假设进的9个球全是在3分线内投中的。9×2=18(分)　21-18=3(分)　3分线以外:3÷(3-2)=3(个)　3分线以内:9-3=6(个)

师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?(师生反馈)

生:学习了列表法、假设法解答“鸡兔同笼”问题,解答此类题时,可以根据题目特点选择不同的方法,灵活解题。

作业1

教材第106页练习二十四第2,4题。

1.注重思维能力的培养。

让学生在参与观察、猜想、验证、综合实践等数学活动中,发展合情推理和演绎推理能力。用数学语言清晰地表达自己的想法是培养学生思维能力的重要途径。从课初的随意猜想到表格中的有序猜想,从一般验证到表格中数据变化规律的发现,从列表法很快自然联想到画图法、假设法,学生的思维经历了从无序到有序、从特殊到一般、从借鉴到创新、从肤浅到深刻等方面的巨大变化,学生的思维能力也随之得到了极大的提升。

2.注重数学思想的渗透。

教师有意识地向学生渗透数学思想和方法。如:用容易探究的小数量替代《孙子算经》原题中的大数量的“替换法”解决问题,渗透了转化的思想和方法;用“列表法”“画图法”等解决问题,渗透了假设的思想和方法。这些对于学生而言,无疑奠定了可持续发展的坚实基础。

3.注重数学文化的传承。

鸡兔同笼问题是《孙子算经》中一道影响较大的名题,一直流传至日本等国,引起了许多国家的众多数学爱好者的广泛关注。教学中,教师把“数学文化”和《孙子算经》及其中关于鸡兔同笼问题的原题,用课件科学而生动地再现于课堂,极大地激发和调动了学生的探究兴趣,充分地传承和弘扬了经典的数学文化,较好地体现和提升了课堂的教学品味,也让“数学味”萦绕课堂,贯穿课堂始终。

4.注重学生的自主探究。

真正让学生亲身经历列表、尝试和不断调整的过程,让不同的学生学有不同的数学。由于学生原有认知水平的不同,存在较大的差异,因此在同样的列表中,学生的认知水平也有一定的层次。但在教学的过程中,我并没有提出统一的要求,允许不同的学生采用不同的解题方法。这样学生在具体的解决问题过程中,他们根据自己的经验,逐步探索不同的方法,找到解决问题的策略。在合作交流学习的过程中,积累解决问题的经验,掌握解决问题的方法。

5.注重课堂生成的新资源。

这是我教学这一课之前感到有困难的,也是我教学时做得不够到位的地方。比如:学生猜出鸡兔各几只后,有个别学生就开始用口算进行验证。此时,教师的引导让学生感觉需要列表的必要性不够明确。

在教学的过程中,学生汇报时,找的汇报的学生人数少,其他学生可能听得不是很明白。

再次教学中,要立足于学生的主体地位,多找同学汇报,其他认真倾听,既让思考的同学得到表现,对于倾听的同学来说,又是一次很好的学习。

　一辆自行车有2个轮子,一辆三轮车有3个轮子,车棚里放着自行车和三轮车共10辆,数数车轮共有26个。自行车和三轮车各有多少辆?

[名师点拨]　方法1:我们可以采用假设举例与列表的方法来解答,假设自行车和三轮车各有5辆,那么轮子共有2×5+3×5=25(个),25<26,说明三轮车数少了,应增加三轮车数,列表后找出最终的结果。方法2:我们可以画一个简单的图代表车身,先画10个车身,然后在每个车身下配上两个轮子,它就成了自行车,数一数共有20个轮子,在自行车上添轮子,每添一个轮子,这个自行车就成了三轮车,凑出26个轮子。去掉每个车的两个轮子,共去掉20个轮子,还有26-20=6个轮子正好全是三轮车的轮子,每辆三轮车上只剩下一个轮子,6个轮子即是6辆三轮车。三轮车:26-10×2=6(辆),自行车:10-6=4(辆)。

[解答1]　

　　自行车4辆,三轮车6辆。

[解答2]　假设全是自行车。

2×10=20(个)　26-20=6(个)　3-2=1(个)

　　三轮车:6÷1=6(辆)　自行车:10-6=4(辆)

古人对“鸡兔同笼”的解法

“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题。最早出现在《孙子算经》中。许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法——假设法来求解。因此很有必要学会它的解法和思路。

有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只。

解:我们设想,每只鸡都是“金鸡独立”,一只脚站着,而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着,地面上出现脚的总数的一半,也就是244÷2=122(只)。

在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次。因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数122-88=34(头),有34只兔子,当然鸡就有54只。

答:有兔子34只,鸡54只。

上面的计算可以归结为下面算式:

总脚数÷2-总头数=兔子数,总头数-兔子数=鸡数。

上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍。可是,当其他问题转化成这类问题时,“脚数”就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通。因此,我们对这类问题给出一种一般解法。