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初中数学湘教版九年级上册3.6 位似同步测试题
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这是一份初中数学湘教版九年级上册3.6 位似同步测试题，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（备战中考） 中考数学新题分类汇编 （中考真题 +模拟新题） 图
形的相似与位似
一、选择题
1. （ 2011 浙江金华， 9，3 分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直 . 如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）
A.600m B.500m C.400m D.300m
环城路
北
300m
南京路
400m
八一街
书店
曙
400m
光
路
西安路
【答案】 B
2. （ 2011 安徽， 9， 4 分）如图，四边形 ABCD中，∠ BAD=∠ ADC=90°， AB=AD=2 2， CD= 2，
点 P 在四边形 ABCD的边上．若 P 到 BD的距离为
3
2
，则点 P的个数为（
）
A．1
B． 2
C．3
D． 4
【答案】 B
3. （ 2011 广东东莞， 31,3 分）将左下图中的箭头缩小到原来的
1 ，得到的图形是（
2
）
【答案】 Ａ
4. （ 2011 浙江省， 6， 3 分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为 6、8，按如图那样
折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE， 则 S△BCE： S△ BDE等于（ ）
A. 2 ： 5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21
【答案】 B
5. （2011 浙江台州， 5,4 分）若两个相似三角形的面积之比为 1:4 ，则它们的周长之比为 （ ）
A. 1:2 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:16
【答案】 A
6. （ 2011 浙江省嘉兴， 7， 4 分）如图，边长为 4 的等边△ ABC中， DE为中位线，则四边形BCED的面积为（ ）
（ A） 2 3
A
（ B） 3 3
（ C） 4 3
（ D） 6 3
D E
B C
（第 7 题）
【答案】 B
7. （ 2011 浙江丽水， 9，3 分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与
环城路垂直 . 如果小明站在南京路与八一街的交叉口， 准备去书店， 按图中的街道行走， 最近的路程约为（ ）
A.600m B.500m C.400m D.300m
400m
八一街
300m
书店
曙
环城路 北南京路
400m
光
路
西安路
【答案】 B
8. （ 2011 台湾台北， 26）图( 十) 为一 ABC，其中 D、E 两点分别在 AB 、 AC 上， 且 AD ＝
31， DB ＝ 29， AE ＝ 30， EC ＝32。若的大小关系，下列何者正确？
A＝50
，则图中 1 、 2 、 3 、 4
A． 1 ＞ 3 B ． 2 ＝ 4 C ． 1 ＞ 4 D ． 2 ＝ 3
【答案】 D
9. （ 2011 甘肃兰州， 13，4 分）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形。
其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 A
10．（ 2011 山东聊城， 11， 3 分）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC的顶点 O在坐标原点，边 OA在 x 轴上， OC在 y 轴上，如果矩形 OA′ B′ C′与矩形 OABC关于点 O位似，且矩
1
形 OA′ B′ C′的面积等于矩形 OABC面积的
，那么点 B′的坐标是（ ）
4
A．（ 3， 2） B．（－ 2，－ 3） C．（ 2， 3）或（－ 2，－ 3） D．（3， 2）或（－ 3，－ 2）
【答案】 D
11. （ 2011 广东汕头， 31,3 分）将左下图中的箭头缩小到原来的 1
2
，得到的图形是（ ）
【答案】 Ａ
12. （ 2011 四川广安， 7， 3 分）下列命题中，正确的是（ ）
A ．过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条
B ．对角线相等的四边形是矩形
C ．两条边及一个角对应相等的两个三角形全等
D．位似图形一定是相似图形
【答案】 D
13. （ 2011 重庆江津， 8 ， 4 分）已知如图 (1) 、 (2) 中各有两个三角形 , 其边长和角的度数已在图上标注 , 图(2) 中 AB、CD交于 O点, 对于各图中的两个的两个三角形而言 , 下列说法正确的 是 ( )
A. 都相似 B. 都不相似 C. 只有A(1) 相似 DD. 只有 (2) 相似
4 3
O
35°
【答案】 A·
75°
(1)
70°
75°
C
第 8 题图
8 6
B
(2)
14. (2011 重庆綦江， 4，4 分) 若相似△ ABC与△ DEF的相似比为 1 ： 3，则△ ABC与△ DEF的面积比为（ ）
A ．1 ： 3 B ． 1 ： 9 C ．3 ： 1 D ． 1 ： 3
【答案】： B
15. （ 2011 山东泰安， 15 ， 3 分）如图，点 F 是□ABCD的边 CD上一点，直线 BF交 AD的延长线于点 E，则下列结论错误．．的是
ED DF
DE EF
BCBF
BF BC
A. = B.
EA AB
= C.
BC FB
= D.
DE BE
= BE AE
【答案】 C
16. （ 2011 山东潍坊， 3，3 分）如图，△ ABC中， BC= 2， DE是它的中位线，下面三个结论：
⑴ DE=1；⑵△ ADE∽△ ABC；⑶△ ADE的面积与△ ABC的面积之比为 1 : 4 。其中正确的有
（ ）
A . 0 个 B.1 个 C . 2 个 D.3 个
【答案】 D
17. （ 2011 湖南怀化， 6， 3 分）如图 3 所示：△ ABC 中， DE∥BC， AD=5， BD=10， AE=3， 则 CE的值为
A.9 B.6 C.3 D.4
【答案】 B
18. （ 2011 江苏无锡， 7， 3 分）如图， 四边形 ABCD的对角线 AC、 BD相交于 O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若 OA∶ OC= OB∶ OD，则下
列结论中一定正确的是 ( )
A．①和②相似
B
．①和③相似
C．①和④相似
D
．②和④相似
A
①
②
B ④ O D
③
（第 7 题） C
【答案】 B
19. （ 2011 广东肇庆， 5， 3 分）如图，已知直线 a∥ b∥ c，直线 m、n 与 a、b、c 分别交于点 A、C、E、B、D、F， AC ＝ 4 ， CE ＝ 6 ， BD ＝ 3 ，则 BF ＝
m n
A B a
C D b
E F c
A． 7 B． 7.5 C． 8 D． 8.5
【答案】 B
20．（ 2011 湖南永州， 12， 3 分）下列说法正确的是（ ） A．等腰梯形的对角 线互相平分． B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． C．线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． D．两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似．
【答案】 C
21. （ 2011 山东东营， 11，3 分）如图，△ ABC中， A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是 (-1 ， 0) ．以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方 作△ ABC的位似图形△ A′ B′C，并把△ ABC 的边长放大到原来的 2 倍．设点 B 的对应点 B′ 的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是（ ）
A． 1 a B． 1 ( a 1)
2
C． 1 (a 1)
2
2
D． 1 (a 3)
2
A y
1
B C
- 1 O 1 x
- 1 B′
A′
第 11 题
【答案】 D
22. （ 2011 重庆市潼南 ,5,4 分）若△ ABC～△ DEF，它们的面积比为 4： 1，则△ ABC 与△ DEF
的相似比为
A．2： 1 B． 1 ： 2 C． 4： 1 D ．1： 4
【答案】 A
23. （ 2011 广东中山， 3,3 分）将左下图中的箭头缩小到原来的 1
2
，得到的图形是（ ）
【答案】 Ａ
24. （ 2011 湖北荆州， 7， 3 分） 如图， P 为线段 AB上一点， AD与 BC交于 E，∠ CPD＝∠ A＝
∠ B， BC交 PD于 F， AD交 PC于 G，则图中相似三角形有
%0.1 对 B． 2 对 C． 3 对 D． 4 对
D
C
E
F
G
A P B
第 7 题图
【答案】 C 25.
26.
二、填空题
1. （ 2011 广东广州市， 14， 3 分）如图 3，以点 O为位似中心，将五边形 ABCDE放大后得到五边形 A′B′C′D′E′ ，已知 OA=10cm， OA′=20cm，则五边形 ABCDE的周长与五边形
A′B′C′D′E′ 的周长的比值是 ．
A′
E′
A
E B′
B
O D D′
C C′
图 3
1
【答案】 2
2. （ 2011 四川重庆， 12，4 分）如图，△ ABC中， DE∥ BC，DE分别交边 AB、AC于 D、E 两点，若 AD： AB＝ 1：3，则△ ADE与△ ABC的面积比为 ．
【答案】 1： 9
3. （ 2011 江苏苏州， 17,3 分）如图，已知△ ABC的面积是 3 的等边三角形，△ ABC∽△ ADE，
AB=2AD，∠ BAD=45°， AC与 DE相交于点 F，则△ AEF的面积等于 （结果保留根号） .
【答案】 3 3
4
4.
5.
6.
三、解答题
1. （ 2011 江西， 25， 10 分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠ BAC= （0°＜ ＜90°） . 现把小棒依次摆放在两射线 AB， AC之 间，并使小棒两端分别落在两射线上 .
活动一：
如图甲所示，从点 A1 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直， A1A2 为
第 1 根小棒 .
数学思考：
（ 1）小棒能无限摆下去吗？答： . （填“能”或“不能”）
（ 2）设 AA1=A1A2=A2A3=1.
① = 度；
②若记小棒 A2n-1 A2n 的长度为 an（ n 为正整数，如 A1A2=a1 ,A 3A4=a2, ）, 求此时 a2，a3 的值，并直接写出 an（用含 n 的式子表示） .
活动二：
如图乙所示， 从点 A1 开始， 用等长的小棒依次向右摆放， 其中 A1A2 为第 1 根小棒， 且 A1A2= AA1.
数学思考：
（ 3）若已经向右摆放了 3 根小棒， 则 1 = ， 2 = ， 3 = ；（用含的式子表示）
（ 4）若只．能．摆放 4 根小棒，求 的范围 .
【答案】
【答案】解： （ 1）能
（ 2）① 22.5 °
②方法一：
∵ AA1=A1A2=A2A3=1， A 1A2⊥ A2A3，∴ A1A3= 2 ， AA3=1+ 2 .
又∵ A2A3⊥ A3A4 ，∴ A1A2∥ A3A4. 同理： A3A4∥ A5A6，∴∠ A=∠ AA2A1=∠ AA4A3=∠ AA6 A5，
∴ AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴ a2= A 3A4=AA3=1+ 2 ,a 3=AA3+A3A5=a2+A3A5. ∵A3A5= 2 a2,
2
∴ a3=A5A6 =AA5=a2+ 2 a2=( 2 +1) .
方法二：
∵ AA1=A1A2=A2A3=1， A 1A2⊥ A2A3，∴ A1A3= 2 ， AA3=1+ 2 .
又∵ A2A3⊥ A3A4 ，∴ A1A2∥ A3A4. 同理： A3A4∥ A5A6，∴∠ A=∠ AA2A1=∠ AA4A3=∠ AA6 A5，
∴ a2=A3A4=AA3=1+ 2 , 又∵∠ A2A3A4=∠ A4A5A6=90°，∠ A2A4A3=∠ A4A6A5，∴△ A2A3A4∽△ A4A5A6，∴
1 a2
a 2 a3
，∴ a3=
2
a
2 =(
1
2 +1) 2.
n-1
an=( 2 +1) .
(3) 1
2 ， 2
3 ， 3 4
(4) 由题意得
5 90
6 90
，∴ 15°＜ ≤ 18°.
2. （ 2011 江苏宿迁 ,28,12 分）如图，在 Rt△ ABC中，∠ B＝ 90°， AB＝ 1， BC＝
1 ，以点 C
2
为圆心， CB为半径的弧交 CA于点 D；以点 A为圆心， AD为半径的弧交 AB于点 E．
（ 1）求 AE的长度；
（ 2）分别以点 A、E 为圆心， AB长为半径画弧，两弧交于点 F（F 与 C 在 AB两侧），连接AF、EF，设 EF交弧 DE所在的圆于点 G，连接 AG，试猜想∠ EAG的大小，并说明理由．
F
G
A E B
D
C
（第 28 题）
【答案】
解：（ 1）在 Rt △ABC中，由 AB＝ 1，BC＝
∵ BC＝ CD， AE＝ AD
1 得 AC＝ 12
2
( 1) 2 ＝ 5
2 2
∴ AE＝ AC－ AD＝
5 1 ．
2
（ 2）∠ EAG＝36°，理由如下：
∵ FA＝ FE＝ AB＝ 1，AE＝ 5 1
2
∴ AE ＝ 5 1
FA 2
∴△ FAE是黄金三角形
∴∠ F＝ 36°，∠ AEF＝ 72°
∵ AE＝ AG，FA＝ FE
∴∠ FAE＝∠ FEA＝∠ AGE∴△ AEG∽△ FEA
∴∠ EAG＝∠ F＝ 36°．
3. （ 2011 广东汕头， 21，9 分）如图（ 1），△ ABC与△ EFD为等腰直角三角形， AC与 DE重合， AB=EF=9，∠ BAC＝∠ DEF＝90°，固定△ ABC，将△ EFD绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB边重合时，旋转中止 . 不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE、DF（或它们的延长线）分别 交 BC（或它的延长线）于 G、H 点，如图（ 2） .
（ 2）设 CG＝ x，BH＝ y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据
（ 3）问：当 x 为何值时，△ AGH是等腰三角形？
2 的情况说明理由） ；
【解】（1）△ HGA及△ HAB；
（ 2）由（ 1）可知△ AGC∽△ HAB
∴ CG
AB BH
AC x
，即
9
9
，
y
所以，
y
81
x
（3）当 CG＜
1
2
BC 时，∠ GAC=∠ H＜∠ HAC，∴ AC＜ CH
∵AG＜ AC，∴ AG＜ GH
又 AH＞ AG，AH＞ GH
此时，△ AGH不可能是等腰三角形；
当 CG=
1
2
BC 时， G为 BC的中点， H 与 C 重合，△ AGH是等腰三角形；
此时， GC=
9
2
2 ，即 x= 9
2
2
当 CG＞ 1 BC 时，由（ 1）可知△ AGC∽△ HGA
2
所以，若△ AGH必是等腰三角形，只可能存在 AG=AH
若 AG=AH，则 AC=CG，此时 x=9
综上，当 x=9 或 9 2 时，△ AGH是等腰三角形．
（ 1）问：始终与△ AGC相似的三角形有 及 ；
2
4. （ 2011 湖南怀化， 21，10 分）如图 8，△ ABC,是一张锐角三角形的硬纸片， AD是边 BC上
的高， BC=40cm,AD=30cm从, 这张硬纸片上剪下一个长 HG是宽 HE的 2 倍的矩形 EFGH，使它的
一边 EF在 BC上，顶点 G、H 分别在 AC， AB 上， AD与 HG的交点为 M.
(1) 求证：
AM HG ;
AD BC
(2) 求这个矩形 EFGH的周长 .
【答案】
(1) 解：∵四边形 EFGH为矩形
∴EF∥GH
∴∠ AHG∠= ABC
又∵∠ HAG∠= BAC
∴ △AHG∽△ ABC ∴
AM HG ;
AD BC
（ 2）由（ 1）得
AM HG ; 设 HE=x，则 HG=2x， AM=AD-DM=AD-HE=30-x AD BC
可得 30 x
30
2x ，解得， x=12 ， 2x=24
40
所以矩形 EFGH的周长为 2×（ 12+24） =72cm.
5. （ 2011 上海， 25， 14 分）在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， BC=30， AB=50．点 P是 AB边上任意一点，直线 PE⊥ AB，与边 AC或 BC相交于 E．点 M在线段 AP上，点 N在线段 BP上， EM=EN，
sin ∠ EMP= 12 ．
13
（1） 如图 1，当点 E与点 C重合时，求 CM的长；
（2） 如图 2，当点 E 在边 AC上时，点 E 不与点 A、C 重合，设 AP=x， BN=y，求 y 关于 x
的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3） 若△ AME∽△ ENB（△ AME的顶点 A、 M、E 分别与△ ENB的顶点 E、N、B 对应），求 AP
的长．
2
2
2
图 1 图 2 备用图
2
【答案】（ 1）∵∠ ACB=90°，∴ AC= AB
BC = 50
30 =40．
∵S= 1
2
1
AB CP =
2
AC BC ,
∴CP= AC BC
AB
= 40 30 =24．
50
在 Rt△ CPM中，∵ sin ∠ EMP= 12 ，
13
∴ CP 12 ． CM 13
∴CM= 13CP = 13 24 =26．
12 12
（2）由△ APE∽△ ACB，得 PE AP ，即
PE x ，∴ PE= 3 x ．
BC AC
在 Rt△ MPE中，∵ sin ∠ EMP= 12 ，∴ PE
13 ME
∴EM= 13 PE = 13 3 x = 13 x ．
30 40 4
12
．
13
12 12 4 16
∴PM=PN=
ME 2 PE 2 =
2 2
5
13 x 3 x = x ．
16 4 16
∵AP+PN+NB=50，∴ x+ 5
16
x +y =50 ．
∴y = 21 x
16
50 (0 < x < 32) ．
（3）
第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。本题还可以通过角度之间的关系转换求解，个人认为从角度入手更加简洁直观方法如下：
①当点 E 在线段 AC上时，
△AME∽△ ENB， AM ME
EN NB
．∵EM=EN，∴
EM 2
13
AM NB ．设 AP=x，由（ 2）知 EM= x ，
16
AM= x PM = x
5 x 11 x ， NB= 21 x
50 ．
16 16 16
2
∴ 13 x
11 x (
21 x
50)
16 16 16
解得 x1=22， x2=0（舍去）． 即 AP=22．
② 当点 E在线段 BC上时，
根据外角定理，△ ACE∽△ EPM，∴
AC EP
12 ．∴ CE= 5
50
AC =
．设 AP=x，易得
CE MP 5 12 3
BE= 5 (50
3
x) ，∴ CE=30 5 (50
3
x) ．∴ 30 5 (50
3
x) = 50
3
．解得 x=42．即 AP=42．
∴AP的长为 22 或 42． 6. （ 2011 四川绵阳 25， 14）
已知△ ABC是等腰直角三角形，∠ A=90°， D 是腰 AC上的一个动点 ，过 C作 CE垂直于 BD或BD的延长线，垂足为 E, 如图 1.
(1) 若 BD是 AC的中线，如图 2，求
BD
的值；
CE
BD
(2) 若 BD是∠ ABC的角平分线，如图 3，求 CE的值；
BD BD
(3) 结合（ 1) 、（2) ，请你推断 CE的值的取值范围（直接写出结论，不必证明） ，并探究 CE的值
4
能小于
吗？若能，求出满足条件的 D点的位置；若不能，请说明理由 . 3
A A
E
D E
D
B C B C
A
E
D
B C
【答案】 (1) 设 AD=x,则 AB=2x, 根据勾股定理，可得 BD= 5x, ∵△ ABD∽△ CDE, BD AB ,
CE CD
可得 CE=
2
x, 所以
5
BD 5
2
= CE
（ 2）设 AD=x, 根据角平分线定理，可知 DC= 2x ， AB= 2x+x, 由
勾股定理可知 BD= （ 4+2 2） x 2 △ ABD∽△ CDE，
BD
=2, CE
AB EC
AD DE
1 2 x
2
,
, ∴ EC=
1 2 2
(3) 由前面两步的结论可以看出，
A 之间
BD ≥1, 所以这样的点是存在的， D 在 AC边的五等分点和点
CE
7. （ 2011 湖北武汉市， 24， 10 分）（本题满分 10 分）
（ 1）如图 1，在△ ABC中，点 D，E，Q分别在 AB，AC，BC上，且 DE∥ BC，AQ交 DE于点 P．求
证： DP
BQ
PE ．
QC
（ 2） 如图，在△ ABC中，∠ BAC=90°，正方形 DEFG的四个顶点在△ ABC的边上，连接 AG， AF分别交 DE于 M， N两点．
①如图 2，若 AB=AC1=，直接写出 MN的长；
2
②如图 3，求证 MN=DM·EN．
【答案】（ 1）证明：在△ ABQ中，由于 DP∥BQ，
∴△ ADP∽△ ABQ，
∴ DP/BQ＝ AP/AQ．
同理在△ ACQ中， EP/CQ＝AP/AQ．
∴ DP/BQ＝ EP/CQ．
（ 2） 2 ．
9
（ 3） 证明：∵∠ B＋∠ C=90°，∠ CEF＋∠ C=90°．
∴∠ B=∠ CEF，
又∵∠ BGD=∠ EFC，
∴△ BGD∽△ EFC．
∴ DG/CF＝ BG/EF，
∴ DG·EF＝ CF· BG
2
又∵ DG＝GF＝EF，∴ GF＝CF·BG
由（ 1）得 DM/BG＝MN/GF＝EN/CF∴（ MN/GF） 2＝ ( DM/BG) ·(EN/CF)
2
∴ MN＝ DM·EN
8. （ 2011 河北， 20， 8 分）如图 10，在 6× 8 网格图中，每个小正方形边长均为 1，点 O 和
△ ABC的顶点均在小正方形的顶点 .
（ 1）以 O为位似中心，在网格图中作△ A′ B′ C′和△ ABC位似，且位似比为 1︰2；
（ 2）连接（ 1）中的 AA′, 求四边形 AA′ C′C 的周长 . （结果保留根号）
A
B C
【答案】（ 1）如下图 .
A
A'
B B' C ' C
（ 2）四边形 AA′C′ C 的周长 =4+6 2
2011 中考模拟分类汇编：相似形
一、选择 题
1、（ 2011 年北京四中模拟 26）在比例尺 1： 6000000 的地图上，量得南京到北京的距离是 15
㎝，这两地的实际距离是 （ ）
A ． 0.9 ㎞ B. 9 ㎞ C.90 ㎞ D.900 ㎞
答案： D
2、（ 2011 杭州模拟 26）如图所示，平地上一棵树高为 6 米，两次观察地面上的影子， ?第一次是当阳光与地面成 60°时，第二次是阳光与地面成 30°时，第二次观察到的影子比第一次 长 ( )
A. 6 3 3 B. 4 3 C. 6 3 D. 3 2 3
答案： B
3．（ 2011 年杭州三月月考） ．如图， 在 Rt△ ABC 中，
ACB
90°，BC
3，AC
4，AB 的
垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于点 E ，则 CE 的长为（ ） A
(A) 3 2
(B) 7
6
(C) 25
6
(D)2
D
答案： B
B C E
4．（ 2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）如图，在△ ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，
则下列结论：① BC=2D；E ②△ ADE∽△ ABC；③ AD AB
AE AC
；其中正确的有 （ ） A
A、3 个 B 、2 个 C 、1 个 D 、0 个 D E
答案： A
B C
(第 4 题)
5. （安徽芜湖 2011 模拟）如图，在等边△ ABC 中， D 为 BC边上一点， E 为 AC边上一点，且
∠ADE=60°， BD=3， CE=2，则△ ABC的边长为 （ ）
A．9 B ． 12 C ． 15 D ．18
答案: A
6. （ 2011 深圳市三模） 为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高 2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案 . 小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体
雕像的设计中。如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体
雕像下部的设计高度 ( 精确到 0.01m，参考数据： 错误！未找到引用源。 ≈ 1.414 ， 错误！未找到引用源。 ≈ 1.732 ， 错误！未找到引 用源。 ≈2.236) 是（ ）
A.0.62m B.0.76m C.1.24m D.1.62m
答案： C
7、（ 2011杭州模拟 20） 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）
第 7 题 （A ）． （ B）． （ C）． （ D）．答案： B
用心 爱心 专心 16
8、（ 2011 年黄冈浠水模拟 1） 如图， AB//CD， AE//FD， AE、FD 分别交 BC 于点 G、H，则图中共有相似三角形（ ） .
A.4 对 B.5 对 C. 6 对 D.7 对
答案： C
9. （ 2011 年海宁市盐官片一模）视力表对我们来说并不陌生．如图是
视力表的一部分，其中开口向上的两个“ E”之间的变换是（ ）
A．平移 B．旋转 C．对称 D．相似答案： D
10. （ 2011 年浙江杭州三模）
（ ）
答案： C
二、填空题
标准对数视力表
0.1 4.0
0.12 4.1
0.15 4.2
第 10 题图
A
1．（ 2011 年杭州市上城区一模）将三角形纸片（△ ABC）按如
E B′
图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC上，记为点 B′，
折痕为 EF．已知 AB＝AC＝ 6， BC＝ 8，若以点 B′， F， C
为 顶 点 的 三 角 形 与 △ ABC 相 似 ， 那 么 BF 的 长 度 B F C
是 ． （第 1 题）
答案： 4 ， 24
7
2、（北京四中模拟）如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， AD AC ．
2 ， AE
3 ， BD
4 ，则
答案： 9
3. （2011 年浙江杭州二模）如图，光源 P 在横杆 AB的正上方， P
AB在灯光下的影子为 CD， AB
/ /CD , AB
2, CD
6m ， A B
点 P 到 CD的距离是 2.7m，则 AB与 CD间的距离是 m。 C D
答案： 1.8
4．（ 2011 杭州上城区一模） 将三角形纸片（△ ABC）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边
AC上，记为点 B′，折痕为 EF．已知 AB＝ AC＝ 6， BC＝ 8，若以点 B′， F， C为顶点的三角形
与△ ABC相似，那么 BF的长度是 ．
24
答案： 4 ，
7
A
E B′
B F C
（第 4 题）
5、（ 2011 年北京四中 34 模）已知三个边长分别为 2、3、5 的正三角形从左到右如图排列，则
图中阴影部分面积为
答案： 3
8
6（ 2011 深圳市中考模拟五） . 如果一个三角形的三边长为 5、12、13，与其相似的三角形的
最长的边为 39，那么较大的三角形的周长 ，面积 ． 答案 : 90 ， 270
7. （浙江杭州金山学校 2011 模拟） （浙江杭州金山学校 2011 模拟）（原创） 2 3 与 2 3
的比例中项是 ▲ .
答案： ± 1
8. （浙江杭州进化 2011 一模）已知
a : b
3: 2 ，且 a b
10 ，则 b= .
答案： 4
三、解答题
1、（ 2011 年北京四中模拟 26）
已知：如图， D 是 AC上一点， BE∥AC， BE=AD， AE分别交 BD、BC于点 F、G，∠ 1=∠ 2。
（ 2）探索线段 BF、FG、EF 之间的关系，并说明理由。
答案：解： （ 2） BF
2
FG EF . 理由：
1
E, 1
2,
2
E 。
又
GFB
BFE ,
BFG ∽
EFB.
BF
EF
FG 2
，即 BF
BF
FG EF 。
2、 (2011 年浙江省杭州市中考数学模拟 22) （本小题满分 6 分）
如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，过点
连结 AC 。
O 作弦 BC 的平行线，交过点
A的切线 AP 于点 P ，
（ 1）求证： △ ABC ∽△ POA；
（ 2）若 OB
2 ， OP
7
，求 BC 的长．
2
答案：
（第 2 题）
（ 1）证明：∵ AP⊙O切于 A，AB 是⊙ O直径∴∠ OAP=∠ C
2
分
∵ PO∥ BC∴∠ AOP=∠B 1 分
∴ △ ABC ∽△ POA； 1 分
（ 2）∵ △ ABC ∽△ POA
AB
PO
OB
2, OP
7
, BC
2
BC
OA 16
7
1 分
1 分
3、（ 2011 杭州模拟）如图，已知等边三角形△ AEC，以 AC为对角线做正方形 ABCD（点 B 在△ AEC内，点 D 在△ AEC外）。连结 EB，过 E 作 EF⊥ AB，交 AB的延长线为 F。
（ 1）猜测直线 BE和直线 AC的位置关系，并证明你的猜想。
（ 2）证明：△ BEF∽△ ABC，并求出相似比。
解： (1) 猜测 BE和直线 AC垂直 1 分
证明△ AEB≌△ CEB(SSS) 2 分
说明 EB 是∠ AEC的平分线，再利用等腰△三线合一即可 2 分
（ 2）证明∠ EBF=45°即可证明△ BEF∽△ 2 分延长 EB交 AC于 G，设 AC为 2a，则 BG=a， EB= 3a ,
EB 3a a 3 1
所以 相似比： 3 分
AC 2a 2
4．（ 2011 年杭州三月月考） 如图 , 已知在等腰△ ABC中, ∠ A=∠ B=30° , 过点 C作 CD⊥ AC交 AB
于点 D.
(1) 尺规作图：过 A，D， C三点作⊙ O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法） ；
(2) 求证： BC是过 A，D， C三点的圆的切线；
(3) 若过 A， D， C 三点的圆的半径为 3 , 则线段 BC上是否存在一点 P，使得以 P， D，B
为顶点的三角形与△ BCO相似 . 若存在，求出 DP的长；若不存在，请说明理由 .
C
答案：
解：（ 1）作出圆心 O， A
以点 O为圆心， OA长为半径作圆 .
（ 2）证明：∵ CD⊥ AC, ∴∠ ACD=90°.
∴AD是⊙ O的直径
连结 OC，∵∠ A=∠ B=30°,
∴∠ ACB=120°, 又∵ OA=OC, A
∴∠ ACO=∠ A =30°,
∴ ∠ BCO= ∠ ACB- ∠ ACO
=120° - 30°=90°.
∴BC⊥ OC,
B
C
P 2
P 1
O D B
∴BC是⊙ O的切 线.
（ 3）存在 .
∵∠ BCD=∠ ACB- ∠ ACD=120° -9 0°=30°,
∴∠ BCD=∠ B, 即 DB=DC.
又∵在 Rt △ACD中， DC=ADsin 30 3 , ∴ BD= 3 .
解法一：①过点 D作 DP1// OC，则△ P1D B∽△ COB,
P1 D CO
BD ，
BO
∵ BO=BD+OD= 2 3 ,
∴P1 D=
BD × OC= 3 × 3 = 3 .
BO 3 2
②过点 D作 DP⊥ AB, 则△ BDP∽△ BCO, ∴
P2 D
BD ，
∵BC＝
2 2
BO2 CO 2 3,
OC BC
∴ P2 D
BD OC 3
BC 3
3 1 .
解法二：①当△ B P1D∽△ BCO时，∠ DP1B=∠OCB=90°.
在 Rt △ B P1D中，
DP1 = BD
sin 30 3 .
2
②当△ B D P2∽△ BCO时，∠ P2DB=∠ OCB=90°.
在 Rt △ B P2D中，
DP2= BD tan 30 1 .
5 ．（ 2011 年 杭 州 三 月 月 考 ） 已 知 一 个 直 角 三 角 形 纸 片 OAB ， 其 中
AOB
90°，OA
2， OB
4 ．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，
折痕与边 OB 交于点 C ，与边 AB 交于点 D ．
（ 1）若折叠后使点 B 与点 A重合，求点 C 的坐标；
（ 2）若折叠后点 B 落在边 OA上的点为 B ，设 OB x ， OC y ，试写出 y 关于 x 的函
数解析式，并确定 y 的取值范围；
（ 3）若折叠后点 B 落在边 OA上的点为 B ，且使 B D ∥ OB ，求此时点 C 的坐标．
y y y
B B B
x x x
O A O A O A
答案：
解（ 1）如图①，折叠后点 B 与点 A 重合， 则 △ACD ≌△ BCD .
设点 C 的坐标为 0，m m 0 .
则 BC OB OC 4 m.
于是 AC BC 4 m .
在 Rt△ AOC 中，由勾股定理，得
AC 2
OC 2
OA2 ，
2
即 4 m
m2 22 ，解得 m 3 .
2
3
点 C 的坐标为 0，
2
（ 2）如图②，折叠后点 B 落在 OA边上的点为 B ,
则 △B CD ≌△ BCD .
由题设 OB x， OC y ，
则 B C BC OB OC 4 y ，
在 Rt△ B OC 中，由勾股定理，得
B C 2
OC 2
OB 2 .
2
2
4 y y
即 y 1 x2 2
8
x2 ，
由点 B 在边 OA上，有 0 ≤ x ≤ 2 ，
解析式
y 1 x2
8
2 0 ≤
x≤ 2
为所求 .
当 0 ≤ x≤ 2 时， y 随 x 的增大而减小，
y 的取值范围为 3 ≤
2
y≤ 2 .
（ 3）如图③，折叠后点 B 落在 OA边上的点为 B ，且 B D ∥OB .
则 OCB CB D .
又 CBD CB D，
OCB CBD
，有 CB
∥ BA.
Rt△COB ∽ Rt△ BOA .
有 OB OC ，得 OC OA OB
2OB .
在 Rt△ B OC 中，
设 OB x0 x
0 ，则 OC
2 x0 .
由（ 2）的结论，得
2x0
1 x2 2 ，
0
8
解得 x0
8 4 5． x0
0， x0
8 4 5 .
点 C 的坐标为 0，8 5 16 .
y y y
B B B
D D D
C C C
O A x O B′ x
图① 图②
x
O B′
图③
6．（ 2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）已知线段 OA⊥ OB， C 为 OB上中点， D 为 AO上一点， 连 AC、BD交于 P点．
（ 1）如图 1，当 OA=OB且 D 为 AO中点时，求
AP 的值；
PC
（ 2）如图 2，当 OA=OB，
AD = 1 时，求 tan ∠ BPC；
AO 4
A
A
D P
P D
答案：
B C O
图 1
B C O
1 1 图 2
（ 1）过 C 作 CE∥OA交 BD于 E，则△ BCE∽△ BOD得 CE=
2
OD=
2
AD；
再由△ ECP∽△ DAP得 AP
PC
AD 2 ； CE
（ 2）过 C 作 CE∥OA交 BD于 E，设 AD=x， AO=OB=4，x 则 OD=3x，
由△ BCE∽△ BOD得
CE= 1
2
3
OD= x，
2
再由△ ECP∽△ DAP得 PD AD 2 ；
PE CE 3
由勾股定理可知 BD=5x，
5 PD 2
DE= x，则 ，可得 PD=AD=，x
2 DE PD 3
CO 1
则∠ BPC=∠ DPA=∠ A， tan ∠BPC=tan∠ A= 。
AO 2
7. （浙江杭州靖江 2011 模拟） ( 本小题满分 6 分)
如图，△ ABC中， AB＝ AC，∠ BAC＝ 108°
（ 1）只用直尺和圆规作图，首先在 BC上截取 BD＝AB，再作 BD的中垂线，交 AB 于E，连结 AD， DE。
（ 2）与△ BDE相似的三角形有 。（直接写出答案） （原创）
A
B C
答案：（ 1）图如下，作出弧 AD得 1 分，作出 BD的中垂线得 2 分，连结 AD， DE得 1 分。
A
E
B D C
（2）△ ADC和△ ABC 2 分
8. 已知
a, b, c 均不为 0，且 a 2b
5
3b c
3
2c a ，求 c 7 2b
2b 的值。（原创）
3a
答案：解：设
a 2b
5
3b c
3
2c a
7
＝k，则 .............................1 分
a 2b 5k
3b c 3k
①
② .....................................1 分
2c a 7k ③
由 ① +③得， 2b+2c=12k, ∴ b+c=6k ④ 1 分
由②＋④，得 4b=9k, ∴ b= 9
4
k ，分别代入①，④得， a= 1 k
2
,c=
15 k 2 分
4
∴ c 2b
2b 3a
15 k 9 k 3 k
4 2 4 1 1 分
9 k 3 k 6k 8
2 2
9．（安徽芜湖 2011 模拟）（本题满分 10 分）如图， 在△ ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙O 交 AC与 E，交 BC与 D．求证：
（ 1） D是 BC的中点；
（2） △ BEC∽△ ADC；
2
（3） BC=2AB·CE．答案 :
（ 1）证明：∵ AB 是⊙O的直径，∴∠ ADB=90° ，
即 AD是底边 BC上的高． 1 分
又∵ AB=AC，∴△ ABC 是等腰三角形，
∴D是 BC的中点； 3 分
(2) 证明：∵∠ CBE与∠ CAD是同弧所对的圆周角，
∴ ∠ CBE=∠ CAD． 5 分
又∵ ∠BCE=∠ACD，
∴△ BEC∽△ ADC； 6 分
CD CE
（ 3）证明：由△ BEC∽△ ADC，知 ，
AC BC
即 CD· BC=AC· CE． 8 分
∵D是 BC的中点，∴
1
CD=
2
BC．
又 ∵AB=AC，∴ CD· BC=AC·
1
CE= BC
2
· BC=AB· CE
即 BC2 =2AB· CE． 10 分
10. （安徽芜湖 2011 模拟）（本题满分 12 分）
如图，方格纸中每个小正方形的边长为 1，△ ABC和△ DEF
的顶点都在方格纸的格点上．
(1) 判断△ ABC和△ DEF是否相似，并说明理由；
(2) P1， P2， P3，P4， P5， D， F 是△ DEF边上的 7 个格点，请在这 7 个格点中选取 3 个点作为三角形的顶点， 使构成的三角形与△ ABC相似 ( 要求写出 2 个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由 ) ．
B D
P1 P5
A P2 F
P3
P4
C E
答案 : 解： (1) △ ABC和△ DEF相似． 1 分
根据勾股定理，得
AB 2 5 ， AC
5 ， BC=5 ；
DE 4 2 ， DF
2 2 ， EF
2 10 ．
∵ AB AC BC DE DF EF
5
， 5 分
2 2
∴ △ABC∽△ DEF． 6 分
(2) 答案不唯一，下面 6 个三角形中的任意 2 个均可．
B D
P1 P5
A P2 F
P3
P4
C E
(第 23 题)
△P2P5D，△ P4P5F，△ P2P4D，
△ P4P5D，△ P2P4 P 5，△ P1FD． 12 分
11.（河南新乡 2011 模拟）（ 10 分） 如图， 梯形 ABCD中， AB∥ CD
与 AB 的延长线交于点 G．
，点 F 在 BC 上，连 DF
（ 1）求证：
△CDF
∽△ BGF ；
（ 2）当点 F 是 BC的中点时，过 F 作 EF ∥ CD
求 CD 的长．
交 AD 于点 E ，若 AB
E
6cm， EF
D C
F
4cm ，
答案：
（ 1）证明：∵梯形 ABCD ， AB∥CD ，
A B G
∴ CDF FGB，
DCF GBF
， . 2 分 D C
∴ △CDF ∽△ BGF ． . 4 分 E F
（ 2） 由（ 1） △CDF
∽△ BGF ，
A B G
又 F 是 BC 的中点， BF FC
∴ △CDF ≌△ BGF ，
∴ DF FG，CD BG
. 7 分
又∵ EF ∥ CD ， AB∥ CD ，
∴ EF ∥ AG ，得 2EF BG AB BG ．
∴ BG
2EF AB
2 4 6 2 ，
∴ CD BG
2cm ． 10 分
12. （浙江杭州金山学校 2011 模拟）（ 14 分）（根据历城市 2011 年中考第一次模拟考试数学试卷改编）
已知：直角梯形 OABC中， BC∥OA，∠ AOC=9°0 AD、BD、BE。
，以 AB 为直径的圆 M交 OC于 D． E，连结
(1) 在．不．添．加．其．他．字．母． 和．线．的．前．提．下． ，直．接．写出图 1 中的两对相似三角形。
， 。
(2) 直角梯形 OABC中，以 O为坐标原点， A 在 x 轴正半轴上建立直角坐标系（如图 2），若
抛物线
y ax 2 2ax
3a (a
0) 经过点 A． B． D，且 B 为抛物 线的顶点。
①写出顶点 B的坐标（用 a 的代数式表示） 。
②求抛物线的解析式。
③在 x 轴下方的抛物线上是否存在这样的点 P：过点 P 做 PN⊥x 轴于 N，使得△ PAN 与△ OAD
相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。
答案：（1）△ OAD∽△ CDB. △ADB∽△ ECB 4 分
（ 2）①（ 1，－ 4a） 1 分
②∵△ OAD∽△ CDB
图 2
∴ DC CB 1 分
OA OD
2
∵ ax － 2ax－ 3a=0，可得 A（ 3， 0） 2 分
又 OC=－4a， OD=－3a， CD=－ a， CB=1，
∴ 1 a
∴ a2 1
∵ a 0
∴ a 1
3a 3
故抛物线的解析式为： y
x 2 2x 3 2 分
③存在，设 P（ x，－ x
2+2x+3）
∵△ PAN与△ OAD相似，且△ OAD为等腰三角形
∴ PN=AN
当 x<0（ x<－1）时，－ x+3=－ ( － x
2+2x+3) ， x =－ 2，x =3( 舍去 ) ，
1 2
∴ P（－ 2，－ 5） 2 分
2
当 x>0（ x>3 ）时， x－3= － ( －x +2x+3) ， x 1=0， x 2=3( 都不合题意舍去 ) 1 分
符合条件的点 P 为（－ 2，－ 5） 1 分
13. （浙江杭州进化 2011 一模） ( 本小题满分 8 分)
已知：如图，在△ ABC 中， AB=AC，DE∥BC，点 F 在边 AC 上， DF 与 BE 相交于点 G，且
∠EDF=∠ABE． A
求证：（ 1）△ DEF∽△ BDE；
（ 2） DG DF
DB EF ．
D E
G F
答案： ( 本小题满分 8 分)
B C
证明：（1）∵ AB=AC，∴∠ ABC=∠ ACB． 1 分
∵ DE∥BC，∴∠ ABC+∠ BDE=180°，∠ ACB+∠CED=180°．
∴∠ BDE=∠ CED． 1 分
∵∠ EDF=∠ABE，∴△ DEF∽△ BDE． 1 分
（2）由△ DEF∽△ BDE，得 DB
DE
DE ．
EF A
∴ DE 2
DB EF
． 1 分
由△ DEF∽△ BDE，得∠ BED=∠ DFE． D E
∵∠ GDE=∠ EDF，∴△ GDE∽△ EDF． 1 分
G F
∴ ． 1 分
∴ DE 2
DG DF
． 1 分 B C
∴ DG DF
DB EF
． 1 分
14. （2011 年杭州市模拟）（本题 6 分）如图， ABC 是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与 ABC 相似，并填空：
A1B1
（ 1）在图甲中画 A1B1C1 ，使得 A1 B1C1 的周．长．是 ABC 的周长的 2 倍，则 AB = ；
（ 2）在图乙中画
A2 B2C2 ，使得
A2B2C 2 的面．积．是 ABC 的面积的 2 倍， 则
A2 B2 = ；
AB
A A
B C B C
图甲 图乙
答案：（1） 2 ； （ 2） 2
( 每个填空题正确得 1 分，每个图形画正确得 2 分)
15．（ 2011 年海宁市盐官片一模）如图，在正方形
ABCD 中， E、F 分别是边 AD、CD
点， AE
ED，DF
1 DC，连结 EF 并延长交
4
BC 的延长线于点 G．
（ 1）求证： △ABE ∽△ DEF ；
A
E
D
（ 2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长．
F
B
C
答案：⑴在正方形 ABCD中， A
D
90
AB=AD=CD
∵ AE=ED , DF= DC
4
∴ AE=ED= AB , DF=
2
1
1
1 AB
4
∴ AB AE
DE DF
∴ △ ABE∽△ DEF
（ 2）
AB
BE
4 , AE
42
2
22
2 5
上的
G
∴ ABE AEB
∴ BEG
DEF ABE 90
AEB
DEF 90
由 AD∥BG 得
AEB
EBG
∴ ABE ∽ EGB
∴ AE
BE
BE BG
BE 2
∴ BG 10
AE
16．（ 2011 年海宁市盐官片一模） 如图，在梯形 ABCD中，AB∥ CD，AB＝7，CD＝ 1，AD＝ BC＝5．点 M， N 分别在边 AD， BC上运动，并保持 MN∥ AB， ME⊥ AB， NF⊥ AB，垂足分别为 E，F．
（1） 求梯形 ABCD的面积； D C
（2） 求四边形 MEFN面积的最大值． M N
（3） 试判断四边形 MEFN能否为正方形，若能，求出正方
形 MEFN的面积；若不能，请说明理由． A E F B
答案：⑴过 C 作 CG⊥ AB 于 G
∵ AB=7,CD=1 ∴
7 1
BG= 3
2
由 BC=5 ∴ CG=
52 32 =4
1
S 梯形ABCD =
2
4 1 7 16
⑵∵ MN∥ AB, 且 ME⊥ AB,NF⊥ AB
∴四边形 EFNM为矩形
设 BF 为 x，四边形 MEFN的面积只为 y
∵ NF∥CG, ∴ BFN∽ BGC
BF NF NF
即
BG CG 4
x 4
∴ NF= x
3 3
EF\7-2x
∴ y= 4 x （ 7-2x ）
3
当 x= 7 时，四边形 MEFN的最大值为 49
4 6
⑶当 4 x =7-2x 时，即 x= 21 ， MEFN为正方形
3
此时正方形边长为
10
4 21 14
3 10 5
正方形面积为
196
25
17、（ 2011 年浙江杭州 27 模）如图，△ ABC中， AB＝ AC，∠ BAC＝ 108°
（ 1）只用直尺和圆规作图，首先在 BC上截取 BD＝ AB，再作 BD的中垂线，交 AB 于 E，连结AD， DE。
（ 2）与△ BDE相似的三角形有 。（直接写出答案）
A
B C
答 案 ：（ 1 ） 图 如 下 ， 作 出 弧 AD ， 作 出 BD 的 中 垂 线 ， 连 结 AD ， DE 。
A
E
B D C
（ 2）△ ADC和△ ABC
一、选择题
1. （ 2010 年中考模拟）如图，在斜坡的顶部有一铁塔 AB，B 是 CD的中点， CD是水平的，在阳光的照射下，塔影 DE留在坡面上．已知铁塔底座宽 CD=12 m，塔影长 DE=18 m，小
用心 爱心 专心 32
明和小华的身高都是 1.6m ，同一时刻，小明站在点 E 处，影子在坡面上，小华站在平地上， 影子也在平地上，两人的影长分别为 2m和 1m，那么塔高 AB为（ ）
A． 24m B ． 22m C ． 20 m D ． 18 m
答案： A
答案： A
3. （ 2010 年中考模拟 2） 如果一个直角三角形的两条边长分别是
6 和 8，另一个与它相似的
直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（
）
A. 只有 1 个
B.
可以有 2 个
C.有 2 个以上，但有限
D.
有无数个
答案： B
4. （ 2010 年教育联合体）在直角坐标系中，已知
O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3)
，D 为 x 轴上
一点．若以 D、 O、C 为顶点的三角形与△ AOB 相似，这样的 D 点有（
）
A．2 个
B
． 3 个
C
． 4 个
D
． 5 个
答案： C
5. （ 2010年北京市朝阳区模拟）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（
）
2. （ 2010 年北京市中考模拟）如图， C 为⊙ O直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交⊙ O于 D、E 两点， 且∠ ACD=45°， DF⊥ AB于点 F,EG⊥ AB 于点 G, 当点 C 在 AB上运动时，设 AF=x ， DE= y ，下列中图象中，能表示 y 与 x 的函数关系式的图象大致是（ ）
（第 5 题） A ． B ． C． D． 答案： B
用心 爱心 专心 33
6.（ 2010 年北京市朝阳区模拟） 如图，在 Rt△ ABC 中， AB AC ， D、E 是斜边 BC上两点，且∠ DAE=45°，将△ ADC 绕点 A 顺时针旋转 90 后，得到△ AFB，连接 EF ，下列结论：
①△ AED ≌△ AEF ； ②△ ABE∽△ ACD ；
③ BE DC DE ； ④ BE 2
DC 2
DE 2
其中一定正确的是
A．②④ B ．①③
C．②③ D．①④
答案： D
7. （ 2010 年山东新泰）在直角坐标系中，已知 O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3) ，D 为 x 轴上一点．若以 D、O、C 为顶点的三角形与△ AOB 相似，这样的 D 点有（ ）
A． 2 个 B ．3 个 C ． 4 个 D ． 5 个
答案： C
8. （ 2010 年浙江杭州）四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图．则在字母“ L”、“ K”、“ C”的投影中，与字母“ N”属同一种投影的有（ ）
A．“ L”、“ K” B ．“ C” C ．“ K” D ．“ L”、“ K”、“ C”
答案： A
二、填空题
1. （ 2010 年广州市中考六模） 、 P 为线段 AB=8cm的黄金分割点，则 AP= cm.
答案： 4 5 4或12 4 5
2. （ 2010 年浙江永嘉）如图，点 M是△ ABC内一点，过点 M分别作直线平行于△ ABC的各边，所形成的三个小三角形△ 1、△ 2、△ 3（图
用心 爱心 专心 34
中阴影部分）的面积分别是 4， 9 和 49．则△ ABC的面积是 ． 答案： 144
三、解答题
1. （ 2010 年中考模拟 2）如图是一个几何体的三视图 .
（ 1）写出这个几何体的名称；
（ 2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；
（ 3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点 B 出发， 沿表面爬到 AC的中点 D，请你求出这个线路的最短路程 . 答案：
（1） 圆锥；
（2） 表面积
S=S扇形 S圆
rl r 2 12 4
16 （平方厘米）
（3） 如图将圆锥侧面展开，线段 BD为所求的最短路程 .
由条件得，∠ BAB′=120°， C为弧 BB′中点，所以 BD= 3 3
2. （ 2010 年长沙市中考模拟） 在 Rt△ ABC 中，
ACB
90°， D 是 AB 边上一点， 以 BD 为
直径的 ⊙O 与边 AC 相切于点 E ，连结 DE 并延长，与 BC 的延长线交于点 F ． A
D
（ 1）求证： BD BF ；
（ 2）若 BC
6，AD
4 ，求 ⊙O 的面积． O E
答案：（1）证明：连结 OE 。 AC 切⊙O于 E ， OE ⊥
AC ，
B C F
又 ACB
90°，即 BC ⊥
AC ， OE ∥ BC ，
（ 2）设
OED F 。又 OD OE ， ODE OED ，
ODE F ， BD BF 。
⊙O 半径为 r ，由 OE ∥ BC 得△ AOE ∽△ ABC ．
AO OE r 4
，即
r ， r 2 r
12 0 ，
AB BC 2r 4 6
解之得 r
4， r
3 （舍）。 S
πr 2
16π
1 2 ⊙O
3. （ 2010 年教育联合体）如图，点 P 是菱形 ABCD的对角线 BD 上一点，连结 CP 并延长，交
用心 爱心 专心 35
AD于 E，交 BA的延长线点 F．问：
(1) 图中△ APD 与哪个三角形全等？并说明理由．
(2) 求证：△ APE ∽△ FPA．
(3) 猜想：线段 PC、PE、PF 之间存在什么关系？并说明理由．
(1) △APD≌△ CPD
理由： ∵四边形 ABCD菱形
∴AD=CD,∠ADP=∠CDP又∵ PD=PD
∴△ APD≌△ CPD
(2) 证明：∵△ APD≌△ CPD ∴∠ DAP=∠DCP
∵CD∥BF ∴∠ DCP=∠F ∴∠ DAP=∠F又∵∠ APE=∠FPA ∴△ APE ∽△ FPA
(3) 猜想：
PC 2
PE ? PF
理由: ∵△ APE ∽△ FPA
AP PE
∴
FP PA
∴ PA2
PE ? PF
∵△ APD≌△ CPD
∴PA=PC ∴ PC 2
PE ? PF
4. （ 2010 年安徽省模拟）如图， G是边长为 4 的正方形 ABCD的边 BC上的一点，矩形 DEFG的
边 EF 过 A,GD=5.
E
（ 1）指出图中所有的相似三角形；
（ 2）求 FG的长 .
A D
（ 1）△ AFH, △DCG, △ DEA均是相似三角形
0
（ 2）由∠ E=∠ C=90 , ∠ EDA与∠ CDG均 F
为∠ ADG的余角，的△ DEA∽△ DCG H
∴ ED AD ,
CD GD
向 ED=FG, ∴
FG AD ,
CD GD
B G C
由已知 GD=5,AD=CD=4, ∴ FG
4 , 即
16
FG=
4 5 5
5. （ 2010 年重庆市綦江中学模拟 1）已知△ ABC 的三个顶点坐标如下表：
（ 1）将下表补充完整，并在直角坐标系中，画出
A B C ；
用心 爱心 专心 36
（ 2）观察△ ABC 与△
A B C
，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论 .
（ x ， y ） （ 2x ， 2 y ）
解: （ 1）
（ x ， y ）
A（ 2，1）
第
A
5 题图
（ 2x ， 2 y ）
（ 4 ， 2 ）
B（ 4，3）
B
（ 8 ， 6 ）
C（ 5，1）
C
（ 10 ， 2）
A （ 2， 1）
A
（
4
，2
）
B （ 4， 3）
B
（
，
）
C （ 5， 1）
C
（
，
）
(2) 如△ ABC∽△
A B C
、周长比、相似比、位似比等均可．
第 5 题答案图
6. （ 2010 年浙江杭州） 提出问题： 如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（
AB BC ，且
BC AC ），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力， 小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分
（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样） ．
背景介绍： 这条分割直．线．即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角 形的“等分积周线” ．
尝试解决：
（ 1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出 . 请你帮小明在图 1 中画出这条“等分积周线” ，从而平分蛋糕．
A A
B 用心C
爱心 专B心
C 37
图 1 图 2
（ 2） 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图 1 中过点 C画了一条直线 CD 交 AB
于点 D．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．
（ 3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若 AB＝ BC＝ 5 cm，
AC＝ 6 cm，请你找出△ ABC的所有“等分积周线” ，并简要的说明确定的方法． 解： (1) 作线段 AC的中垂线 BD即可.
(2) 小华不会成功．
若直线 CD平分△ ABC的面积
那么 S ADC S
DBC A
E
∴ 1 AD ? CE 2
1 BD ? CE D
2
∴ BD
∵ AC
∴ AD
AD
B C
BC
AC BD BC
∴ 小华不会成功．
（ 3）① 若直线经过顶点，则 AC边上的中垂线即为所求线段．
② 若直线不过顶点，可分以下三种情况：
（ a）直线与 BC、AC分别交于 E、F，如图所示 A
过点 E 作 EH⊥ AC于点 H，过点 B 作 BG⊥AC于点 G F G
易求， BG=4， AG=CG=3 E H
B C
设 CF=x，则 CE=8-x
由△ CEH∽△ CBG，可得 EH=4 (8 x)
5
根据面积相等，可得 1 ? x ? 4 (8 x) 6
2 5
∴ x 3（舍去，即为①）或 x 5
∴ CF=5 ， CE=3，直线 EF即为所求直线．
A
（b）直线与 AB、AC分别交于 M、N, 如图所示
M
由 (a) 可得， AM=3， AN=5，直线 MN即为所求直线． N
B C
（仿照上面给分）
(c) 直线与 AB、BC分别交于 P、Q，如图所示
过点 A 作 AY⊥ BC于点 Y，过点 P 作 PX⊥BC于点 X
24 A
由面积法可得， AY=
5
设 BP=x，则 BQ=8-x
24
P
B X Q Y C
由相似，可得 PX= x
25
1 24
根据面积相等，可得 ?
2 25
x ?(8 x) 6
∴ x 8 14
2
5 （舍去）或 x
8 14
2
8 14 8 14
而当 BP
时， BQ= 5 ，舍去． 2 2
∴ 此种情况不存在．
综上所述，符合条件的直线共有三条．
（备战中考） 中考数学新题分类汇编 （中考真题 +模拟新题） 图
形的相似与位似
一、选择题
1. （ 2011 浙江金华， 9，3 分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直 . 如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）
A.600m B.500m C.400m D.300m
环城路
北
300m
南京路
400m
八一街
书店
曙
400m
光
路
西安路
【答案】 B
2. （ 2011 安徽， 9， 4 分）如图，四边形 ABCD中，∠ BAD=∠ ADC=90°， AB=AD=2 2， CD= 2，
点 P 在四边形 ABCD的边上．若 P 到 BD的距离为
3
2
，则点 P的个数为（
）
A．1
B． 2
C．3
D． 4
【答案】 B
3. （ 2011 广东东莞， 31,3 分）将左下图中的箭头缩小到原来的
1 ，得到的图形是（
2
）
【答案】 Ａ
4. （ 2011 浙江省， 6， 3 分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为 6、8，按如图那样
折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE， 则 S△BCE： S△ BDE等于（ ）
A. 2 ： 5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21
【答案】 B
5. （2011 浙江台州， 5,4 分）若两个相似三角形的面积之比为 1:4 ，则它们的周长之比为 （ ）
A. 1:2 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:16
【答案】 A
6. （ 2011 浙江省嘉兴， 7， 4 分）如图，边长为 4 的等边△ ABC中， DE为中位线，则四边形BCED的面积为（ ）
（ A） 2 3
A
（ B） 3 3
（ C） 4 3
（ D） 6 3
D E
B C
（第 7 题）
【答案】 B
7. （ 2011 浙江丽水， 9，3 分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与
环城路垂直 . 如果小明站在南京路与八一街的交叉口， 准备去书店， 按图中的街道行走， 最近的路程约为（ ）
A.600m B.500m C.400m D.300m
400m
八一街
300m
书店
曙
环城路 北南京路
400m
光
路
西安路
【答案】 B
8. （ 2011 台湾台北， 26）图( 十) 为一 ABC，其中 D、E 两点分别在 AB 、 AC 上， 且 AD ＝
31， DB ＝ 29， AE ＝ 30， EC ＝32。若的大小关系，下列何者正确？
A＝50
，则图中 1 、 2 、 3 、 4
A． 1 ＞ 3 B ． 2 ＝ 4 C ． 1 ＞ 4 D ． 2 ＝ 3
【答案】 D
9. （ 2011 甘肃兰州， 13，4 分）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形。
其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 A
10．（ 2011 山东聊城， 11， 3 分）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC的顶点 O在坐标原点，边 OA在 x 轴上， OC在 y 轴上，如果矩形 OA′ B′ C′与矩形 OABC关于点 O位似，且矩
1
形 OA′ B′ C′的面积等于矩形 OABC面积的
，那么点 B′的坐标是（ ）
4
A．（ 3， 2） B．（－ 2，－ 3） C．（ 2， 3）或（－ 2，－ 3） D．（3， 2）或（－ 3，－ 2）
【答案】 D
11. （ 2011 广东汕头， 31,3 分）将左下图中的箭头缩小到原来的 1
2
，得到的图形是（ ）
【答案】 Ａ
12. （ 2011 四川广安， 7， 3 分）下列命题中，正确的是（ ）
A ．过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条
B ．对角线相等的四边形是矩形
C ．两条边及一个角对应相等的两个三角形全等
D．位似图形一定是相似图形
【答案】 D
13. （ 2011 重庆江津， 8 ， 4 分）已知如图 (1) 、 (2) 中各有两个三角形 , 其边长和角的度数已在图上标注 , 图(2) 中 AB、CD交于 O点, 对于各图中的两个的两个三角形而言 , 下列说法正确的 是 ( )
A. 都相似 B. 都不相似 C. 只有A(1) 相似 DD. 只有 (2) 相似
4 3
O
35°
【答案】 A·
75°
(1)
70°
75°
C
第 8 题图
8 6
B
(2)
14. (2011 重庆綦江， 4，4 分) 若相似△ ABC与△ DEF的相似比为 1 ： 3，则△ ABC与△ DEF的面积比为（ ）
A ．1 ： 3 B ． 1 ： 9 C ．3 ： 1 D ． 1 ： 3
【答案】： B
15. （ 2011 山东泰安， 15 ， 3 分）如图，点 F 是□ABCD的边 CD上一点，直线 BF交 AD的延长线于点 E，则下列结论错误．．的是
ED DF
DE EF
BCBF
BF BC
A. = B.
EA AB
= C.
BC FB
= D.
DE BE
= BE AE
【答案】 C
16. （ 2011 山东潍坊， 3，3 分）如图，△ ABC中， BC= 2， DE是它的中位线，下面三个结论：
⑴ DE=1；⑵△ ADE∽△ ABC；⑶△ ADE的面积与△ ABC的面积之比为 1 : 4 。其中正确的有
（ ）
A . 0 个 B.1 个 C . 2 个 D.3 个
【答案】 D
17. （ 2011 湖南怀化， 6， 3 分）如图 3 所示：△ ABC 中， DE∥BC， AD=5， BD=10， AE=3， 则 CE的值为
A.9 B.6 C.3 D.4
【答案】 B
18. （ 2011 江苏无锡， 7， 3 分）如图， 四边形 ABCD的对角线 AC、 BD相交于 O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若 OA∶ OC= OB∶ OD，则下
列结论中一定正确的是 ( )
A．①和②相似
B
．①和③相似
C．①和④相似
D
．②和④相似
A
①
②
B ④ O D
③
（第 7 题） C
【答案】 B
19. （ 2011 广东肇庆， 5， 3 分）如图，已知直线 a∥ b∥ c，直线 m、n 与 a、b、c 分别交于点 A、C、E、B、D、F， AC ＝ 4 ， CE ＝ 6 ， BD ＝ 3 ，则 BF ＝
m n
A B a
C D b
E F c
A． 7 B． 7.5 C． 8 D． 8.5
【答案】 B
20．（ 2011 湖南永州， 12， 3 分）下列说法正确的是（ ） A．等腰梯形的对角 线互相平分． B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． C．线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． D．两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似．
【答案】 C
21. （ 2011 山东东营， 11，3 分）如图，△ ABC中， A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是 (-1 ， 0) ．以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方 作△ ABC的位似图形△ A′ B′C，并把△ ABC 的边长放大到原来的 2 倍．设点 B 的对应点 B′ 的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是（ ）
A． 1 a B． 1 ( a 1)
2
C． 1 (a 1)
2
2
D． 1 (a 3)
2
A y
1
B C
- 1 O 1 x
- 1 B′
A′
第 11 题
【答案】 D
22. （ 2011 重庆市潼南 ,5,4 分）若△ ABC～△ DEF，它们的面积比为 4： 1，则△ ABC 与△ DEF
的相似比为
A．2： 1 B． 1 ： 2 C． 4： 1 D ．1： 4
【答案】 A
23. （ 2011 广东中山， 3,3 分）将左下图中的箭头缩小到原来的 1
2
，得到的图形是（ ）
【答案】 Ａ
24. （ 2011 湖北荆州， 7， 3 分） 如图， P 为线段 AB上一点， AD与 BC交于 E，∠ CPD＝∠ A＝
∠ B， BC交 PD于 F， AD交 PC于 G，则图中相似三角形有
%0.1 对 B． 2 对 C． 3 对 D． 4 对
D
C
E
F
G
A P B
第 7 题图
【答案】 C 25.
26.
二、填空题
1. （ 2011 广东广州市， 14， 3 分）如图 3，以点 O为位似中心，将五边形 ABCDE放大后得到五边形 A′B′C′D′E′ ，已知 OA=10cm， OA′=20cm，则五边形 ABCDE的周长与五边形
A′B′C′D′E′ 的周长的比值是 ．
A′
E′
A
E B′
B
O D D′
C C′
图 3
1
【答案】 2
2. （ 2011 四川重庆， 12，4 分）如图，△ ABC中， DE∥ BC，DE分别交边 AB、AC于 D、E 两点，若 AD： AB＝ 1：3，则△ ADE与△ ABC的面积比为 ．
【答案】 1： 9
3. （ 2011 江苏苏州， 17,3 分）如图，已知△ ABC的面积是 3 的等边三角形，△ ABC∽△ ADE，
AB=2AD，∠ BAD=45°， AC与 DE相交于点 F，则△ AEF的面积等于 （结果保留根号） .
【答案】 3 3
4
4.
5.
6.
三、解答题
1. （ 2011 江西， 25， 10 分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
设∠ BAC= （0°＜ ＜90°） . 现把小棒依次摆放在两射线 AB， AC之 间，并使小棒两端分别落在两射线上 .
活动一：
如图甲所示，从点 A1 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直， A1A2 为
第 1 根小棒 .
数学思考：
（ 1）小棒能无限摆下去吗？答： . （填“能”或“不能”）
（ 2）设 AA1=A1A2=A2A3=1.
① = 度；
②若记小棒 A2n-1 A2n 的长度为 an（ n 为正整数，如 A1A2=a1 ,A 3A4=a2, ）, 求此时 a2，a3 的值，并直接写出 an（用含 n 的式子表示） .
活动二：
如图乙所示， 从点 A1 开始， 用等长的小棒依次向右摆放， 其中 A1A2 为第 1 根小棒， 且 A1A2= AA1.
数学思考：
（ 3）若已经向右摆放了 3 根小棒， 则 1 = ， 2 = ， 3 = ；（用含的式子表示）
（ 4）若只．能．摆放 4 根小棒，求 的范围 .
【答案】
【答案】解： （ 1）能
（ 2）① 22.5 °
②方法一：
∵ AA1=A1A2=A2A3=1， A 1A2⊥ A2A3，∴ A1A3= 2 ， AA3=1+ 2 .
又∵ A2A3⊥ A3A4 ，∴ A1A2∥ A3A4. 同理： A3A4∥ A5A6，∴∠ A=∠ AA2A1=∠ AA4A3=∠ AA6 A5，
∴ AA3=A3A4，AA5=A5A6，∴ a2= A 3A4=AA3=1+ 2 ,a 3=AA3+A3A5=a2+A3A5. ∵A3A5= 2 a2,
2
∴ a3=A5A6 =AA5=a2+ 2 a2=( 2 +1) .
方法二：
∵ AA1=A1A2=A2A3=1， A 1A2⊥ A2A3，∴ A1A3= 2 ， AA3=1+ 2 .
又∵ A2A3⊥ A3A4 ，∴ A1A2∥ A3A4. 同理： A3A4∥ A5A6，∴∠ A=∠ AA2A1=∠ AA4A3=∠ AA6 A5，
∴ a2=A3A4=AA3=1+ 2 , 又∵∠ A2A3A4=∠ A4A5A6=90°，∠ A2A4A3=∠ A4A6A5，∴△ A2A3A4∽△ A4A5A6，∴
1 a2
a 2 a3
，∴ a3=
2
a
2 =(
1
2 +1) 2.
n-1
an=( 2 +1) .
(3) 1
2 ， 2
3 ， 3 4
(4) 由题意得
5 90
6 90
，∴ 15°＜ ≤ 18°.
2. （ 2011 江苏宿迁 ,28,12 分）如图，在 Rt△ ABC中，∠ B＝ 90°， AB＝ 1， BC＝
1 ，以点 C
2
为圆心， CB为半径的弧交 CA于点 D；以点 A为圆心， AD为半径的弧交 AB于点 E．
（ 1）求 AE的长度；
（ 2）分别以点 A、E 为圆心， AB长为半径画弧，两弧交于点 F（F 与 C 在 AB两侧），连接AF、EF，设 EF交弧 DE所在的圆于点 G，连接 AG，试猜想∠ EAG的大小，并说明理由．
F
G
A E B
D
C
（第 28 题）
【答案】
解：（ 1）在 Rt △ABC中，由 AB＝ 1，BC＝
∵ BC＝ CD， AE＝ AD
1 得 AC＝ 12
2
( 1) 2 ＝ 5
2 2
∴ AE＝ AC－ AD＝
5 1 ．
2
（ 2）∠ EAG＝36°，理由如下：
∵ FA＝ FE＝ AB＝ 1，AE＝ 5 1
2
∴ AE ＝ 5 1
FA 2
∴△ FAE是黄金三角形
∴∠ F＝ 36°，∠ AEF＝ 72°
∵ AE＝ AG，FA＝ FE
∴∠ FAE＝∠ FEA＝∠ AGE∴△ AEG∽△ FEA
∴∠ EAG＝∠ F＝ 36°．
3. （ 2011 广东汕头， 21，9 分）如图（ 1），△ ABC与△ EFD为等腰直角三角形， AC与 DE重合， AB=EF=9，∠ BAC＝∠ DEF＝90°，固定△ ABC，将△ EFD绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB边重合时，旋转中止 . 不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE、DF（或它们的延长线）分别 交 BC（或它的延长线）于 G、H 点，如图（ 2） .
（ 2）设 CG＝ x，BH＝ y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据
（ 3）问：当 x 为何值时，△ AGH是等腰三角形？
2 的情况说明理由） ；
【解】（1）△ HGA及△ HAB；
（ 2）由（ 1）可知△ AGC∽△ HAB
∴ CG
AB BH
AC x
，即
9
9
，
y
所以，
y
81
x
（3）当 CG＜
1
2
BC 时，∠ GAC=∠ H＜∠ HAC，∴ AC＜ CH
∵AG＜ AC，∴ AG＜ GH
又 AH＞ AG，AH＞ GH
此时，△ AGH不可能是等腰三角形；
当 CG=
1
2
BC 时， G为 BC的中点， H 与 C 重合，△ AGH是等腰三角形；
此时， GC=
9
2
2 ，即 x= 9
2
2
当 CG＞ 1 BC 时，由（ 1）可知△ AGC∽△ HGA
2
所以，若△ AGH必是等腰三角形，只可能存在 AG=AH
若 AG=AH，则 AC=CG，此时 x=9
综上，当 x=9 或 9 2 时，△ AGH是等腰三角形．
（ 1）问：始终与△ AGC相似的三角形有 及 ；
2
4. （ 2011 湖南怀化， 21，10 分）如图 8，△ ABC,是一张锐角三角形的硬纸片， AD是边 BC上
的高， BC=40cm,AD=30cm从, 这张硬纸片上剪下一个长 HG是宽 HE的 2 倍的矩形 EFGH，使它的
一边 EF在 BC上，顶点 G、H 分别在 AC， AB 上， AD与 HG的交点为 M.
(1) 求证：
AM HG ;
AD BC
(2) 求这个矩形 EFGH的周长 .
【答案】
(1) 解：∵四边形 EFGH为矩形
∴EF∥GH
∴∠ AHG∠= ABC
又∵∠ HAG∠= BAC
∴ △AHG∽△ ABC ∴
AM HG ;
AD BC
（ 2）由（ 1）得
AM HG ; 设 HE=x，则 HG=2x， AM=AD-DM=AD-HE=30-x AD BC
可得 30 x
30
2x ，解得， x=12 ， 2x=24
40
所以矩形 EFGH的周长为 2×（ 12+24） =72cm.
5. （ 2011 上海， 25， 14 分）在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， BC=30， AB=50．点 P是 AB边上任意一点，直线 PE⊥ AB，与边 AC或 BC相交于 E．点 M在线段 AP上，点 N在线段 BP上， EM=EN，
sin ∠ EMP= 12 ．
13
（1） 如图 1，当点 E与点 C重合时，求 CM的长；
（2） 如图 2，当点 E 在边 AC上时，点 E 不与点 A、C 重合，设 AP=x， BN=y，求 y 关于 x
的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3） 若△ AME∽△ ENB（△ AME的顶点 A、 M、E 分别与△ ENB的顶点 E、N、B 对应），求 AP
的长．
2
2
2
图 1 图 2 备用图
2
【答案】（ 1）∵∠ ACB=90°，∴ AC= AB
BC = 50
30 =40．
∵S= 1
2
1
AB CP =
2
AC BC ,
∴CP= AC BC
AB
= 40 30 =24．
50
在 Rt△ CPM中，∵ sin ∠ EMP= 12 ，
13
∴ CP 12 ． CM 13
∴CM= 13CP = 13 24 =26．
12 12
（2）由△ APE∽△ ACB，得 PE AP ，即
PE x ，∴ PE= 3 x ．
BC AC
在 Rt△ MPE中，∵ sin ∠ EMP= 12 ，∴ PE
13 ME
∴EM= 13 PE = 13 3 x = 13 x ．
30 40 4
12
．
13
12 12 4 16
∴PM=PN=
ME 2 PE 2 =
2 2
5
13 x 3 x = x ．
16 4 16
∵AP+PN+NB=50，∴ x+ 5
16
x +y =50 ．
∴y = 21 x
16
50 (0 < x < 32) ．
（3）
第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。本题还可以通过角度之间的关系转换求解，个人认为从角度入手更加简洁直观方法如下：
①当点 E 在线段 AC上时，
△AME∽△ ENB， AM ME
EN NB
．∵EM=EN，∴
EM 2
13
AM NB ．设 AP=x，由（ 2）知 EM= x ，
16
AM= x PM = x
5 x 11 x ， NB= 21 x
50 ．
16 16 16
2
∴ 13 x
11 x (
21 x
50)
16 16 16
解得 x1=22， x2=0（舍去）． 即 AP=22．
② 当点 E在线段 BC上时，
根据外角定理，△ ACE∽△ EPM，∴
AC EP
12 ．∴ CE= 5
50
AC =
．设 AP=x，易得
CE MP 5 12 3
BE= 5 (50
3
x) ，∴ CE=30 5 (50
3
x) ．∴ 30 5 (50
3
x) = 50
3
．解得 x=42．即 AP=42．
∴AP的长为 22 或 42． 6. （ 2011 四川绵阳 25， 14）
已知△ ABC是等腰直角三角形，∠ A=90°， D 是腰 AC上的一个动点 ，过 C作 CE垂直于 BD或BD的延长线，垂足为 E, 如图 1.
(1) 若 BD是 AC的中线，如图 2，求
BD
的值；
CE
BD
(2) 若 BD是∠ ABC的角平分线，如图 3，求 CE的值；
BD BD
(3) 结合（ 1) 、（2) ，请你推断 CE的值的取值范围（直接写出结论，不必证明） ，并探究 CE的值
4
能小于
吗？若能，求出满足条件的 D点的位置；若不能，请说明理由 . 3
A A
E
D E
D
B C B C
A
E
D
B C
【答案】 (1) 设 AD=x,则 AB=2x, 根据勾股定理，可得 BD= 5x, ∵△ ABD∽△ CDE, BD AB ,
CE CD
可得 CE=
2
x, 所以
5
BD 5
2
= CE
（ 2）设 AD=x, 根据角平分线定理，可知 DC= 2x ， AB= 2x+x, 由
勾股定理可知 BD= （ 4+2 2） x 2 △ ABD∽△ CDE，
BD
=2, CE
AB EC
AD DE
1 2 x
2
,
, ∴ EC=
1 2 2
(3) 由前面两步的结论可以看出，
A 之间
BD ≥1, 所以这样的点是存在的， D 在 AC边的五等分点和点
CE
7. （ 2011 湖北武汉市， 24， 10 分）（本题满分 10 分）
（ 1）如图 1，在△ ABC中，点 D，E，Q分别在 AB，AC，BC上，且 DE∥ BC，AQ交 DE于点 P．求
证： DP
BQ
PE ．
QC
（ 2） 如图，在△ ABC中，∠ BAC=90°，正方形 DEFG的四个顶点在△ ABC的边上，连接 AG， AF分别交 DE于 M， N两点．
①如图 2，若 AB=AC1=，直接写出 MN的长；
2
②如图 3，求证 MN=DM·EN．
【答案】（ 1）证明：在△ ABQ中，由于 DP∥BQ，
∴△ ADP∽△ ABQ，
∴ DP/BQ＝ AP/AQ．
同理在△ ACQ中， EP/CQ＝AP/AQ．
∴ DP/BQ＝ EP/CQ．
（ 2） 2 ．
9
（ 3） 证明：∵∠ B＋∠ C=90°，∠ CEF＋∠ C=90°．
∴∠ B=∠ CEF，
又∵∠ BGD=∠ EFC，
∴△ BGD∽△ EFC．
∴ DG/CF＝ BG/EF，
∴ DG·EF＝ CF· BG
2
又∵ DG＝GF＝EF，∴ GF＝CF·BG
由（ 1）得 DM/BG＝MN/GF＝EN/CF∴（ MN/GF） 2＝ ( DM/BG) ·(EN/CF)
2
∴ MN＝ DM·EN
8. （ 2011 河北， 20， 8 分）如图 10，在 6× 8 网格图中，每个小正方形边长均为 1，点 O 和
△ ABC的顶点均在小正方形的顶点 .
（ 1）以 O为位似中心，在网格图中作△ A′ B′ C′和△ ABC位似，且位似比为 1︰2；
（ 2）连接（ 1）中的 AA′, 求四边形 AA′ C′C 的周长 . （结果保留根号）
A
B C
【答案】（ 1）如下图 .
A
A'
B B' C ' C
（ 2）四边形 AA′C′ C 的周长 =4+6 2
2011 中考模拟分类汇编：相似形
一、选择 题
1、（ 2011 年北京四中模拟 26）在比例尺 1： 6000000 的地图上，量得南京到北京的距离是 15
㎝，这两地的实际距离是 （ ）
A ． 0.9 ㎞ B. 9 ㎞ C.90 ㎞ D.900 ㎞
答案： D
2、（ 2011 杭州模拟 26）如图所示，平地上一棵树高为 6 米，两次观察地面上的影子， ?第一次是当阳光与地面成 60°时，第二次是阳光与地面成 30°时，第二次观察到的影子比第一次 长 ( )
A. 6 3 3 B. 4 3 C. 6 3 D. 3 2 3
答案： B
3．（ 2011 年杭州三月月考） ．如图， 在 Rt△ ABC 中，
ACB
90°，BC
3，AC
4，AB 的
垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于点 E ，则 CE 的长为（ ） A
(A) 3 2
(B) 7
6
(C) 25
6
(D)2
D
答案： B
B C E
4．（ 2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）如图，在△ ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，
则下列结论：① BC=2D；E ②△ ADE∽△ ABC；③ AD AB
AE AC
；其中正确的有 （ ） A
A、3 个 B 、2 个 C 、1 个 D 、0 个 D E
答案： A
B C
(第 4 题)
5. （安徽芜湖 2011 模拟）如图，在等边△ ABC 中， D 为 BC边上一点， E 为 AC边上一点，且
∠ADE=60°， BD=3， CE=2，则△ ABC的边长为 （ ）
A．9 B ． 12 C ． 15 D ．18
答案: A
6. （ 2011 深圳市三模） 为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高 2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案 . 小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体
雕像的设计中。如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体
雕像下部的设计高度 ( 精确到 0.01m，参考数据： 错误！未找到引用源。 ≈ 1.414 ， 错误！未找到引用源。 ≈ 1.732 ， 错误！未找到引 用源。 ≈2.236) 是（ ）
A.0.62m B.0.76m C.1.24m D.1.62m
答案： C
7、（ 2011杭州模拟 20） 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）
第 7 题 （A ）． （ B）． （ C）． （ D）．答案： B
用心 爱心 专心 16
8、（ 2011 年黄冈浠水模拟 1） 如图， AB//CD， AE//FD， AE、FD 分别交 BC 于点 G、H，则图中共有相似三角形（ ） .
A.4 对 B.5 对 C. 6 对 D.7 对
答案： C
9. （ 2011 年海宁市盐官片一模）视力表对我们来说并不陌生．如图是
视力表的一部分，其中开口向上的两个“ E”之间的变换是（ ）
A．平移 B．旋转 C．对称 D．相似答案： D
10. （ 2011 年浙江杭州三模）
（ ）
答案： C
二、填空题
标准对数视力表
0.1 4.0
0.12 4.1
0.15 4.2
第 10 题图
A
1．（ 2011 年杭州市上城区一模）将三角形纸片（△ ABC）按如
E B′
图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC上，记为点 B′，
折痕为 EF．已知 AB＝AC＝ 6， BC＝ 8，若以点 B′， F， C
为 顶 点 的 三 角 形 与 △ ABC 相 似 ， 那 么 BF 的 长 度 B F C
是 ． （第 1 题）
答案： 4 ， 24
7
2、（北京四中模拟）如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， AD AC ．
2 ， AE
3 ， BD
4 ，则
答案： 9
3. （2011 年浙江杭州二模）如图，光源 P 在横杆 AB的正上方， P
AB在灯光下的影子为 CD， AB
/ /CD , AB
2, CD
6m ， A B
点 P 到 CD的距离是 2.7m，则 AB与 CD间的距离是 m。 C D
答案： 1.8
4．（ 2011 杭州上城区一模） 将三角形纸片（△ ABC）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边
AC上，记为点 B′，折痕为 EF．已知 AB＝ AC＝ 6， BC＝ 8，若以点 B′， F， C为顶点的三角形
与△ ABC相似，那么 BF的长度是 ．
24
答案： 4 ，
7
A
E B′
B F C
（第 4 题）
5、（ 2011 年北京四中 34 模）已知三个边长分别为 2、3、5 的正三角形从左到右如图排列，则
图中阴影部分面积为
答案： 3
8
6（ 2011 深圳市中考模拟五） . 如果一个三角形的三边长为 5、12、13，与其相似的三角形的
最长的边为 39，那么较大的三角形的周长 ，面积 ． 答案 : 90 ， 270
7. （浙江杭州金山学校 2011 模拟） （浙江杭州金山学校 2011 模拟）（原创） 2 3 与 2 3
的比例中项是 ▲ .
答案： ± 1
8. （浙江杭州进化 2011 一模）已知
a : b
3: 2 ，且 a b
10 ，则 b= .
答案： 4
三、解答题
1、（ 2011 年北京四中模拟 26）
已知：如图， D 是 AC上一点， BE∥AC， BE=AD， AE分别交 BD、BC于点 F、G，∠ 1=∠ 2。
（ 2）探索线段 BF、FG、EF 之间的关系，并说明理由。
答案：解： （ 2） BF
2
FG EF . 理由：
1
E, 1
2,
2
E 。
又
GFB
BFE ,
BFG ∽
EFB.
BF
EF
FG 2
，即 BF
BF
FG EF 。
2、 (2011 年浙江省杭州市中考数学模拟 22) （本小题满分 6 分）
如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，过点
连结 AC 。
O 作弦 BC 的平行线，交过点
A的切线 AP 于点 P ，
（ 1）求证： △ ABC ∽△ POA；
（ 2）若 OB
2 ， OP
7
，求 BC 的长．
2
答案：
（第 2 题）
（ 1）证明：∵ AP⊙O切于 A，AB 是⊙ O直径∴∠ OAP=∠ C
2
分
∵ PO∥ BC∴∠ AOP=∠B 1 分
∴ △ ABC ∽△ POA； 1 分
（ 2）∵ △ ABC ∽△ POA
AB
PO
OB
2, OP
7
, BC
2
BC
OA 16
7
1 分
1 分
3、（ 2011 杭州模拟）如图，已知等边三角形△ AEC，以 AC为对角线做正方形 ABCD（点 B 在△ AEC内，点 D 在△ AEC外）。连结 EB，过 E 作 EF⊥ AB，交 AB的延长线为 F。
（ 1）猜测直线 BE和直线 AC的位置关系，并证明你的猜想。
（ 2）证明：△ BEF∽△ ABC，并求出相似比。
解： (1) 猜测 BE和直线 AC垂直 1 分
证明△ AEB≌△ CEB(SSS) 2 分
说明 EB 是∠ AEC的平分线，再利用等腰△三线合一即可 2 分
（ 2）证明∠ EBF=45°即可证明△ BEF∽△ 2 分延长 EB交 AC于 G，设 AC为 2a，则 BG=a， EB= 3a ,
EB 3a a 3 1
所以 相似比： 3 分
AC 2a 2
4．（ 2011 年杭州三月月考） 如图 , 已知在等腰△ ABC中, ∠ A=∠ B=30° , 过点 C作 CD⊥ AC交 AB
于点 D.
(1) 尺规作图：过 A，D， C三点作⊙ O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法） ；
(2) 求证： BC是过 A，D， C三点的圆的切线；
(3) 若过 A， D， C 三点的圆的半径为 3 , 则线段 BC上是否存在一点 P，使得以 P， D，B
为顶点的三角形与△ BCO相似 . 若存在，求出 DP的长；若不存在，请说明理由 .
C
答案：
解：（ 1）作出圆心 O， A
以点 O为圆心， OA长为半径作圆 .
（ 2）证明：∵ CD⊥ AC, ∴∠ ACD=90°.
∴AD是⊙ O的直径
连结 OC，∵∠ A=∠ B=30°,
∴∠ ACB=120°, 又∵ OA=OC, A
∴∠ ACO=∠ A =30°,
∴ ∠ BCO= ∠ ACB- ∠ ACO
=120° - 30°=90°.
∴BC⊥ OC,
B
C
P 2
P 1
O D B
∴BC是⊙ O的切 线.
（ 3）存在 .
∵∠ BCD=∠ ACB- ∠ ACD=120° -9 0°=30°,
∴∠ BCD=∠ B, 即 DB=DC.
又∵在 Rt △ACD中， DC=ADsin 30 3 , ∴ BD= 3 .
解法一：①过点 D作 DP1// OC，则△ P1D B∽△ COB,
P1 D CO
BD ，
BO
∵ BO=BD+OD= 2 3 ,
∴P1 D=
BD × OC= 3 × 3 = 3 .
BO 3 2
②过点 D作 DP⊥ AB, 则△ BDP∽△ BCO, ∴
P2 D
BD ，
∵BC＝
2 2
BO2 CO 2 3,
OC BC
∴ P2 D
BD OC 3
BC 3
3 1 .
解法二：①当△ B P1D∽△ BCO时，∠ DP1B=∠OCB=90°.
在 Rt △ B P1D中，
DP1 = BD
sin 30 3 .
2
②当△ B D P2∽△ BCO时，∠ P2DB=∠ OCB=90°.
在 Rt △ B P2D中，
DP2= BD tan 30 1 .
5 ．（ 2011 年 杭 州 三 月 月 考 ） 已 知 一 个 直 角 三 角 形 纸 片 OAB ， 其 中
AOB
90°，OA
2， OB
4 ．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，
折痕与边 OB 交于点 C ，与边 AB 交于点 D ．
（ 1）若折叠后使点 B 与点 A重合，求点 C 的坐标；
（ 2）若折叠后点 B 落在边 OA上的点为 B ，设 OB x ， OC y ，试写出 y 关于 x 的函
数解析式，并确定 y 的取值范围；
（ 3）若折叠后点 B 落在边 OA上的点为 B ，且使 B D ∥ OB ，求此时点 C 的坐标．
y y y
B B B
x x x
O A O A O A
答案：
解（ 1）如图①，折叠后点 B 与点 A 重合， 则 △ACD ≌△ BCD .
设点 C 的坐标为 0，m m 0 .
则 BC OB OC 4 m.
于是 AC BC 4 m .
在 Rt△ AOC 中，由勾股定理，得
AC 2
OC 2
OA2 ，
2
即 4 m
m2 22 ，解得 m 3 .
2
3
点 C 的坐标为 0，
2
（ 2）如图②，折叠后点 B 落在 OA边上的点为 B ,
则 △B CD ≌△ BCD .
由题设 OB x， OC y ，
则 B C BC OB OC 4 y ，
在 Rt△ B OC 中，由勾股定理，得
B C 2
OC 2
OB 2 .
2
2
4 y y
即 y 1 x2 2
8
x2 ，
由点 B 在边 OA上，有 0 ≤ x ≤ 2 ，
解析式
y 1 x2
8
2 0 ≤
x≤ 2
为所求 .
当 0 ≤ x≤ 2 时， y 随 x 的增大而减小，
y 的取值范围为 3 ≤
2
y≤ 2 .
（ 3）如图③，折叠后点 B 落在 OA边上的点为 B ，且 B D ∥OB .
则 OCB CB D .
又 CBD CB D，
OCB CBD
，有 CB
∥ BA.
Rt△COB ∽ Rt△ BOA .
有 OB OC ，得 OC OA OB
2OB .
在 Rt△ B OC 中，
设 OB x0 x
0 ，则 OC
2 x0 .
由（ 2）的结论，得
2x0
1 x2 2 ，
0
8
解得 x0
8 4 5． x0
0， x0
8 4 5 .
点 C 的坐标为 0，8 5 16 .
y y y
B B B
D D D
C C C
O A x O B′ x
图① 图②
x
O B′
图③
6．（ 2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）已知线段 OA⊥ OB， C 为 OB上中点， D 为 AO上一点， 连 AC、BD交于 P点．
（ 1）如图 1，当 OA=OB且 D 为 AO中点时，求
AP 的值；
PC
（ 2）如图 2，当 OA=OB，
AD = 1 时，求 tan ∠ BPC；
AO 4
A
A
D P
P D
答案：
B C O
图 1
B C O
1 1 图 2
（ 1）过 C 作 CE∥OA交 BD于 E，则△ BCE∽△ BOD得 CE=
2
OD=
2
AD；
再由△ ECP∽△ DAP得 AP
PC
AD 2 ； CE
（ 2）过 C 作 CE∥OA交 BD于 E，设 AD=x， AO=OB=4，x 则 OD=3x，
由△ BCE∽△ BOD得
CE= 1
2
3
OD= x，
2
再由△ ECP∽△ DAP得 PD AD 2 ；
PE CE 3
由勾股定理可知 BD=5x，
5 PD 2
DE= x，则 ，可得 PD=AD=，x
2 DE PD 3
CO 1
则∠ BPC=∠ DPA=∠ A， tan ∠BPC=tan∠ A= 。
AO 2
7. （浙江杭州靖江 2011 模拟） ( 本小题满分 6 分)
如图，△ ABC中， AB＝ AC，∠ BAC＝ 108°
（ 1）只用直尺和圆规作图，首先在 BC上截取 BD＝AB，再作 BD的中垂线，交 AB 于E，连结 AD， DE。
（ 2）与△ BDE相似的三角形有 。（直接写出答案） （原创）
A
B C
答案：（ 1）图如下，作出弧 AD得 1 分，作出 BD的中垂线得 2 分，连结 AD， DE得 1 分。
A
E
B D C
（2）△ ADC和△ ABC 2 分
8. 已知
a, b, c 均不为 0，且 a 2b
5
3b c
3
2c a ，求 c 7 2b
2b 的值。（原创）
3a
答案：解：设
a 2b
5
3b c
3
2c a
7
＝k，则 .............................1 分
a 2b 5k
3b c 3k
①
② .....................................1 分
2c a 7k ③
由 ① +③得， 2b+2c=12k, ∴ b+c=6k ④ 1 分
由②＋④，得 4b=9k, ∴ b= 9
4
k ，分别代入①，④得， a= 1 k
2
,c=
15 k 2 分
4
∴ c 2b
2b 3a
15 k 9 k 3 k
4 2 4 1 1 分
9 k 3 k 6k 8
2 2
9．（安徽芜湖 2011 模拟）（本题满分 10 分）如图， 在△ ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙O 交 AC与 E，交 BC与 D．求证：
（ 1） D是 BC的中点；
（2） △ BEC∽△ ADC；
2
（3） BC=2AB·CE．答案 :
（ 1）证明：∵ AB 是⊙O的直径，∴∠ ADB=90° ，
即 AD是底边 BC上的高． 1 分
又∵ AB=AC，∴△ ABC 是等腰三角形，
∴D是 BC的中点； 3 分
(2) 证明：∵∠ CBE与∠ CAD是同弧所对的圆周角，
∴ ∠ CBE=∠ CAD． 5 分
又∵ ∠BCE=∠ACD，
∴△ BEC∽△ ADC； 6 分
CD CE
（ 3）证明：由△ BEC∽△ ADC，知 ，
AC BC
即 CD· BC=AC· CE． 8 分
∵D是 BC的中点，∴
1
CD=
2
BC．
又 ∵AB=AC，∴ CD· BC=AC·
1
CE= BC
2
· BC=AB· CE
即 BC2 =2AB· CE． 10 分
10. （安徽芜湖 2011 模拟）（本题满分 12 分）
如图，方格纸中每个小正方形的边长为 1，△ ABC和△ DEF
的顶点都在方格纸的格点上．
(1) 判断△ ABC和△ DEF是否相似，并说明理由；
(2) P1， P2， P3，P4， P5， D， F 是△ DEF边上的 7 个格点，请在这 7 个格点中选取 3 个点作为三角形的顶点， 使构成的三角形与△ ABC相似 ( 要求写出 2 个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由 ) ．
B D
P1 P5
A P2 F
P3
P4
C E
答案 : 解： (1) △ ABC和△ DEF相似． 1 分
根据勾股定理，得
AB 2 5 ， AC
5 ， BC=5 ；
DE 4 2 ， DF
2 2 ， EF
2 10 ．
∵ AB AC BC DE DF EF
5
， 5 分
2 2
∴ △ABC∽△ DEF． 6 分
(2) 答案不唯一，下面 6 个三角形中的任意 2 个均可．
B D
P1 P5
A P2 F
P3
P4
C E
(第 23 题)
△P2P5D，△ P4P5F，△ P2P4D，
△ P4P5D，△ P2P4 P 5，△ P1FD． 12 分
11.（河南新乡 2011 模拟）（ 10 分） 如图， 梯形 ABCD中， AB∥ CD
与 AB 的延长线交于点 G．
，点 F 在 BC 上，连 DF
（ 1）求证：
△CDF
∽△ BGF ；
（ 2）当点 F 是 BC的中点时，过 F 作 EF ∥ CD
求 CD 的长．
交 AD 于点 E ，若 AB
E
6cm， EF
D C
F
4cm ，
答案：
（ 1）证明：∵梯形 ABCD ， AB∥CD ，
A B G
∴ CDF FGB，
DCF GBF
， . 2 分 D C
∴ △CDF ∽△ BGF ． . 4 分 E F
（ 2） 由（ 1） △CDF
∽△ BGF ，
A B G
又 F 是 BC 的中点， BF FC
∴ △CDF ≌△ BGF ，
∴ DF FG，CD BG
. 7 分
又∵ EF ∥ CD ， AB∥ CD ，
∴ EF ∥ AG ，得 2EF BG AB BG ．
∴ BG
2EF AB
2 4 6 2 ，
∴ CD BG
2cm ． 10 分
12. （浙江杭州金山学校 2011 模拟）（ 14 分）（根据历城市 2011 年中考第一次模拟考试数学试卷改编）
已知：直角梯形 OABC中， BC∥OA，∠ AOC=9°0 AD、BD、BE。
，以 AB 为直径的圆 M交 OC于 D． E，连结
(1) 在．不．添．加．其．他．字．母． 和．线．的．前．提．下． ，直．接．写出图 1 中的两对相似三角形。
， 。
(2) 直角梯形 OABC中，以 O为坐标原点， A 在 x 轴正半轴上建立直角坐标系（如图 2），若
抛物线
y ax 2 2ax
3a (a
0) 经过点 A． B． D，且 B 为抛物 线的顶点。
①写出顶点 B的坐标（用 a 的代数式表示） 。
②求抛物线的解析式。
③在 x 轴下方的抛物线上是否存在这样的点 P：过点 P 做 PN⊥x 轴于 N，使得△ PAN 与△ OAD
相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。
答案：（1）△ OAD∽△ CDB. △ADB∽△ ECB 4 分
（ 2）①（ 1，－ 4a） 1 分
②∵△ OAD∽△ CDB
图 2
∴ DC CB 1 分
OA OD
2
∵ ax － 2ax－ 3a=0，可得 A（ 3， 0） 2 分
又 OC=－4a， OD=－3a， CD=－ a， CB=1，
∴ 1 a
∴ a2 1
∵ a 0
∴ a 1
3a 3
故抛物线的解析式为： y
x 2 2x 3 2 分
③存在，设 P（ x，－ x
2+2x+3）
∵△ PAN与△ OAD相似，且△ OAD为等腰三角形
∴ PN=AN
当 x<0（ x<－1）时，－ x+3=－ ( － x
2+2x+3) ， x =－ 2，x =3( 舍去 ) ，
1 2
∴ P（－ 2，－ 5） 2 分
2
当 x>0（ x>3 ）时， x－3= － ( －x +2x+3) ， x 1=0， x 2=3( 都不合题意舍去 ) 1 分
符合条件的点 P 为（－ 2，－ 5） 1 分
13. （浙江杭州进化 2011 一模） ( 本小题满分 8 分)
已知：如图，在△ ABC 中， AB=AC，DE∥BC，点 F 在边 AC 上， DF 与 BE 相交于点 G，且
∠EDF=∠ABE． A
求证：（ 1）△ DEF∽△ BDE；
（ 2） DG DF
DB EF ．
D E
G F
答案： ( 本小题满分 8 分)
B C
证明：（1）∵ AB=AC，∴∠ ABC=∠ ACB． 1 分
∵ DE∥BC，∴∠ ABC+∠ BDE=180°，∠ ACB+∠CED=180°．
∴∠ BDE=∠ CED． 1 分
∵∠ EDF=∠ABE，∴△ DEF∽△ BDE． 1 分
（2）由△ DEF∽△ BDE，得 DB
DE
DE ．
EF A
∴ DE 2
DB EF
． 1 分
由△ DEF∽△ BDE，得∠ BED=∠ DFE． D E
∵∠ GDE=∠ EDF，∴△ GDE∽△ EDF． 1 分
G F
∴ ． 1 分
∴ DE 2
DG DF
． 1 分 B C
∴ DG DF
DB EF
． 1 分
14. （2011 年杭州市模拟）（本题 6 分）如图， ABC 是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与 ABC 相似，并填空：
A1B1
（ 1）在图甲中画 A1B1C1 ，使得 A1 B1C1 的周．长．是 ABC 的周长的 2 倍，则 AB = ；
（ 2）在图乙中画
A2 B2C2 ，使得
A2B2C 2 的面．积．是 ABC 的面积的 2 倍， 则
A2 B2 = ；
AB
A A
B C B C
图甲 图乙
答案：（1） 2 ； （ 2） 2
( 每个填空题正确得 1 分，每个图形画正确得 2 分)
15．（ 2011 年海宁市盐官片一模）如图，在正方形
ABCD 中， E、F 分别是边 AD、CD
点， AE
ED，DF
1 DC，连结 EF 并延长交
4
BC 的延长线于点 G．
（ 1）求证： △ABE ∽△ DEF ；
A
E
D
（ 2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长．
F
B
C
答案：⑴在正方形 ABCD中， A
D
90
AB=AD=CD
∵ AE=ED , DF= DC
4
∴ AE=ED= AB , DF=
2
1
1
1 AB
4
∴ AB AE
DE DF
∴ △ ABE∽△ DEF
（ 2）
AB
BE
4 , AE
42
2
22
2 5
上的
G
∴ ABE AEB
∴ BEG
DEF ABE 90
AEB
DEF 90
由 AD∥BG 得
AEB
EBG
∴ ABE ∽ EGB
∴ AE
BE
BE BG
BE 2
∴ BG 10
AE
16．（ 2011 年海宁市盐官片一模） 如图，在梯形 ABCD中，AB∥ CD，AB＝7，CD＝ 1，AD＝ BC＝5．点 M， N 分别在边 AD， BC上运动，并保持 MN∥ AB， ME⊥ AB， NF⊥ AB，垂足分别为 E，F．
（1） 求梯形 ABCD的面积； D C
（2） 求四边形 MEFN面积的最大值． M N
（3） 试判断四边形 MEFN能否为正方形，若能，求出正方
形 MEFN的面积；若不能，请说明理由． A E F B
答案：⑴过 C 作 CG⊥ AB 于 G
∵ AB=7,CD=1 ∴
7 1
BG= 3
2
由 BC=5 ∴ CG=
52 32 =4
1
S 梯形ABCD =
2
4 1 7 16
⑵∵ MN∥ AB, 且 ME⊥ AB,NF⊥ AB
∴四边形 EFNM为矩形
设 BF 为 x，四边形 MEFN的面积只为 y
∵ NF∥CG, ∴ BFN∽ BGC
BF NF NF
即
BG CG 4
x 4
∴ NF= x
3 3
EF\7-2x
∴ y= 4 x （ 7-2x ）
3
当 x= 7 时，四边形 MEFN的最大值为 49
4 6
⑶当 4 x =7-2x 时，即 x= 21 ， MEFN为正方形
3
此时正方形边长为
10
4 21 14
3 10 5
正方形面积为
196
25
17、（ 2011 年浙江杭州 27 模）如图，△ ABC中， AB＝ AC，∠ BAC＝ 108°
（ 1）只用直尺和圆规作图，首先在 BC上截取 BD＝ AB，再作 BD的中垂线，交 AB 于 E，连结AD， DE。
（ 2）与△ BDE相似的三角形有 。（直接写出答案）
A
B C
答 案 ：（ 1 ） 图 如 下 ， 作 出 弧 AD ， 作 出 BD 的 中 垂 线 ， 连 结 AD ， DE 。
A
E
B D C
（ 2）△ ADC和△ ABC
一、选择题
1. （ 2010 年中考模拟）如图，在斜坡的顶部有一铁塔 AB，B 是 CD的中点， CD是水平的，在阳光的照射下，塔影 DE留在坡面上．已知铁塔底座宽 CD=12 m，塔影长 DE=18 m，小
用心 爱心 专心 32
明和小华的身高都是 1.6m ，同一时刻，小明站在点 E 处，影子在坡面上，小华站在平地上， 影子也在平地上，两人的影长分别为 2m和 1m，那么塔高 AB为（ ）
A． 24m B ． 22m C ． 20 m D ． 18 m
答案： A
答案： A
3. （ 2010 年中考模拟 2） 如果一个直角三角形的两条边长分别是
6 和 8，另一个与它相似的
直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（
）
A. 只有 1 个
B.
可以有 2 个
C.有 2 个以上，但有限
D.
有无数个
答案： B
4. （ 2010 年教育联合体）在直角坐标系中，已知
O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3)
，D 为 x 轴上
一点．若以 D、 O、C 为顶点的三角形与△ AOB 相似，这样的 D 点有（
）
A．2 个
B
． 3 个
C
． 4 个
D
． 5 个
答案： C
5. （ 2010年北京市朝阳区模拟）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（
）
2. （ 2010 年北京市中考模拟）如图， C 为⊙ O直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交⊙ O于 D、E 两点， 且∠ ACD=45°， DF⊥ AB于点 F,EG⊥ AB 于点 G, 当点 C 在 AB上运动时，设 AF=x ， DE= y ，下列中图象中，能表示 y 与 x 的函数关系式的图象大致是（ ）
（第 5 题） A ． B ． C． D． 答案： B
用心 爱心 专心 33
6.（ 2010 年北京市朝阳区模拟） 如图，在 Rt△ ABC 中， AB AC ， D、E 是斜边 BC上两点，且∠ DAE=45°，将△ ADC 绕点 A 顺时针旋转 90 后，得到△ AFB，连接 EF ，下列结论：
①△ AED ≌△ AEF ； ②△ ABE∽△ ACD ；
③ BE DC DE ； ④ BE 2
DC 2
DE 2
其中一定正确的是
A．②④ B ．①③
C．②③ D．①④
答案： D
7. （ 2010 年山东新泰）在直角坐标系中，已知 O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3) ，D 为 x 轴上一点．若以 D、O、C 为顶点的三角形与△ AOB 相似，这样的 D 点有（ ）
A． 2 个 B ．3 个 C ． 4 个 D ． 5 个
答案： C
8. （ 2010 年浙江杭州）四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图．则在字母“ L”、“ K”、“ C”的投影中，与字母“ N”属同一种投影的有（ ）
A．“ L”、“ K” B ．“ C” C ．“ K” D ．“ L”、“ K”、“ C”
答案： A
二、填空题
1. （ 2010 年广州市中考六模） 、 P 为线段 AB=8cm的黄金分割点，则 AP= cm.
答案： 4 5 4或12 4 5
2. （ 2010 年浙江永嘉）如图，点 M是△ ABC内一点，过点 M分别作直线平行于△ ABC的各边，所形成的三个小三角形△ 1、△ 2、△ 3（图
用心 爱心 专心 34
中阴影部分）的面积分别是 4， 9 和 49．则△ ABC的面积是 ． 答案： 144
三、解答题
1. （ 2010 年中考模拟 2）如图是一个几何体的三视图 .
（ 1）写出这个几何体的名称；
（ 2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；
（ 3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点 B 出发， 沿表面爬到 AC的中点 D，请你求出这个线路的最短路程 . 答案：
（1） 圆锥；
（2） 表面积
S=S扇形 S圆
rl r 2 12 4
16 （平方厘米）
（3） 如图将圆锥侧面展开，线段 BD为所求的最短路程 .
由条件得，∠ BAB′=120°， C为弧 BB′中点，所以 BD= 3 3
2. （ 2010 年长沙市中考模拟） 在 Rt△ ABC 中，
ACB
90°， D 是 AB 边上一点， 以 BD 为
直径的 ⊙O 与边 AC 相切于点 E ，连结 DE 并延长，与 BC 的延长线交于点 F ． A
D
（ 1）求证： BD BF ；
（ 2）若 BC
6，AD
4 ，求 ⊙O 的面积． O E
答案：（1）证明：连结 OE 。 AC 切⊙O于 E ， OE ⊥
AC ，
B C F
又 ACB
90°，即 BC ⊥
AC ， OE ∥ BC ，
（ 2）设
OED F 。又 OD OE ， ODE OED ，
ODE F ， BD BF 。
⊙O 半径为 r ，由 OE ∥ BC 得△ AOE ∽△ ABC ．
AO OE r 4
，即
r ， r 2 r
12 0 ，
AB BC 2r 4 6
解之得 r
4， r
3 （舍）。 S
πr 2
16π
1 2 ⊙O
3. （ 2010 年教育联合体）如图，点 P 是菱形 ABCD的对角线 BD 上一点，连结 CP 并延长，交
用心 爱心 专心 35
AD于 E，交 BA的延长线点 F．问：
(1) 图中△ APD 与哪个三角形全等？并说明理由．
(2) 求证：△ APE ∽△ FPA．
(3) 猜想：线段 PC、PE、PF 之间存在什么关系？并说明理由．
(1) △APD≌△ CPD
理由： ∵四边形 ABCD菱形
∴AD=CD,∠ADP=∠CDP又∵ PD=PD
∴△ APD≌△ CPD
(2) 证明：∵△ APD≌△ CPD ∴∠ DAP=∠DCP
∵CD∥BF ∴∠ DCP=∠F ∴∠ DAP=∠F又∵∠ APE=∠FPA ∴△ APE ∽△ FPA
(3) 猜想：
PC 2
PE ? PF
理由: ∵△ APE ∽△ FPA
AP PE
∴
FP PA
∴ PA2
PE ? PF
∵△ APD≌△ CPD
∴PA=PC ∴ PC 2
PE ? PF
4. （ 2010 年安徽省模拟）如图， G是边长为 4 的正方形 ABCD的边 BC上的一点，矩形 DEFG的
边 EF 过 A,GD=5.
E
（ 1）指出图中所有的相似三角形；
（ 2）求 FG的长 .
A D
（ 1）△ AFH, △DCG, △ DEA均是相似三角形
0
（ 2）由∠ E=∠ C=90 , ∠ EDA与∠ CDG均 F
为∠ ADG的余角，的△ DEA∽△ DCG H
∴ ED AD ,
CD GD
向 ED=FG, ∴
FG AD ,
CD GD
B G C
由已知 GD=5,AD=CD=4, ∴ FG
4 , 即
16
FG=
4 5 5
5. （ 2010 年重庆市綦江中学模拟 1）已知△ ABC 的三个顶点坐标如下表：
（ 1）将下表补充完整，并在直角坐标系中，画出
A B C ；
用心 爱心 专心 36
（ 2）观察△ ABC 与△
A B C
，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论 .
（ x ， y ） （ 2x ， 2 y ）
解: （ 1）
（ x ， y ）
A（ 2，1）
第
A
5 题图
（ 2x ， 2 y ）
（ 4 ， 2 ）
B（ 4，3）
B
（ 8 ， 6 ）
C（ 5，1）
C
（ 10 ， 2）
A （ 2， 1）
A
（
4
，2
）
B （ 4， 3）
B
（
，
）
C （ 5， 1）
C
（
，
）
(2) 如△ ABC∽△
A B C
、周长比、相似比、位似比等均可．
第 5 题答案图
6. （ 2010 年浙江杭州） 提出问题： 如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（
AB BC ，且
BC AC ），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力， 小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分
（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样） ．
背景介绍： 这条分割直．线．即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角 形的“等分积周线” ．
尝试解决：
（ 1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出 . 请你帮小明在图 1 中画出这条“等分积周线” ，从而平分蛋糕．
A A
B 用心C
爱心 专B心
C 37
图 1 图 2
（ 2） 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图 1 中过点 C画了一条直线 CD 交 AB
于点 D．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．
（ 3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若 AB＝ BC＝ 5 cm，
AC＝ 6 cm，请你找出△ ABC的所有“等分积周线” ，并简要的说明确定的方法． 解： (1) 作线段 AC的中垂线 BD即可.
(2) 小华不会成功．
若直线 CD平分△ ABC的面积
那么 S ADC S
DBC A
E
∴ 1 AD ? CE 2
1 BD ? CE D
2
∴ BD
∵ AC
∴ AD
AD
B C
BC
AC BD BC
∴ 小华不会成功．
（ 3）① 若直线经过顶点，则 AC边上的中垂线即为所求线段．
② 若直线不过顶点，可分以下三种情况：
（ a）直线与 BC、AC分别交于 E、F，如图所示 A
过点 E 作 EH⊥ AC于点 H，过点 B 作 BG⊥AC于点 G F G
易求， BG=4， AG=CG=3 E H
B C
设 CF=x，则 CE=8-x
由△ CEH∽△ CBG，可得 EH=4 (8 x)
5
根据面积相等，可得 1 ? x ? 4 (8 x) 6
2 5
∴ x 3（舍去，即为①）或 x 5
∴ CF=5 ， CE=3，直线 EF即为所求直线．
A
（b）直线与 AB、AC分别交于 M、N, 如图所示
M
由 (a) 可得， AM=3， AN=5，直线 MN即为所求直线． N
B C
（仿照上面给分）
(c) 直线与 AB、BC分别交于 P、Q，如图所示
过点 A 作 AY⊥ BC于点 Y，过点 P 作 PX⊥BC于点 X
24 A
由面积法可得， AY=
5
设 BP=x，则 BQ=8-x
24
P
B X Q Y C
由相似，可得 PX= x
25
1 24
根据面积相等，可得 ?
2 25
x ?(8 x) 6
∴ x 8 14
2
5 （舍去）或 x
8 14
2
8 14 8 14
而当 BP
时， BQ= 5 ，舍去． 2 2
∴ 此种情况不存在．
综上所述，符合条件的直线共有三条．
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