人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列同步达标检测题

4.3等比数列检测题（基础巩固篇）

一、单选题

1．已知等比数列的公比为，若为递增数列且，则（　　）

A． B．

C． D．

2．下列数列一定是等比数列的是（    ）

A．数列1，2，6，18，…

B．数列中，，

C．常数列，，…，，…

D．数列中，

3．在等比数列中，若，，则的值为（    ）

A． B．64 C． D．48

4．已知是等比数列，若，，数列的前项和为，则为（    ）

A． B．

C． D．

5．已知等比数列的公比为正数，若，则（    ）

A． B． C． D．

6．等比数列{an}的公比a1＝，则数列{an}是（     ）

A．递增数列 B．递减数列 C．常数数列 D．摆动数列

7．已知等比数列中，若，，则等于（    ）

A． B． C． D．

8．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（多选）等比数列中，，，则与的等比中项可能是（    ）

A． B．4 C． D．

10．已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

11．设数列，的前项和分别为，，则下列命题正确的是（     ）

A．若，则数列为等差数列

B．若，则数列为等比数列

C．若数列是等差数列，则，，成等差数列

D．若数列是等比数列，则，，成等比数列

12．已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

13．已知等比数列的前项和，则实数___________.

14．已知各项均为正项的等比数列，公比，则_______．

15．在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则前n项和Sn＝_____.

16．若数列{an}满足0，则称{an}为“梦想数列”．已知数列{}为“梦想数列”，且b1＝2，则{bn}的通项公式为bn＝_______．

四、解答题

17．在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2 = 2，a5 = 16，求：

（1）a1与公比q的值；

（2）数列前6项的和S6 .

18．等比数列的各项均为正数，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

19．已知数列{an}的前n项和为 (n∈N*)．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，求{bn}的前n项和.

20．（1）在等差数列{an}中，已知a15＝33，a45＝153，求an；

（2）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，求n .

21．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*).

（1）设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；

（2）设cn＝，求证：{cn}是等差数列.

22．在数列中，，，且对任意的，都有，设.

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

参考答案

1．C

【分析】

由题意可得，再由即可得的取值范围.

【详解】

因为等比数列为递增数列且，

所以，

则，即，

故选：C.

2．D

【分析】

对四个选项按等比数列的定义一一验证即可.

【详解】

对于A，，，故不是等比数列；

对于B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不一定是等比数列；

对于C，当时，不是等比数列；

对于D，该数列符合等比数列的定义，一定是等比数列．

故选：D．

3．A

【分析】

根据等比数列的通项公式化简第4项，把公比的值代入即可求出首项，根据是首项和公比写出等比数列的通项公式，把代入即可求出的值.

【详解】

解：因为，所以，

则等比数列的通项公式，

所以.

故选：A.

4．C

【分析】

设公比为q，根据求得公比，再利用等比数列前n项和的公式即可得出答案.

【详解】

解：设公比为q，

因为，所以，所以，

所以.

故选：C.

5．C

【分析】

根据等比数列的通项公式进行求解即可.

【详解】

设等比数列的公比为，，因为，所以，而，所以，

故选：C

6．D

【分析】

根据等比数列的性质判断可得；

【详解】

解：由于公比，，所以数列是摆动数列．

故选：D

7．A

【分析】

先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，求得公比，再利用等比数列的前n项和公式，即可求解的值，得到答案.

【详解】

由题意，等比数列中，，

可得，解得，

所以.

故选：A.

8．A

【分析】

计算得出，利用对数的运算性质结合等比数列的性质可求得结果.

【详解】

，所以，，

故．

故选：A．

9．AB

【分析】

利用等比中项的定义求解即可

【详解】

设与的等比中项是．由等比数列的性质可得，则．

故选:AB．

10．AD

【分析】

利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式列方程，整理可得，再由等差中项的性质及通项公式求，即可判断各选项的正误.

【详解】

由题设，若的公差和首项分别为，而，

∴，整理得，又公差和首项都不等于0，

∴，故D正确，C错误；

∵，

∴，故A正确，B错误.

故选：AD

11．AC

【分析】

对于A，C，利用等差数列的定义判断即可，对于B，D，通过举反例判断

【详解】

解：对于A，由等差数列的定义可知当时，数列为等差数列，所以A正确；

对于B，当时，满足，但数列不是等比数列，所以B错误；

对于C，数列是等差数列，数列的前项和为，

则，

，

所以，所以，，成等差数列，所以C正确；

对于D，当等比数列的公比，为偶数时，，，均为零，所以，，不成等比数列，所以D错误，

故选：AC

12．BD

【分析】

先分析得到数列有连续四项在集合，，18，36，中，再求等比数列的公比.

【详解】

数列有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中

数列有连续四项在集合，，18，36，中

又数列是公比为的等比数列，

在集合，，18，36，中，数列的连续四项只能是：，36，，81或81，，36，.

或.

故选：BD

13．

【分析】

由等比数列前n项和公式及已知条件，可得且，即可求k值.

【详解】

由题设，易知等比数列的公比为，

根据等比数列前n项和公式，

∴.

故答案为：

14．20

【分析】

由条件结合等比下标性质可得，再利用通项公式可得结果.

【详解】

由是等比数列，得，

解得或（舍），

所以．

故答案为：20

15．3(2n－1)或3n－1

【分析】

设{an}的公比为q，代入条件求解，然后代入前项和公式计算即可.

【详解】

设{an}的公比为q，

由题设得

解得或

当a1＝3，q＝2时，

Sn＝＝＝3(2n－1)；

当a1＝2，q＝3时，

Sn＝＝＝3n－1.

故答案为：3(2n－1)或3n－1.

16．3n﹣1

【分析】

由题得是公比为的等比数列，则是公比为3的等比数列，再利用等比数列的通项求解.

【详解】

由＝0可得an＋1＝an，

故{an}是公比为的等比数列，

由数列{}为“梦想数列”，得{bn+1}是以为首项，3为公比的等比数列，

所以bn+1＝3×3n﹣1＝3n，则bn＝3n﹣1．

故答案为：3n﹣1．

17．（1）；（2）63.

【分析】

（1）由已知得，解方程组可得；

（2）把所求与代入等比数列的求和公式化简可得．

【详解】

（1）由已知得，解得

（2）由求和公式可得

18．（1）；（2）.

【分析】

（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可；

（2）利用错位相减法进行求解即可.

【详解】

解：（1）设数列的公比为，

则，由

得：，所以.

由，得到

所以数列的通项公式为.

（2）由条件知，

又

将以上两式相减得

所以.

19．（1），（2）

【分析】

（1）先求出，然后当时，由求解，

（2）由（1）可得，然后利用分组求和法求解即可

【详解】

（1）当时，，

当时， ，满足上式，

所以，

（2）由（1）可得，则{bn}的前n项和为

20．（1）an＝4n－27；（2）6.

【分析】

（1）设首项为a1，公差为d，由已知可得解方程组求出，从而可求出通项公式；或利用d＝求出公差，从而可求出通项公式；

（2）由已知可知数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，然后利用等比数的求和公式列方程可求出n

【详解】

解：（1）解法一：设首项为a1，公差为d，依条件得

解得

所以an＝－23＋（n－1）×4＝4n－27.

解法二：由d＝，得d＝＝＝4，

由an＝a15＋（n－15）d，得an＝4n－27.

（2）因为在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，

所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，

因为Sn＝126，所以＝126，

解得2n＋1＝128，所以n＝6.

21．（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】

（1）根据和之间的关系，an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，带入整理可得，即可得证；

（2）由（1）知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，所以即cn＋1－cn＝3，即可得解.

【详解】

（1）an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.

可得，

因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.

所以b1＝a2－2a1＝3.

所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列.

（2）由（1）知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，

所以.

所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2，

所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2.

22．（1）证明见解析，，（2）

【分析】

（1）通过可得.推出是首项为2，公比为2的等比数列然后求解通项公式.

（2）因为化简可得，利用裂项消项法，求解数列的和即可.

【详解】

（1）由可得，

即,又， ，所以

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，

数列的通项公式.

（2）

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