人教A版 (2019) 选择性必修 第二册 第四章数列单元检测题（基础巩固篇）

第四章数列单元检测题（基础巩固篇）

一、单选题

1．已知数列的通项公式为，则33是这个数列的（    ）

A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项

2．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是（    ）

A．

B．

C．

D．

3．用数学归纳法证明等式，从到左端需要增乘的代数式为（    ）

A． B．

C． D．

4．在等差数列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于（    ）

A．－2 B．0 C．3 D．6

5．设等差数列与的前n项和分别为和， 并且对于一切都成立，则（    ）

A． B． C． D．

6．设数列满足：，，记数列的前项之积为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

7．已知数列中，，则数列的最小项是（    ）

A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项

8．一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群（如图）.该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔群最下面三阶的塔数之和为（    ）

A．39 B．45 C．48 D．51

二、多选题

9．（多选）已知数列的通项公式为，则下列是该数列中的项的是（    ）

A．18 B．12 C．25 D．30

10．(多选)下列关于数列的说法正确的是（    ）

A．按一定次序排列的一列数叫作数列

B．若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an=f(n)表示数列的通项公式

C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一

D．同一个数列的任意两项均不可能相同

11．设等差数列的前项和为．若，，则（     ）

A． B．

C． D．

12．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（    ）

A．此人第六天只走了5里路

B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里

C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里

D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

三、填空题

13．已知是数列的前项和.若，则__________.

14．在数列中，，，则______．

15．已知数列满足若，则________.

16．将正奇数桉下表编排：

则2015应在第___________列．

四、解答题

17．已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且成等比数列.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

18．已知数列的通项公式为.

（1）20是不是中的一项？

（2）当取何值时，.

19．已知等比数列中，，且是和的等差中项.数列满足，且..

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

20．已知等比数列的前n项和为.

（1）求m的值，并求出数列的通项公式；

（2）令，设为数列的前n项和，求.

21．已知数列，其前项和为，且满足，．

（1）求；

（2）求满足的最小整数．

22．已知函数，设数列的通项公式为，其中.

（1）求证：；

（2）判断是递增数列还是递减数列，并说明理由.

参考答案

1．C

【分析】

由已知通项公式，令并求解，即可确定答案.

【详解】

令，解得．

故选：C．

2．B

【分析】

设数列1，3，6，10，15，…为，根据数列中项的关系，由数学归纳法可得，由此即可得到结果.

【详解】

设数列1，3，6，10，15，…为，

所以， ，

所以.

故选：B.

3．B

【分析】

分别求出当、时等式左端的表达式，再比较即可求解.

【详解】

当时，左端为

当时，左端为

因为

所以从到左端需要增乘的代数式为，

故选：B.

4．A

【分析】

利用已知条件求得，由此求得.

【详解】

a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，

所以a3＝a1＋2d＝－2.

故选：A.

5．D

【分析】

利用等差数列的前项和的性质可求的值.

【详解】

,

故选：D.

6．B

【分析】

由的值确定数列是以3为周期的周期数列，利用周期的性质得出.

【详解】

,

可知数列是以3为周期的周期数列

故选：B

7．D

【分析】

根据题意，可知数列的通项公式，根据二次函数的性质可知，当或3时，取得最小值，从而得出答案.

【详解】

解：由题可知，，

由于，所以当或3时，取得最小值，

所以数列的最小项是第2项、第3项.

故选：D.

8．D

【分析】

先由等差数列的求和公式得出总阶数，再由等差数列的性质得出最下面三阶的塔数之和.

【详解】

设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为，依题意可知，，…，成等差数列，且公差为2，，

则，解得.

故最下面三价的塔数之和为.

故选：D

9．BD

【分析】

由于为正整数，且越大，越大，求得无整数解，且，， ，，判断选项即可.

【详解】

因为，所以越大，越大．

当时，；

当时，；

当时，；

当时，．

故选：BD．

10．ABC

【分析】

根据数列的定义，可判断A、B、C的正误，常数数列各项可相等，可得D错误，即可得答案.

【详解】

根据数列的定义，我们把按定次序排列的一列数叫作数列，可得A正确；

若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an=f(n)表示数列的通项公式，可得B正确；

同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，

例如，也可写成，可得C正确；

因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如说常数数列，可得D错误，

故选：ABC

11．BC

【分析】

由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式

【详解】

解：设等差数列的公差为，

因为，，

所以，解得，

所以，

，

故选：BC

12．BCD

【分析】

设此人第天走里路，则是首项为，公比为 的等比数列，由求得首项，然后逐一分析四个选项得答案.

【详解】

解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列，

设此人第天走里路，则是首项为，公比为 的等比数列.

所以，解得.

选项A:,故A错误,

选项B:由，则，又，故B正确.

选项C:,而，,故C正确.

选项D:,

则后3天走的路程为,

而且,故D正确.

故选：BCD

【点睛】

本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前项和，是基础题.

13．

【分析】

根求出和，由即可求解.

【详解】

因为是数列的前项和.若，

可得，，

所以，

故答案为：.

14．2

【分析】

由递推关系求前几项的值，易判断是以4为周期的数列，利用周期性求.

【详解】

由题意，得，，，，，

故数列是以4为周期的周期数列，则．

故答案为：2

15．

【分析】

根据递推公式，可知，，，，…，故数列是以为周期的周期数列，由此即可求出结果.

【详解】

因为

所以，，，…

故数列是以为周期的周期数列，

又知，所以.

故答案为：.

16．1

【分析】

根据表格中的数字规律，判断数字2015所在行列位置即可.

【详解】

由表格规律：奇数行从第二列到第五列是公差为2数列且依次递增，偶数行从第一列到第四列是公差为-2的数列且依次递减，又所有的数字可构成公差为2的等差数列，

∴，由可得，

∴，则2015应在第252行的第1列.

故答案为：1

17．（1），（2）

【分析】

（1）由题意可得，从而可求出，进而可求得的通项公式；

（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法可求得结果

【详解】

（1）因为数列是公差为2的等差数列，且成等比数列，

所以即，解得，

所以；

（2）由（1）得，

所以.

18．（1）是；（2）.

【分析】

（1）令，求得，即可得到结论；

（2）令，得到，解得，即可得到答案.

【详解】

（1）由题意，数列的通项公式为，

令，即，解得或（舍去），

所以是中的一项，且为数列的第10项.

（2）令，即，即，解得或（舍去），

所以当时，.

19．（1）；（2）.

【分析】

（1）设等比数列的公比为，由等差中项的性质建立等量关系，求解，从而求出数列的通项公式；（2）由等差中项的性质可知为等差数列，求出通项公式，分组求和即可.

【详解】

解：（1）设等比数列的公比为

因为，

所以.

因为是和的等差中项，

所以，

即，

解得

所以.

（2）因为，

所以为等差数列.

因为，

所以公差.

故.

所以

20．（1），；（2）.

【分析】

（1）法一：由已知求、，根据等比数列的性质确定的值，进而求出，写出通项公式；法二：由与的关系，结合已知求得、，，再根据等比中项的性质求，写出通项公式；

（2）由（1）写出通项公式，由奇偶项和为定值，应用并项求和法求.

【详解】

（1）法一：当时，

当时，

∵是等比数列，

∴，即，解得

综上，的值为，数列的通项公式为.

法二：∵，，

∵是等比数列，

∴，即，解得，

设的公比为，

∴，，则.

（2）∵，

∴.

21．（1）；（2）最小整数.

【分析】

（1）由可得，结合已知求通项(注意判断是否可以合并)，进而求.

（2）由题设有有成立，理解指数函数与幂函数的增长差异，应用枚举的方法写出最小整数．

【详解】

（1）由题设，，则，即，

∴，即，

∴，故，

∴.

（2）有，

∴，故满足的最小整数．

22．

（1）见解析

（2）是递增数列，证明见解析

【分析】

（1）结合反比例函数的单调性以及不等式的性质即可证得；

（2）证得，即可得出结论.

（1）

由题意得，因为为正整数，所以，所以

（2）

是递增数列

证明：，所以是递增数列.