高中数学第一章 空间几何体综合与测试单元测试课后练习题

第一章 空间几何体 A卷

【满分：100分】

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(   )

A.2 B. C. D.4

2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(   )

A. B. C. D.

3.如图，已知四边形ABCD的直观图是直角梯形，且，则四边形ABCD的面积为(   )

A.3 B. C. D.6

4.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是(   )

A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的

B.该几何体有12条棱、6个顶点

C.该几何体有8个面，并且各面均为三角形

D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形

5.已知某三棱锥的正视图与侧视图如图所示，则其俯视图可能是(   )

A.①③  B.②④

C.①④  D.②③

6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(   )

A.4 B.3 C.1 D.

7.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：)是(   )

A. B. C. D.

8.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(   )

A.9 B. C.11 D.

9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(   )

A. B. C. D.

10.已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为.若的面积为，则该圆锥的体积为(   )

A. B. C. D.

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11.菱形ABCD中，，，将沿BD折起，C点变为E点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的面积为________.

12.已知棱台.正方形的边长为2，正方形的边长为4，平面平面且平面，则棱台的体积为________.

13.在平面四边形PACB中，已知，，，.沿对角线AB折起得到四面体，当PA与平面ABC所成的角最大时，该四面体的外接球的半径为_________.

14.两个互相垂直的平面截球O得圆，，若圆，的相交弦长为4，则球O表面积的最小值为_______________.

15.若圆台的上，下底面半径分别为2，4，高为2，则该圆台的侧面积为_________.

三、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （10分）已知四棱锥中，，，，，，平面ABCD，.

(1)设平面平面，求证：；

(2)若E是PA的中点，求四面体PBEC的体积.

17. （15分）在底面半径为2高为的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为，求圆柱的表面积．

答案以及解析

1.答案：C

解析：由三视图可知该几何体的直观图为如图所示的多面体ABCDEF，

可看作是一个四棱锥和一个三棱锥的组合体，

其中四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为2，

三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为1，

则该几何体的体积，故选C.

2.答案：A

解析：解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为，.

3.答案：C

解析：如图，取，过点作，

易求得，，故以和为坐标轴建立直角坐标系，由直观图原则，B，C与，重合，然后过点E作的平行线，

且使得，

即得点A，然后过A作且使得，

即四边形ABCD上底和下底边长分别为1，2，高为，

故其面积.

故选C.

4.答案：D

解析：其中ABCD不是面，该几何体有8个面.

5.答案：C

解析：由正视图与侧视图知，该三棱锥的直观图可为如图(1)、图(2)所示的三棱锥，图(1)中平面BCD，，，，，其俯视图为①，

图(2)中平面BCD，，，，其俯视图为④，故选C.

6.答案：D

解析：由三视图可知，该几何体为个底面为直角边长为2的等腰直角三角形，高为2的直三棱柱割掉一个底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为2的三棱锥后所剩几何体，如图所示.故该几何体的体积.

7.答案：A

解析：由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积.

8.答案：C

解析：由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为，高为3的三棱锥形成的，该几何体如图所示.

，所以.

9.答案：A

解析：根据三视图知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，且侧棱底面ABCD；画出图形，如图所示：

结合图中数据，计算该几何体的表面积为：

.

10.答案：C

解析：如图所示，设底面半径为，
 

PA与圆锥底面所成角为60°，，，母线PA，PB所成角的余弦值为，，，，故选：C.

11.答案：

解析：如图所示，

当平面平面ABD时，四面体的体积最大，分别从和的外接圆圆心，作其面的垂线，交于点O，即为外接球球心，则易知四边形为正方形，由知，，，由正弦定理知，故，在中，，故四面体的外接球的面积为.

12.答案：28

解析：由棱台的体积公式可得，所以棱台的体积为28.

13.答案：

解析：当PA与平面ABC所成的角最大时，最大角为，此时平面平面ABC.

在中，由余弦定理可得，又，为直角三角形，，平面PAB.

如图，设四面体的外接球的球心为O，截面ABC对应圆的圆心为，截面PAB对应圆的圆心为H，E为AB的中点，则球心O到平面PAB的距离为.设的外接圆半径为r，由正弦定理可得，则.设四面体的外接球半径为R，连接OA，AH在中，，解得.

14.答案：

解析：设圆，的相交弦为AB，球O的半径为R，易知当AB为球O的直径时，R取得最小值，此时球O的表面积最小，为.

15.答案：

解析：解：依题意，，，所以，所以圆台的母线，故圆台的侧面积.故答案为：.

16.答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)证明：因为，平面PAB，平面PAB，
所以平面PAB.

因为平面PCD，平面平面，

所以.

(2)解：，

平面PAB，所以C，D两点到平面PAB的距离相等.

由条件易得平面PAB且

.

17.答案：

解析：因为圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为，

所以圆柱的底面半径与圆锥的底面半径之比为，

所以圆柱的母线长与圆锥的高之比为，

所以圆柱的底面半径为1，母线长为．

所以圆柱的表面积