人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合与测试单元测试课后练习题

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 B卷

【满分：100分】

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是(   )

A.存在一条直线a，，

B.存在一条直线a，，

C.存在两条平行直线a、b，，，，

D.存在两条异面直线a、b，，，，

2.已知是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，有以下结论：

①

②

③

④.

其中正确结论的个数是（   ）

A．0     B．1     C．2     D．3

3.将边长为2的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，点分别是圆O和圆上的点，弧长为，弧长为，且B与C在平面的同侧，则与所成角的大小为（   ）

A. B. C. D.

4.如图，正方体中，若E,F,G分别为棱BC,,的中点，，分别为四边形，的中心，则下列各组中的四个点不在同一个平面内的是(   )
 

A.A,C,, B.D,E,G,F C.A,E,F, D.G, E,,

5.已知m和n是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,一定能推出的是(   )
A.,且 B.,且 C.,且 D.,且

6.在四棱柱 中，已知平面平面ABCD，且，，则BD与(   )

A.平行 B.共面 C.垂直 D.不垂直

7.已知a,b是异面直线,给出下列结论:
①一定存在平面,使直线平面,直线平面;
②一定存在平面,使直线平面,直线平面;
③一定存在无数个平面,使直线b与平面交于一个定点,且直线平面.
则所有正确结论的序号为(   )
A.①② B.② C.②③ D.③

8.设m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是(   )
A.若，，，则 B.若，，则

C.若，，，则 D.若，，，则

9.如图,设平面平面,平面,平面,垂足分别为G,H.为使,则需增加的一个条件是(   )

A.平面 B.平面 C. D.

10.已知l,m,n是三条不同的直线，是一平面.下列命题中正确的个数为(   )

①若,,，则;
②若,,，则；
③若,，则.
A.1 B.2 C.3 D.0

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11.在四棱锥中,底面为正方形,底面,且,为棱上的动点,若的最小值为2,则_________.

12.已知正方体的棱长为4，为棱的中点，点在正方形内运动，且直线平面，则动点的轨迹长度为____________．

13.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是 ________.

14.下列推理正确的是______．

①，，，

②，

③，

④，

⑤，

15.如图,以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕,把和折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:

①;

②是等边三角形;

③三棱锥是正三棱锥;

④平面平面,

其中正确的是__________.

三、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （10分）已知A,B,C,D四点和直线l，且,,,，求证：直线AD,BD,CD共面.

17. （15分）如图，三棱柱中，，，，.
（1）求证：平面ABC；
（2）若，点D为棱AB的中点，点E为棱上一点，求三棱锥的体积.
 

答案以及解析

1.答案：D

解析：对于选项A，若存在一条直线a，，，则或与相交，若，则存在一条直线a，使得，，所以选项A的内容时的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面内，成为相交直线，则有，所以选项D的内容是的一个充分条件.故选D.

2.答案：B

解析：由题意，对于①中，若，则两平面可能是平行的，所以不正确；

对于②中，若，只有当与相交时，才能得到，所以不正确；

对于③中，若，根据线面垂直和面面垂直的判定定理，可得，所以是正确的；

对于④中，若，所以是不正确的，

综上可知，正确命题的个数只有一个，故选B.

3.答案：C

解析：由弧长公式可知：，，
在底面圆周上去点D且，
则面，
连接，
则
即为异面直线与所成角，
又，
所以，
故选：C．

4.答案：B

解析：选项A中，因为是的中点，所以在平面内；选项B中，因为E,G,F在平面内，D不在平面内，所以D,E,G,F四点不共面；选项C中，由已知可得，所以A,E,F,四点共面；选项D中，连接并延长，交点H，则H为的中点，连接，则，所以G，E，，四点共面.

5.答案：B

解析：A中，由，且，知；B中，由，知n垂直于平面内的任意直线，再由，知m也垂直于内的任意直线,所以,B符合题意；C,D中，或或m与相交，不符合题意.故选B.

6.答案：C

解析：如图所示，在四边形ABCD中，，，.∵平面平面ABCD，平面平面,平面ABCD,平面.又平面，.故选C.
 

7.答案：C

解析：对于①，假设存在平面，使得,，过直线a作平面，使得，则.,,，但a,b不定垂直，矛盾，假设不成立，结论①错误；对于②，过空间一点O作,，由于a,b是异面直线，则，直线，可确定平面，使得,，则,，结论②正确；对于③，如图所示，在正方体中，与为异面直线，，，过且与平行的平面有无数个,除平面外的所有平面都与交于点C，结论③正确.故选C.
 

8.答案：B

解析：A中，可能平行也可能相交，所以A不正确；易知B正确；C中，若，仍然可以满足，，，所以C不正确；D中，可能平行也可能相交，所以D不正确.故选B.

9.答案：B

解析：因为平面,平面，所以E,F,H,G四点共面.又平面，所以.若平面，则由平面，得.又,所以平面EFHG，所以，故选B.

10.答案：B

解析：对于①，因为,，所以，又，所以，即①正确；对于②，因为,，所以，又，所以，即②正确；对于③，因为,，所以或或或m与斜交，即③错误.

11.答案：4

解析：易证平面,则,将沿棱翻折至与底面

共面,如图所示,设,则,当三点共线时,取得

最小值,故,解得,则

12.答案：

解析：设平面与直线交于点，连接，则为的中点．

分别取、的中点、，连接、、，

则∵，，，平面，，平面，

∴平面．同理可得平面，

∵、是平面内相交直线，∴平面平面，

所以平面，

∴的轨迹被正方形截得的线段是线段，

∴的轨迹被正方形截得的线段长．

13.答案：异面或相交

解析：由平行公里可知若它和另一条直线平行,则原两直线平行,与已知两条异面直线矛盾,故不平行。相交或异面均有可能。

14.答案：①②④

解析：①，，，，即，故①对；

②，，故②对；

③，，可能与相交，可能有，故③不对；

④，，必有故，④对；

⑤，，则，可能平行，也可能异面，⑤不对，

故答案为①②④．

15.答案：①②③

解析：如图,设等腰直角三角形的腰为，则斜边为的中点，∴. 又平面平面，平面平面，，平面，∴平面.又平面,∴ ,故①正确.

②由①, 平面,平面 , ∴.

又 ,

∴由勾股定理得.

又.∴是等边三角形，故②正确.

③∵是等边三角形，,

∴三棱锥是正三棱锥，故③正确.

④如图, ∵为等腰直角三角形，取斜边 的中点,连接，则.又为等边三角形， 连接，则，∴为平面与平面的 二面角的平面角.

由平面可知为直角，不是直角，故平面与平面不垂直，故④错误.

综上所述，正确的结论是①②③.

16.答案：因为，所以直线l与点D可以确定平面，如图所示,

因为，所以，
又，所以.
同理可证,，
所以AD,BD,CD在同一平面内，
即直线AD,BD,CD共面.

17.答案：（1）由题可知，在中，，,
由余弦定理可得,
所以，所以.
因为，且,AB,平面ABC，
所以平面ABC.
（2）因为，且,
所以，
因为点D为棱AB的中点,所以.
在三棱柱中，平面ABC，
所以点E到平面BCD的距离等于点到平面ABC的距离，
由（1）知，平面ABC,，
所以点E到平面BCD的距离.
所以三棱锥的体积.