2022版新教材高中数学第一章空间向量与立体几何加练课2空间角的计算学案新人教B版选择性必修第一册

加练课2 空间角的计算

自主检测·必备知识

一、概念辨析，判断正误

1.两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × )

2.直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( × )

3.两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( × )

4.两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是 .( √ )

二、夯实基础，自我检测

5.已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为(      )

A. B.

C.或 D.

答案：

解析：，即 .

两平面所成的二面角为或 .

6.在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为(     )

A. B. C. D.

答案：

解析：以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设直三棱柱的棱长为2，则，

.

.

7.已知空间四个点，则直线与平面所成的角的大小为 .

答案：

解析：，

.

设平面的一个法向量为，

则取，得 .

设直线与平面所成的角为，则  .

又，直线与平面所成的角为 .

互动探究·关键能力

探究点一求异面直线所成的角

精讲精练

例三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，异面直线与所成角的余弦值为(     )

A. B. C. D.

答案：

解析：设棱长为1，，

由题意得，

，

，

又，

，

，

即异面直线与所成角的余弦值为 .

解题感悟

（1）求两异面直线所成的角有两种方法：基向量法和坐标法；

（2）两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.

迁移应用

1.（2020山西晋城高二期中）底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥称为正四棱锥．如图，在正四棱锥中，底面边长为1，侧棱长为2，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(      )

A. B. C. D.

答案：

解析：如图所示，以正方形的中心为坐标原点，方向为轴正方向，方向为y轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，

则，由几何关系可求得，

则，

，为的中点，

，

，

，

.

即异面直线与所成角的余弦值为 .

探究点二求直线与平面所成的角

精讲精练

例（2021天津耀华中学期中）如图所示的多面体中，平面，四边形为平行四边形，为的中点，为线段上一点， .

（1）若为的中点，证明：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

答案：（1）证明：取的中点为，连接，

因为分别为的中点，所以，且，

又四边形为平行四边形，所以，且，

所以，且，即四边形是平行四边形，

即，又平面，平面，所以平面PDC.

（2）以为原点，所在直线为轴，在平面中过作的垂线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，

，

设点，，

，

解得，

，

设平面的一个法向量为，

则

取，得，

设直线与平面所成的角为，则直线与平面所成角的正弦值 .

解题感悟

利用向量求线面角的方法：

（1）通过平面的法向量来求解，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角；

（2）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）.

迁移应用

 1.如图，在梯形中，，矩形中， .

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

答案：（1）证明：由题意可知四边形ABCD是等腰梯形，，

，

.

∵矩形中，，又有，，，

又，平面，

平面 .

（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则 .

，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，，

又，设直线与平面所成的角为，，

直线与平面所成角的正弦值是．

探究点三求二面角

精讲精练

例如图，正三棱柱的所有棱长都是2，，分别是，的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

答案：（1）证明：，是的中点，，

平面，平面，

平面平面，又平面，平面，平面，，

在正方形中，分别是的中点，

，

，即，

又，平面，

平面，又平面，

平面平面 .

（2）取的中点，连接，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，

则，

则

设平面的一个法向量为，

则即

令，则，

设平面的一个法向量为，

则即令，则，

设二面角的平面角为，观察可知为锐角，

则，故二面角的余弦值为 .

解题感悟

1.利用向量计算二面角大小的常用方法：

（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

（2）找与棱垂直的向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直，且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

2.利用法向量求二面角的两个注意点：

（1）对于某些平面的法向量可能在题中隐含着，不用单独求.

（2）注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行判断，以防结论失误.

迁移应用

1.（2020广州高二期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

答案：（1）证明：因为平面平面，

且平面平面，

，所以平面PCD，所以 .

又，所以平面 .

又平面，所以 .

又因为为的中点，，所以，且 .

所以平面，又平面，所以平面平面 .

（2）设的中点为，作交于，连接 .

由（1）知平面，

所以平面，由，且，可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则 .

所以 .

设平面的一个法向量为，

由，得

令，得 .

易知平面的一个法向量为，

所以 .

由图可知，二面角为锐角，故其余弦值为 .

评价检测·素养提升

1.若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与夹角的余弦值是(     )

A. B. C. D.

答案：

2.如图，圆锥的高，底面直径，是圆上一点，且，则与所成角的余弦值为(     )

A. B. C. D.

答案：

3.如图，平面平面，四边形是正方形，四边形是矩形，，是的中点，则与平面所成角的正弦值为 .

答案：