选择性必修 第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量学案

空间中的点、直线与空间向量

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一空间中的点与空间向量

一般地，如果在空间中指定一点，那么空间中任意一点的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点的① 位置向量，特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的② 坐标唯一确定.

要点二空间中的直线与空间向量

一般地，如果是空间中的一条直线，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与平行或重合，则称为直线的一个方向向量.此时,也称向量与直线平行，记作③ .

按照空间中直线的方向向量的定义可知：

（1）如果是直线上两个不同的点，则就是直线的一个④ 方向向量

（2）如果是直线的一个方向向量，则对任意的实数，空间向量⑤ 也是直线的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量都⑥ 平行；

（3）如果为直线的一个方向向量，为直线上一个已知的点，则对于直线上任意一点，向量一定与非零向量平行，从而可知存在⑦ 唯一的实数，使得，这就是说，空间中直线的位置可由和点唯一确定；

（4）如果是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则，或与重合.

要点三空间中两条直线所成的角

1.直线的方向向量的夹角与所成角的关系如图（1）（2）所示，可以看出或 .

特别地， , .

2.两直线垂直的充要条件

$l_{1}\perp l_{2}\Leftrightarrow\left\langle{\boldsymbol v}_1,\boldsymbol v_{2}\right\rangle=\frac\mathrm{π}2\Leftrightarrow$⑧ .

要点四异面直线与空间向量

1.直线 ,异面的充要条件

如果分别是空间中直线的方向向量，那么“不共面”是“与异面”的充要条件.

2.两条异面直线的公垂线段

一般地，如果与是空间中两条异面直线, ,则称为与的公垂线段,空间中任意两条异面直线的公垂线段都⑨ 存在并且唯一 .两条异面直线的公垂线段的⑩ 长，称为这两条异面直线之间的距离.

自主思考

1.点的位置为什么可以由向量唯一确定？

答案：提示因为一个向量和其起点、终点,三者中有两个确定了，第三个就确定了.

2.直线的方向向量是唯一的吗？

答案：提示不唯一.

3.如果两直线的方向向量，那么这两直线重合的条件是什么？

答案：提示两直线有公共点

4.若直线所成的角为，则直线的方向向量的夹角的值是什么？

答案：提示或

5.如何判断不共面？

答案：提示不满足共面向量定理.

名师点睛

1.在空间中,一个向量成为直线的方向向量,必须具备以下两个条件：（1）是非零向量;（2）向量所在的直线与直线平行或重合.

2.与直线平行的任意非零向量都是直线的方向向量,且直线的方向向量有无数个.

3.求直线的方向向量,就是找与平行的任意非零向量,因此可以在直线上任取不同的两点,分别以这两点为起点和终点的向量就是直线的一个方向向量,也可以在与直线平行的直线上任取不同的两点,分别以这两点为起点和终点的向量也是直线的一个方向向量.

互动探究·关键能力

探究点一求直线的方向向量

自测自评

1.（多选）如图,在正方体中,为棱上不与 ,重合的任意一点,则能作为直线的方向向量的是(      )

A. B. C. D.

答案： ; ;

解析：1.由定义知,一个向量对应的有向线段所在的直线与直线平行或重合,则这个向量就称为直线的一个方向向量.

2.若 ,在直线上,则直线的一个方向向量为(      )

A.(1,2,4)B.(1,4,2)

C.(2,1,4)D.(4,2,1)

答案：

解析：2.由已知得 =(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与共线,是直线的一个方向向量.

3.已知直线的一个方向向量 ,且过和 ,则， .

答案： ;

解析：3.由题意可得, ,

,

解得 .

解题感悟

对直线方向向量的两点说明

（1）方向向量的选取：在直线上任取两点 ,可得到直线的一个方向向量 .

（2）方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的,可以分为方向相同和相反两类,它们都是共线向量．解题时,可以选取坐标最简的方向向量.

探究点二利用直线的方向向量解决平行、垂直问题

精讲精练

类型1 利用直线的方向向量解决平行问题

例1如图,在平行六面体中,是的中点,求证：平面 .

答案：证明设 , ,，

则 , , .

设存在实数 ,使得成立，

则 .

不共线,∴

解得

,即向量共面.

向量不在所确定的平面内,平面 .

类型2 利用直线的方向向量解决垂直问题

例2  已知正三棱柱的各棱长都为1,若侧棱的中点为 ,求证： .

答案：证明设的中点为 ,作 ,连接 ,以为坐标原点, ,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则 ,

,

,

, ,

,

,即 .

变式在本例2中，若为的中点,连接 ,证明:直线 .

答案：证明由例2的解析,易知 .

所以 ,所以 ,所以 ,即 .

解题感悟

向量法判定直线平行.

分别为与的一个方向向量.

（1）或与重合.

（2）与不平行与不平行.

（3） .

（4）与不垂直与不垂直.

迁移应用

1.已知三条直线的一个方向向量分别为 ,则(      )

A. ,但与不垂直B. ,但与不垂直

C. ,但与不垂直D. ,两两互相垂直

答案：

解析：因为

所以与不垂直, .

所以 ,但不垂直于，故选A.

2.如图,在平行六面体中,分别是的中点.

求证：平面平面 .

答案：证明设 , , ,则 , , ,故 ,即 ,

平面，平面，平面 .

又，

即 ,平面，平面 ,平面 .

又平面 ,

平面平面 .

探究点三异面直线所成角及其应用

精讲精练

例（1）（2021山东聊城一中期中）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图）,其中四边形为矩形, ,若 ,和都是正三角形,且 ,则异面直线与所成角的大小为(      )

A. B.

C. D.

（2）在三棱锥中,平面 ,点分别为的中点, ,为线段上的点,使得异面直线与所成角的余弦值为 ,则为(      )

A. B.

C. D.

答案：（1）（2）

解析：（1）如图,以矩形的中心为原点,的方向分别为轴、轴正方向,作垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系,

由题意可知,平面 ,且直线是线段的垂直平分线.设 ,则则 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以异面直线与所成的角为 .

（2）如图，在三棱锥中，

,

平面 ,以为原点,所在直线分别为轴,轴，轴建立空间直角坐标系,

可知

，

，则 ,设 ,且 , ,则 ,

可知 ,

,

异面直线与所成角的余弦值为,解得或（舍去）, .

解题感悟

异面直线夹角的计算问题,常用以下方法

（1）向量法：建立空间直角坐标系,结合向量的夹角公式求解;

（2）平移法,将异面直线通过平移转化成共面直线,结合三角形知识求解;

（3）补形法：通过补形（一般是补一个相同的几何体）将异面直线通过平移转化成共面直线,结合三角形知识求解.

迁移应用

1.（2020江苏徐州高二期中）在长方体中, , ,设交于点 ,则异面直线与所成角的余弦值为(      )

A. B. C. D.

答案：

解析：1.以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,

因为 ,所以

设直线与所成角的大小为，则

.

2.如图,在直三棱柱中，，点是棱上一点,且异面直线与所成角的余弦值为，则的长为 .

答案：1

解析：2.设，则 ,

易知 .

，

因为异面直线与所成角的余弦值为，所以 .解

得 .

所以 .

评价检测·素养提升

1.设直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则实数的值为(      )

A.1B.2C. D.3

答案：

2.设都是直线l的方向向量,则下列说法中正确的是(     )

A.

B.

C.与同向

D.与有相同的位置向量

答案：

3.（2020重庆一中高二期末）在三棱锥中,底面 ,是的中点,已知 ,则异面直线与所成角的余弦值为(      )

A. B. C. D.

答案：