数学必修 第二册2.1 复数的加法与减法集体备课课件ppt

§2　复数的四则运算

2.1　复数的加法与减法

课后篇巩固提升

基础达标练

1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是(　　)

A.-2 B.4 C.3 D.-4

解析z=1-(3-4i)=-2+4i,虚部为4,故选B.

答案B

2.已知i为虚数单位,复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和z1+z2为实数,差z1-z2为纯虚数,则a,b的值分别为(　　)

A.-3,-4 B.-3,4

C.3,-4 D.3,4

解析因为z1=a+4i,z2=-3+bi,

所以z1+z2=(a-3)+(4+b)i,又因为和z1+z2为实数,

所以4+b=0,解得b=-4.因为z1-z2=(a+4i)-(-3+bi)=(a+3)+(4-b)i,且为纯虚数,所以a+3=0,且4-b≠0,解得a=-3,且b≠4.故a=-3,b=-4.故选A.

答案A

3.(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是(　　)

A.P0点的坐标为(1,2)

B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称

C.复数z对应的点Z在一条直线上

D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为

解析复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;

复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;

设z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即,整理得,y=x,即点Z在直线y=x上,C正确;

易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0,Z两点之间距离的最小值,结合点到直线的距离公式可知,最小值为,故D正确.故选ACD.

答案ACD

4.如果一个复数与它的模的和为5+i,那么这个复数是　　　　　. 

解析设这个复数为z=x+yi(x,y∈R),

所以x+yi+=5+i,

所以所以所以x+yi=i.

答案i

能力提升练

1.在▱ABCD中,点A,B,C分别对应复数4+i,3+4i,3-5i,则点D对应的复数是(　　)

A.2-3i B.4+8i

C.4-8i D.1+4i

解析对应的复数为(3+4i)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i=-1+3i,

设点D对应的复数为z,则对应的复数为(3-5i)-z.

由平行四边形法则知,

所以-1+3i=(3-5i)-z,

所以z=(3-5i)-(-1+3i)=(3+1)+(-5-3)i=4-8i.故选C.

答案C

2.(多选)已知i为虚数单位,下列说法正确的是(　　)

A.若复数z满足|z-i|=,则复数z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心,为半径的圆上

B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8i

C.复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模

D.非零复数z1对应的向量为,非零复数z2对应的向量为,若|z1+z2|=|z1-z2|,则

解析满足|z-i|=的复数z在复平面内对应的点在以(0,1)为圆心,为半径的圆上,A错误;

设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=.

由z+|z|=2+8i,得a+bi+=2+8i,

即解得

所以z=-15+8i,B错误;

由复数的模的定义知C正确;

由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知,以为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.

故选CD.

答案CD

3.如图所示,在复平面内的四个点O,A,B,C恰好构成平行四边形,其中O为原点,A,B,C所对应的复数分别是zA=4+ai,zB=6+8i,zC=a+bi(a,b∈R),则zA-zC=　　　　　. 

解析根据平面向量的定义可得,

所以4+ai+(a+bi)=6+8i.

因为a,b∈R,所以所以

所以zA=4+2i,zC=2+6i,

所以zA-zC=(4+2i)-(2+6i)=2-4i.

答案2-4i

素养培优练

设z=a+bi(a,b∈R),且4(a+bi)+2(a-bi)=3+i,又ω=sin θ-icos θ,求z的值和|z-ω|的取值范围.

解因为4(a+bi)+2(a-bi)=3+i,

所以6a+2bi=3+i,

所以所以

所以z=i,

所以z-ω=i-(sin θ-icos θ)

=-sin θ++cos θi.

所以|z-ω|=

=

=,

因为-1≤sinθ-≤1,

所以0≤2-2sinθ-≤4,所以0≤|z-ω|≤2,

故求得z=i,|z-ω|的取值范围是[0,2].