数学必修 第二册第六章 立体几何初步6 简单几何体的再认识6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积教学课件ppt

§6　简单几何体的再认识

6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积

课后篇巩固提升

基础达标练

1.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是(　　)

A.a2 B.a2

C.a2 D.a2

解析因为正三棱锥的侧面为等腰直角三角形,所以斜高h'=,所以S侧面积=a××3=a2,S底面积=a×a×a2,所以S表面积=a2+a2=a2.

答案A

2.若圆台的高为3,一个底面半径是另一个底面半径的2倍,其轴截面的一个底角为45°,则这个圆台的侧面积是              (　　)

A.27π B.27π C.9π D.36π

解析设圆台上底半径为r1,下底半径为r2,母线长为l,如图所示,2r2=2r1+6=4r1,所以r1=3,r2=6.

S圆台侧=π(r1+r2)l=π(6+3)×3=27π.

答案B

3.(多选)等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为(　　)

A.π B.(1+)π

C.2π D.2+π

解析若绕一条直角边旋转一周时,则圆锥的底面半径为1,高为1,所以母线长l=,

这时表面积为π×1×l+π×12=(1+)π;

若绕斜边旋转一周时旋转体有两个倒立圆锥对底组合而成,且由题意底面半径为,一个圆锥的母线长为1,所以表面积S=2π××1=π,综上所述该几何体的表面积为π.

答案AB

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为(　　)

A.1∶1

B.1∶

C.1∶

D.1∶2

解析设正方体棱长为a,

由题意知,三棱锥的各面都是正三角形,

所以正三角形的边长为a,

即表面积为4=4××(a)2×=2a2.

正方体的表面积为6a2,

所以三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为2a2∶6a2=1∶.

答案C

5.已知正四棱台两底面边长分别为4 cm,8 cm,侧棱长为8 cm,则它的侧面积为　　　　　 cm2. 

解析作

出正四棱台的一个侧面如图,设E,F分别为AD,BC的中点,过D作DG⊥BC于点G.

由题知AD=4 cm,BC=8 cm,CD=8 cm,得DE=2 cm,FC=4 cm,解得GC=2 cm,在Rt△DGC中,DG==2(cm),

即斜高为2 cm,所以所求侧面积为

×(16+32)×2=48(cm2).

答案48

6.一个圆台的母线长为12 cm,两底面积分别为4π cm2和25π cm2,则圆台的高为　　　　　;截得此圆台的圆锥的母线长为　　　　　. 

解析圆

台的轴截面是等腰梯形ABCD,如图所示;

由已知可得上底半径O1A=2 cm,下底半径OB=5 cm;

又腰长为母线长是AB=12 cm,

所以高AM==3 cm;

设截得此圆台的圆锥的母线长为l,则由△SAO1∽△SBO,可得,解得l=20(cm).

答案3 cm　20 cm

能力提升练

1.过某一圆锥的高的中点和一个三等分点(该三等分点距圆锥顶点比距圆锥底面圆心更近),分别作平行于该圆锥底面的平面,圆锥被分割成三个部分,则这三个部分的侧面积之比为(　　)

A.2∶1∶3 B.2∶3∶6

C.4∶5∶27 D.4∶9∶36

解析设从顶点往下这三部分的侧面积分别为S1,S2,S3,圆锥底面半径为r,母线长为l,由题意可得,

S1=π·,

S2=π,

S3=π,

所以三个部分的侧面积之比为S1∶S2∶S3==4∶5∶27.

答案C

2.正四棱柱的一条对角线长为9,表面积为144,适合这些条件的正四棱柱有　　　　　个. 

解析设底面边长为a,高为h,由题意得

这个方程组有两个解,所以适合条件的正四棱柱有2个.

答案2

3.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2,棱AB,AD,AA'的中点分别为E,F,G,首先截去三棱锥A-EFG,类似的,再截去另外7个三棱锥,则余下的几何体的表面积为　　　　　. 

解析如图,S正方形GEMH==2,S△EFG=×sin 60°=,

而余下的几何体的表面积等于6个正方形GEMN的面积加上8个三角形EFG的面积之和,

故所求几何体的表面积为2×6+×8=12+4.

答案12+4

4.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,D,E是CC1,BC的中点,AE=DE.求:

(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长;

(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.

解(1)由题意可得,BE=EC=1,DE=AE=2×sin 60°=,根据正三棱柱的定义可得CC1⊥平面ABC.

又BC⊂平面ABC,所以CC1⊥BC,故在Rt△ECD中,CD=.

所以正三棱柱的侧棱长为2.

(2)S底面积=2S△ABC=2×2×=2,S侧面积=3=3×2×2=12.

所以S表面积=S侧面积+S底面积=12+2.

素养培优练

一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1,B1,C1分别在三条棱上,A0,B0,C0分别在底面△ABC上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值?

解设三棱锥的底面中心为O,连接PO,则PO为三棱锥的高,设A1,B1,C1所在的底面与PO交于O1点,则,令A1B1=x,而PO=h,则PO1=x,

于是OO1=h-PO1=h-x=h.

所以所求三棱柱的侧面积为S=3x·h(a-x)x=.当x=时,S有最大值为ah,此时O1为PO的中点.