高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.2 柱、锥、台的体积授课ppt课件

6.2　柱、锥、台的体积

课后篇巩固提升

基础达标练

1.如图,ABC-A'B'C'是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AA'B'B 的体积是(　　)

A. B. C. D.

解析因为VC-A'B'C'=VABC-A'B'C',

所以VC-AA'B'B=VABC-A'B'C'=.故选C.

答案C

2.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16π,则圆锥的体积是(　　)

A. B. C.64π D.128π

解析设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,

由题意知l=r,h=r,

所以S侧=πrl=πr2=16π,

解得r=4.

所以l=4,h=4,

所以圆锥的体积为V=Sh=π×42×4=.

答案B

3.如图,在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周所围成的几何体的体积为(　　)

A.π B.π C.π D.2π

解析由

题意,旋转而成的几何体是圆柱,挖去一个圆锥,如图所示,该几何体的体积为π×12×2-×π×12×1=π.故选A.

答案A

4.圆锥的侧面展开图为扇形,若其弧长为2π cm,半径为 cm,则该圆锥的底面圆半径为　　　　　 cm;圆锥的体积为　　　　　 cm3. 

解析因为圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm,半径为 cm,故圆锥的底面周长为2π cm,母线长为 cm,则圆锥的底面半径为1,高为1,则圆锥的体积V=×π×12×1=.

答案1　

5.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等,且,则的值是　　　　　. 

解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r1,r2和h1,h2,由,得,则.

由圆柱的侧面积相等,得2πr1h1=2πr2h2,

即r1h1=r2h2,所以.

答案

6.如图,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.

解如

图,连接EB,EC.

四棱锥E-ABCD的体积V四棱锥E-ABCD=×42×3=16.

因为AB=2EF,EF∥AB,

所以S△EAB=2S△BEF,

所以V三棱锥F-EBC=V三棱锥C-EFB=V三棱锥C-ABE=V三棱锥E-ABC=V四棱锥E-ABCD=4.

所以多面体的体积V=V四棱锥E-ABCD+V三棱锥F-EBC=16+4=20.

能力提升练

1.如图是一个下半部分为正方体、上半部分为正三棱柱的盒子(中间连通).若其表面积为448+32(cm2),则其体积为(　　)

A.512+128(cm3)

B.216+128(cm3)

C.512+64(cm3)

D.216+64(cm3)

解析设正方体的棱长为a cm,

则5a2+2a2+a2×2=448+32,解得a=8 cm.

该几何体的体积为a3+a2·a=512+128(cm3).故选A.

答案A

2.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为(　　)

A.5π B.6π C.20π D.10π

解析用

一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.故选D.

答案D

3.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm,求它的深度为　　　　　 cm. 

解析设油槽的上、下底面积分别为S上,S下,V=(S上+S下+)h,得h==75(cm).

答案75

4.如图①,一个正三棱柱容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图②,这时水面恰好为中截面,则图①中容器内水面的高度是　　　　　. 

解析设题图①中容器内水面的高度为h,水的体积为V,则V=S△ABCh.又题图②中水组成了一个直四棱柱,其底面积为S△ABC,高度为2a,则V=S△ABC·2a,

所以h=a.

答案a

5.如图所示是一个边长为5+的正方形,剪去阴影部分得到圆锥的侧面和底面展开图,求该圆锥的体积.

解设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,则依题意有·2πl=2πr,所以l=4r.

又因为AC=OC+OA=r+r+l=(+5)r,

且AC=×(+5),

所以(+5)r=(+5)×,

所以r=,所以l=4,

所以h=,

所以V圆锥=πr2h=π×()2×π.故该圆锥的体积为π.

素养培优练

在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,则三棱锥A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的体积之比是多少?

解设棱台的高为h,S△ABC=S,

因为在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B=1∶2,

所以=4S.

所以S△ABC·h=Sh,

·h=Sh.

又V三棱台=(S+4S+2S)h=Sh,

所以=V三棱台-

=Sh-Sh-Sh=Sh.

所以Sh∶Sh∶Sh=1∶2∶4.