高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案及答案，共7页。

月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮．有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色．万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽．”
[问题] 如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系，那么月亮的坐标方程如何表示？



知识点一 圆的标准方程
1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．圆的要素：圆心和半径，如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
eq \a\vs4\al()
1．当圆心在原点即A(0，0)时，方程为x2＋y2＝r2.
2．当圆心在原点即A(0，0)，半径r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．
3．相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．( )
(2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a.( )
答案：(1)× (2)×
2．给定圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为( )
A．4x－y＝0 B．4x＋y＝0
C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0
解析：选B 由圆的标准方程，知圆心为(2，－8)，则过坐标原点和圆心的直线方程为y＝－4x，即4x＋y＝0.
3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________________．
解析：圆心是(－2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.
答案：(x＋2)2＋y2＝4
知识点二 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都不对
解析：选B 将点P的坐标代入圆的方程，则(－2)2＋(－2)2＝8>4，故点P在圆外．
[例1] (链接教科书第83页例2)求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程．
[解] 法一(待定系数法)：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝r2，,（a－1）2＋（b－1）2＝r2，,2a＋3b＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝－3，,r＝5.))
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
法二(几何法)：由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－3，))
即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝eq \r(42＋（－3）2)＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
eq \a\vs4\al()
求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．
一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
[跟踪训练]
1．圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为________．
解析：设圆心为C(0，b)，
则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆心C的坐标为(0，0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
答案：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25
2．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的标准方程．
解：法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，
于是有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（0－a）2＋（5－b）2＝r2，,（1－a）2＋（－2－b）2＝r2，,（－3－a）2＋（－4－b）2＝r2.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝1，,r＝5.))
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
法二：因为A(0，5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))，直线AB的斜率kAB＝eq \f(－2－5,1－0)＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－eq \f(3,2)＝eq \f(1,7)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，即x－7y＋10＝0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－7y＋10＝0，,2x＋y＋5＝0))得圆心的坐标为(－3，1)，
又圆的半径r＝eq \r(（－3－0）2＋（1－5）2)＝5，
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
[例2] (链接教科书第83页例1)已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
[解] (1)因为点M在圆上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
又a＞0，可得a＝eq \r(10).
(2)由两点间距离公式可得，
|PN|＝eq \r(（3－5）2＋（3－6）2)＝eq \r(13)，
|QN|＝eq \r(（5－5）2＋（3－6）2)＝3.
因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，又3＜eq \r(13)，所以3＜a＜eq \r(13).即a的取值范围是(3，eq \r(13))．
eq \a\vs4\al()
判断点与圆的位置关系的方法
(1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
(2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系；
(3)下结论：若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，表示点在圆内．
此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d1，
169a2>1，a2>eq \f(1,169)，
∴a>eq \f(1,13)或ar
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内
|CM|