人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆第二课时学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆第二课时学案，共8页。


我们已经学习了直线与圆的位置关系的判断方法．
[问题] 能否利用直线与圆的位置关系的判断方法(思想)，判断直线与椭圆的位置关系？



知识点一 点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)>1.
知识点二 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
知识点三 直线与椭圆相交的弦长公式
1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2．求弦长的方法
(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；
(2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·
eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2).
1．已知点(2，3)在椭圆eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1上，则下列说法正确的是( )
A．点(－2，3)在椭圆外 B．点(3，2)在椭圆上
C．点(－2，－3)在椭圆内 D．点(2，－3)在椭圆上
答案：D
2．直线y＝x＋1被椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1所截得的弦的中点坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(5,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(7,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,2)，\f(17,2)))
答案：C
3．设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则点P到椭圆左焦点的距离为________．
答案：4
[例1] 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
[解] 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x＋m， ①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1， ②))
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
关于x的一元二次方程的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)由Δ>0，得－3eq \r(2)于是，当－3eq \r(2)(2)由Δ＝0，得m＝±3eq \r(2).
也就是当m＝±3eq \r(2)时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)由Δ<0，得m<－3eq \r(2)或m>3eq \r(2).
从而当m<－3eq \r(2)或m>3eq \r(2)时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
eq \a\vs4\al()
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，通过Δ即可判断直线与椭圆的位置关系．
[跟踪训练]
在平面直角坐标系Oxy中，经过点(0，eq \r(2))且斜率为k的直线l与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．
解：由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋eq \r(2)，
代入椭圆方程得eq \f(x2,2)＋(kx＋eq \r(2))2＝1，
整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋k2))x2＋2eq \r(2)kx＋1＝0，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋k2))＝4k2－2>0，解得k<－eq \f(\r(2),2)或k>eq \f(\r(2),2)，
所以k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(2),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，＋∞)).
[例2] (链接教科书第114页练习2题)已知点P(4，2)是直线l被椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
[解] 法一(根与系数关系法)：由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.
所以x1＋x2＝eq \f(8k（4k－2）,4k2＋1)＝8，解得k＝－eq \f(1,2).
所以直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
法二(点差法)：设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xeq \\al(2,1)＋4yeq \\al(2,1)－36＝0，,xeq \\al(2,2)＋4yeq \\al(2,2)－36＝0.))
两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2)，
即k＝－eq \f(1,2).所以直线l的方程为x＋2y－8＝0.
[母题探究]
(变设问)在本例条件下，求直线l被椭圆截得的弦长．
解：由题意可知直线l的方程为x＋2y－8＝0，与椭圆方程联立得x2－8x＋14＝0.
法一：解方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝4＋\r(2)，,y1＝2－\f(\r(2),2)，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝4－\r(2)，,y2＝2＋\f(\r(2),2)，))
所以直线l被椭圆截得的弦长为
eq \r([（4＋\r(2)）－（4－\r(2)）]2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(\r(2),2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(\r(2),2)))))\s\up12(2))
＝eq \r(10).
法二：因为x1＋x2＝8，x1x2＝14.
所以直线l被椭圆截得的弦长为
eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))\s\up12(2))eq \r(82－4×14)＝eq \r(10).
eq \a\vs4\al()
解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),a2)＋\f(yeq \\al(2,1),b2)＝1， ①,\f(xeq \\al(2,2),a2)＋\f(yeq \\al(2,2),b2)＝1， ②))
由①－②，得eq \f(1,a2)(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＋eq \f(1,b2)(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2))＝0，变形得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)，即kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
[跟踪训练]
1．过点M(1，1)作斜率为－eq \f(1,2)的直线与椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),a2)＋\f(yeq \\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq \\al(2,2),a2)＋\f(yeq \\al(2,2),b2)＝1，))
∴eq \f(（x1－x2）（x1＋x2）,a2)＋eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,b2)＝0，
∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2).
∵eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2)，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,2)，∴a2＝2b2.
又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，
∴a2＝2c2，∴eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
2．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝eq \r(10)，求椭圆方程．
解：∵e＝eq \f(\r(3),2)，∴b2＝eq \f(1,4)a2.∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2.
与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ>0得a2>32，由弦长公式得10＝eq \f(5,4)×[64－2(64－a2)]．∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1.
[例3] (链接教科书第113页例5)我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439 km，远地点B(离地面最远的点)距地面2 384 km，并且F2，A，B在同一直线上，地球半径约为6 371 km，求卫星运行的轨道方程(精确到1 km)．
[解] 如图，建立平面直角坐标系，使点A，B，F2在x轴上，F2为椭圆右焦点(记F1为左焦点)，
设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
则a－c＝|OA|－|OF2|＝|F2A|＝6 371＋439＝6 810，
a＋c＝|OB|＋|OF2|＝|F2B|＝6 371＋2 384＝8 755，
∴a＝7 782.5≈7 783，
∴b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(（a＋c）（a－c）)＝eq \r(8 755×6 810)≈7 721，
∴卫星运行的轨道方程是eq \f(x2,7 7832)＋eq \f(y2,7 7212)＝1.
eq \a\vs4\al()
解决椭圆的实际问题的基本步骤
(1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系；
(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系；
(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解．
[跟踪训练]
神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神秘生物发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )
A．d1＋d2＋R B．d2－d1＋2R
C．d2＋d1－2R D．d1＋d2
解析：选D 设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(d1＋R＝a－c，,d2＋R＝a＋c，))则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交或相切
解析：选A 把x＋y－3＝0代入eq \f(x2,4)＋y2＝1，
得eq \f(x2,4)＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，
∴直线与椭圆相离．
2．过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是( )
A.eq \f(2b2,a) B.eq \f(2a2,b)
C.eq \f(2c2,a) D.eq \f(2c2,b)
解析：选A 最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．将点(c，y)的坐标代入椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，得y＝±eq \f(b2,a)，故最短弦长是eq \f(2b2,a).
3．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则( )
A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n D．b＝eq \r(（m＋R）（n＋R）)
解析：选ABD ∵地球的中心是椭圆的一个焦点，
并且根据图象可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝a－c－R，,n＝a＋c－R，))(*)
∴a－c＝m＋R，故A正确；
a＋c＝n＋R，故B正确；
(*)中两式相加m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由(*)可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋R＝a－c，,n＋R＝a＋c，))两式相乘可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.
∵a2－c2＝b2，
∴b2＝(m＋R)(n＋R)⇒b＝eq \r(（m＋R）（n＋R）)，故D正确．
4．已知F是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为________．
解析：S＝eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|≤eq \f(1,2)|OF|·2b＝12.
答案：12
5．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是________．
解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x2＋y2＝1，,y＝x＋m，))得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0，
即－4m2＋5≥0，解得－eq \f(\r(5),2)≤m≤eq \f(\r(5),2).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，\f(\r(5),2)))
直线与椭圆位置关系的判断
弦长及中点弦问题
椭圆的实际应用问题