高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线学案，共11页。


如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支．
[问题] 类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件？





知识点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
eq \a\vs4\al()
对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF1|－|MF2||＝2a>|F1F2|时，M的轨迹不存在；
(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；
(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；
(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．
1．已知双曲线的焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，双曲线上一点P满足||PF1|－|PF2||＝2，则双曲线的标准方程是________．
解析：由题知c＝4，a＝1，故b2＝15，所以双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,15)＝1.
答案：x2－eq \f(y2,15)＝1
2．设点P是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1上任意一点，F1，F2分别是左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________．
解析：由双曲线方程，得a＝3，b＝4，c＝5.当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2|－|PF1|＝6，
所以|PF2|＝|PF1|＋6＝10＋6＝16；
当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.
故|PF2|＝4或|PF2|＝16.
答案：4或16
知识点二 双曲线的标准方程
eq \a\vs4\al()
巧记双曲线焦点位置与方程的关系
焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程eq \f(x2,a)－eq \f(y2,b)＝1表示双曲线．( )
(2)双曲线两焦点之间的距离称为焦距．( )
(3)若焦点在x轴上的双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，则a2＞b2.( )
(4)双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，则双曲线的焦点坐标为( )
A．(－eq \r(7)，0)，(eq \r(7)，0)
B．(－5，0)，(5，0)
C．(0，－5)，(0，5)
D．(0，－eq \r(7))，(0，eq \r(7))
答案：B
3．双曲线的两焦点坐标是F1(0，3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．
答案：eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1
[例1] (链接教科书第121页练习3题)已知方程eq \f(x2,k－5)－eq \f(y2,|k|－2)＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是( )
A．k>5 B．k>5或－2C．k>2或k<－2 D．－2[解析] ∵方程对应的图形是双曲线，
∴(k－5)(|k|－2)>0.
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k－5>0，,|k|－2>0)) 或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k－5<0，,|k|－2<0.))
解得k>5或－2[答案] B
eq \a\vs4\al()
双曲线方程的辨识方法
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m>0，,n<0，))则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<0，,n>0，))则方程表示焦点在y轴上的双曲线．
[跟踪训练]
1．已知双曲线eq \f(x2,a－3)＋eq \f(y2,2－a)＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于( )
A.eq \f(3,2) B．5
C．7 D.eq \f(1,2)
解析：选D 根据题意可知，双曲线的标准方程为eq \f(y2,2－a)－eq \f(x2,3－a)＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝eq \f(1,2).
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的椭圆
解析：选C 方程mx2－my2＝n可化为eq \f(x2,\f(n,m))－eq \f(y2,\f(n,m))＝1.由mn<0知eq \f(n,m)<0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线.
[例2] (链接教科书第121页练习1题)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，c＝4；
(2)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)．
[解] (1)由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，
得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
故双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,7)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,7)＝1.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．
因为点A(－5，6)在双曲线上，所以
2a＝|eq \r(（－5－0）2＋（6＋6）2)－eq \r(（－5－0）2＋（6－6）2)|
＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是eq \f(y2,16)－eq \f(x2,20)＝1.
eq \a\vs4\al()
1．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式；
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
2．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程；
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
[注意] 若焦点的位置不明确，应分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.
[跟踪训练]
根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1有公共焦点，且过点(3eq \r(2)，2)；
(2)双曲线过两点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(15,4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,3)，5)).
解：(1)设双曲线的标准方程为
eq \f(x2,16－k)－eq \f(y2,4＋k)＝1(－4将点(3eq \r(2)，2)代入，解得k＝4或k＝－14(舍去)，
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,8)＝1.
(2)设所求双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
∵点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(15,4)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,3)，5))在双曲线上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9).))
∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1.
[例3] (链接教科书第121页练习4题)如图，若F1，F2是双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[解] 双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，
故a＝3，b＝4，c＝eq \r(a2＋b2)＝5.
(1)由双曲线的定义得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(|PF1|－|PF2|))＝2a＝6，
又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，
假设点P到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点P到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(|PF2|－|PF1|))＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cs ∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(100－100,2|PF1|·|PF2|)＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×32＝16.
[母题探究]
1．(变条件)若本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”其他条件不变，求△F1PF2的面积．
解：由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，
|PF2|－|PF1|＝6，
可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，
∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)×4×4eq \r(6)＝8eq \r(6).
2．(变条件)若本例中双曲线的标准方程不变，若双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解：由eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
则S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×64×eq \f(\r(3),2)＝16eq \r(3).
eq \a\vs4\al()
在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．
[跟踪训练]
已知双曲线的方程是eq \f(x2,16)－eq \f(y2,8)＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，则|ON|＝________．(O为坐标原点)
解析：设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2(图略)．
易得ON是△PF1F2的中位线，
所以|ON|＝eq \f(1,2)|PF2|.
因为||PF1|－|PF2||＝2a＝8，|PF1|＝10，
所以|PF2|＝2或|PF2|＝18，
故|ON|＝1或|ON|＝9.
答案：1或9
[例4] (链接教科书第120页例2)由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
[解] 设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2eq \r(3))．
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－eq \r(3)，线段BC的中点D(－4，eq \r(3))，
∴直线PD的方程为y－eq \r(3)＝eq \f(1,\r(3))(x＋4)，①
又|PB|－|PA|＝4<6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
∴双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥2)，②
联立①②，得P点坐标为(8，5eq \r(3))，
∴kPA＝eq \f(5\r(3),8－3)＝eq \r(3)，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.
eq \a\vs4\al()
双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题．
[跟踪训练]
某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴
建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，即|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50(m)，在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|AP|·|BP|·cs 60°＝17 500，故|MA|－|MB|<|AB|.这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25.
而c2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))eq \s\up12(2)＝4 375，b2＝3 750，
故所求分界线的方程为eq \f(x2,625)－eq \f(y2,3 750)＝1(x≥25)．
即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工．
椭圆、双曲线特性归纳及应用
(链接教科书第108页例3)如图，设A，B两点的坐标分别为(－5，0)，(5，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－eq \f(4,9)，求点M的轨迹方程．
(链接教科书第121页探究)
如图，点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是eq \f(4,9)，试求点M的轨迹方程．
[问题探究]
由上述两道教科书典型问题可知，设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，当k1·k2＝－eq \f(4,9)时，动点M的轨迹是椭圆：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,\f(100,9))＝1(x≠±5)；
当k1·k2＝eq \f(4,9)时，动点M的轨迹是双曲线：eq \f(x2,25)－eq \f(y2,\f(100,9))＝1(x≠±5)．
结论：已知点A(a，0)，B(－a，0)，过A点的直线l1与过B点的直线l2相交于一点M，设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.
(1)当k1·k2＝－eq \f(b2,a2)时，点M的轨迹方程为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(x≠±a，a＞b＞0)；
(2)当k1·k2＝eq \f(b2,a2)时，点M的轨迹方程为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(x≠±a，a＞0，b＞0)．
[迁移应用]
1．(2019·全国卷Ⅱ节选)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－eq \f(1,2)，记M的轨迹为曲线C，求C的方程，并说明C是什么曲线．
解：由上述探究的结论可知k1·k2＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,2).又∵a2＝4，∴b2＝2，所以C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1(x≠±2)．
即曲线C为焦点在x轴上且不包含长轴端点的椭圆．
2.如图，已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(eq \r(2)＋1)，双曲线eq \f(x2,aeq \\al(2,1))－eq \f(y2,beq \\al(2,1))＝1的顶点是该椭圆的焦点，且a1＝b1，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，设直线PF1和PF2的斜率分别为k1，k2.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)证明k1·k2＝1.
解：(1)由题意知，椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，则a＝eq \r(2)c，
又∵2a＋2c＝4(eq \r(2)＋1)，解得a＝2eq \r(2)，c＝2.
∴b2＝a2－c2＝4，∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1，椭圆的焦点坐标为(±2，0)．
∵双曲线eq \f(x2,aeq \\al(2,1))－eq \f(y2,beq \\al(2,1))＝1中a1＝b1，且顶点是该椭圆的焦点，
∴该双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1.
(2)证明：设点P(x0，y0)，则k1＝eq \f(y0,x0＋2)，k2＝eq \f(y0,x0－2).
∴k1·k2＝eq \f(y0,x0＋2)×eq \f(y0,x0－2)＝eq \f(yeq \\al(2,0),xeq \\al(2,0)－4)，
又∵点P(x0，y0)在双曲线上，
∴eq \f(xeq \\al(2,0),4)－eq \f(yeq \\al(2,0),4)＝1，即yeq \\al(2,0)＝xeq \\al(2,0)－4，
∴k1·k2＝1.
1．已知M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线左支
C．一条射线 D．双曲线右支
解析：选C 因为|PM|－|PN|＝4＝|MN|，所以动点P的轨迹是一条射线．故选C.
2．椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,a2)＝1与双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,2)＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A.eq \f(1,2) B．1或－2
C．1或eq \f(1,2) D．1
解析：选D 依题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,03．求以椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．
解：由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0，3)，
∵A(4，－5)在双曲线上，
∴2a＝||AF1|－|AF2||＝|eq \r(20)－eq \r(80)|＝2eq \r(5)，
∴a＝eq \r(5)，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.
故双曲线的标准方程为eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1.
新课程标准解读
核心素养
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用
数学抽象
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程
数学抽象、直观想象
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2
双曲线标准方程的认识
求双曲线的标准方程
双曲线定义的应用
双曲线在生活中的应用